Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы логики и аргументации. Учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по гуманитарно-социальным специальностям
.pdf
Глава 3. Логика высказываний
71
если все ее элементарные высказывания, или конъюнктивные члены, будут истинными. Наличие хотя бы одного ложного члена превращает всю конъюнкцию в ложное высказывание. В табл. 2 показано, какое значение истинности приобретает конъюнкция при разных значениях истинности двух ее конъюнктивных членов. Это же
определение сохраняет свое значение, когда рассматривается конъюнкция большего числа членов.
Дизъюнкция высказываний образуется путем объединения двух
или нескольких элементарных высказываний с помощью логической операции дизъюнкции. Различают дизъюнкцию в слабом
смысле, которая обозначается символом ∨ . Словесно она выражает-
ся союзом èëè, понимаемом в неисключающем смысле. Именно
так дизъюнкция рассматривается в математике и логике. Например,
дизъюнкция высказываний «2 меньше 3 или меньше 5», рассматривается в неисключающем смысле, т.е. в смысле, «а также».
Неисключающая дизъюнкция считается ложной в том, и только
в том случае, когда все ее дизъюнктивные члены будут ложными.
Поэтому достаточно одного истинного члена, чтобы дизъюнкция
была истинной. Она будет ложной, если, и только если все ее члены будут ложными. Оператор неисключающей дизъюнкции обозначается символом ∨ и по своим свойствам сходен со знаком + для
сложения. На этом основании дизъюнкцию называют также логической суммой высказываний и обозначают символом +.
Таблица 3
õ ó
1 1 1 1 1 0
1 0 1 1 0 1
0 1 1 0 1 1
0 0 0 0 0 0
õ∨ó
õ ó
Таблица 4
õBó
Дизъюнкцией в сильном смысле, или исключающей дизъюнкцией, называют логическую операцию, посредством которой образуется составное высказывание, которое будет истинным тогда, и
только тогда, когда ее члены по истинностному значению исключают друг друга. В логике и математике такая дизъюнкция употребляется редко, и поэтому для ее обозначения нет стандартного символа. Обычно для этого используют символ неисключающей дизъюнкции, над которым ставят точку. Нередко для этого употребляется также специальный символ B.
72
Часть I. Логика
Импликация представляет собой логическую операцию, которая
образует составное высказывание из двух элементарных высказываний посредством связки, которая обозначается особым символом и
приблизительно соответствует союзу åñëè…, òî в условном предложении естественного языка. В логике эту связку называют импли-
кацией и обозначают символом ⊃ (подкова) или стрелкой →. Èì-
пликация, как и соответствующее ей высказывание естественного
языка, состоит из двух частей. Та часть, которая вводится союзом
«åñëè», называется антецедентом или основанием условного высказывания. Другая часть, начинающаяся частицей «òî», — консеквен-
òîì (последующим высказыванием) или следствием.
Таблица 5
õ ó
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
õ ⊃ ó
Распределение значений истинности высказываний для импликации представлено в табл. 5. Из нее видно, что импликация считается ложной только тогда, когда ее антецедент истинен, а консеквент ложен. Это требование импликации выражает важнейшее
свойство правильных дедуктивных рассуждений. Известно, ÷òî èç
истинных посылок нельзя получить ложного заключения, если рассуждать правильно. Этот фундаментальный принцип лежит в основе
всей дедуктивной логики и сохраняется при определении операции
импликации. В то же время импликация считается истинной во
всех остальных случаях, в частности когда ее антецедентом являются ложные высказывания. Это ее свойство вызывает наибольшее
число возражений, когда впервые встречаются с ней начинающие.
Например, согласно правилам импликации высказывание «åñëè 2 ½ 2 = 5,
то Москва — большой город» считается не только допустимой, но и
истинной импликацией. На этом основании логиков обвиняли в
том, что они не учитывают смысловой связи между высказываниями и поэтому приходят к бессмыслице. На самом же деле в логике
при введении импликации абстрагируются от смыслового содержания конкретных высказываний и рассматривают лишь связь между
значениями их частей по истинности.
Условные высказывания в естественном языке употребляются
для выражения разнообразных связей и отношений между явле-
Глава 3. Логика высказываний
73
ниями. С помощью понятий основания и следствия можно представить необходимые и достаточные условия некоторого явления
или процесса. Мы говорим, например, что нагревание является
достаточным условием для расширения тела, а последнее служит
необходимым условием этого процесса. Аналогично этому нарушение закона служит достаточным условием для привлечения гражданина к ответственности, а последнее служит следствием, или необходимым условием предпринятого действия.
Условные высказывания часто используются в естественном
языке также для выражения причинных зависимостей между явлениями. Но при этом нередко не проводят четкого различия между
понятиями «причина» и действие, с одной стороны, и понятиями
«основание» è «следствие» — с другой. Зависимость между причиной
и действием отображает отношение между двумя явлениями реального мира, из которых одно — причина — вызывает и порождает
другое явление — действие. По установившейся терминологии действие также обычно называют следствием, хотя это и не согласуется
с определением причинной зависимости. Отношение между основанием и следствием в действительности имеет логический характер
и поэтому для своего обоснования не нуждается в обращении к реальному миру. Подавляющее большинство математических теорем
формулируется именно с помощью условных высказываний.
В понятии логической импликации отвлекаются не только от
конкретных форм условных высказываний, но и от содержания антецедента и консеквента и рассматривают только отношение между
их истинностными значениями. Поэтому такой абстрактный подход
не может правильно отобразить смысловую связь между основанием и следствием условного высказывания.
Операция эквивалентности, или равнозначности, объединяет
два высказывания, имеющие одинаковые значения истинности. Как
видно из табл. 6, с точки зрения чистой логики будут эквивалентными любые два истинных или два ложных высказывания, хотя по
содержанию они могут существенно отличаться друг от друга.
Таблица 6
õ ó
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
õ ∼ ó
74
На математическом языке эквивалентность обычно выражают
словами «если, и только если». Именно в такой форме они обычно
встречаются в научных формулировках определений, теорем и законов.
Логическое значение сложных высказываний, образованных с
помощью операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквивалентности, мы определяли с помощью таблиц истинности. Такой метод был впервые предложен американским логиком Ч.С. Пирсом и до сих пор остается основным при проверке
истинностного значения любых сложных высказываний. Всякий
раз, когда возникают сомнения относительно истинности таких высказываний, необходимо проверить разные комбинации значений
истинности элементарных высказываний и, опираясь на таблицы,
определить истинность образованных из них сложных высказываний.
Существует, однако, более удобный и короткий способ проверки, который основывается на установлении связи между разными
логическими операциями. Например, с помощью таблиц истинности легко убедиться в том, что дизъюнкция высказываний эквивалентна отрицанию конъюнкции их отрицаний:
(õ ∨ ó) f ¬(¬ õ & ¬ ó).
С помощью редукции, или сведения одних логических операций к другим, мы можем ограничиться рассмотрением лишь двух
основных операций, одной из которых служит обязательно логическое отрицание, а другой — любая из вышеперечисленных операций. Например, в качестве основных операций можно взять отрицание и конъюнкцию. Тогда все остальные операции можно определить с их помощью. Но такой способ не является достаточно
удобным для практического применения.
Часть I. Логика
Законы логики высказываний
Перечисленные ниже законы представляют собой тождественно
истинные высказывания, т.е. высказывания, остающиеся истинными при любых значениях истинности входящих в них элементарных
высказываний. В справедливости этого утверждения можно убедиться с помощью таблиц истинности. В принципе все тождественно истинные высказывания являются законами логики, или исчисления высказываний. Мы приведем лишь основные из них.
1. Закон тождества: если х, то х, символически: х f õ.
2. Закон упрощения: åñëè õ è ó, òî õ: (õ & ó) f х, а также
(õ & ó) f ó.
Глава 3. Логика высказываний
Поскольку конъюнкция истинна только тогда, когда оба ее
конъюнктивных члена истинны, то их можно рассматривать отдельно.
75
3. Закон эквивалентности: если из х следует у, а из у следует х,
тогда высказывания будут эквивалентными:
[(õ ⊃ ó) & (ó ⊃ õ)] f (õ f ó).
4. Закон гипотетического силлогизма: åñëè èç õ следует ó, à èç ó
следует z, òî èç õ следует z: ((õ ⊃ ó) & (ó ⊃ z)) ⊃ (õ ⊃ z).
5. Закон двойного отрицания: если из высказывания õ следует
высказывание ¬ õ), то отрицание последнего приведет к первона-
чальному высказыванию х, т.е. к утверждению х.
5. Законы А. Де Моргана дают возможность переходить от
конъюнкции высказываний к их дизъюнкции и, наоборот, от дизъюнкции к конъюнкции:
а) отрицание конъюнкции двух высказываний эквивалентно
дизъюнкции отрицаний дизъюнктивных членов:
¬ (õ & ó) f (¬ õ ∨ ¬ ó);
б) отрицание дизъюнкции двух высказываний эквивалентно
конъюнкции отрицаний конъюнктивных членов:
¬ (õ ∨ ó) f (¬ õ & ¬
6. Закон «поглощения»: конъюнкция или дизъюнкция двух оди-
наковых высказываний эквивалентны одному из высказываний,
другой член «поглощается»:
(õ & õ) f õ è (ó ∨ ó) f ó.
7. Коммутативные законы для конъюнкции и дизъюнкции
разрешают перестановку их членов:
(õ ∨ ó) f (ó ∨ õ) è (õ & ó) f (ó & õ).
8. Ассоциативные законы для конъюнкции и дизъюнкции раз-
решают по-разному расставлять скобки. Благодаря этому из трех,
четырех и т.д. членов можно получать конъюнкции или дизъюнкции двух членов:
õ & (ó & z) f (õ & ó) & z è õ ∨ (
9. Закон контрапозиции разрешает заменять прямую имплика-
цию обратной, т.е. вместо прежнего антецедента взять отрицание
его консеквента, и, наоборот, прежний консеквент заменить отрицанием прежнего антецедента.
10. Закон противоречия: два противоречащих высказывания, т.е.
высказывание х и его отрицание ¬ х (не- х), не могут быть одновре-
ó).
ó ∨ z) f (õ ∨ ó) ∨ z.
76
менно истинными. Поскольку этот закон запрещает противоречия в
рассуждении, то его правильнее называть законом непротиворечия
или недопущения противоречия.
11. Закон исключенного третьего: из двух противоречащих выска-
зываний только одно является истинным. Тогда второе будет ложным
и никакой третьей возможности не существует, если рассматривается двузначная логика: õ ∨ ¬ õ.
Правильность всех этих законов можно непосредственно проверить с помощью таблиц истинности, но их желательно запомнить,
чтобы каждый раз не обращаться к построению таблиц. Можно было бы увеличить число таких законов, но все они должны содержать только переменные и логические постоянные и быть истинными в любой области, или универсуме, рассуждения. В логике высказываний переменными считаются элементарные, или атомарные, высказывания, а постоянными — логические связки, с помощью которых образуются сложные высказывания из элементарных.
Все законы логики, или исчисления, высказываний, являются
тождественно истинными, или общезначимыми, высказываниями. Какие бы значения истинности ни придавались входящим в них элементарным высказываниям, законы остаются всегда истинными
высказываниями. Вот почему они применяются в любом рассуждении, значительно упрощая выводы. Например, из прямой теоремы
геометрии: «если треугольник — равнобедренный, то углы при его
основании равны» — по закону контрапозиции можно непосредственно получить обратную теорему: «если эти углы не равны, то треугольник не будет равнобедренным». В связи с этим отпадает необходимость доказательства данной теоремы посредством метода от
противного.
Таким образом, законы логики высказываний облегчают наши
рассуждения, делая их более удобозримыми и точными, так как с
символами и формулами обращаться проще, чем с менее определенными и неточными словесными формулировками.
Часть I. Логика
Логическое следование
Чтобы установить, следует ли логически одно высказывание из
другого или других высказываний, необходимо построить таблицу
истинности для них. Если будет установлено, что при одновременной истинности посылок заключение также окажется истинным,
тогда можно сказать, что рассматриваемое высказывание логически
следует из других высказываний. Например, построив таблицу, легко убедиться, что высказывание ¬ õ ∨ ó логически следует из вы-
Глава 3. Логика высказываний
сказывания х ⊃ у. Чтобы дать общее определение логическому следованию в исчислении высказываний, обозначим заглавными буквами латинского алфавита À è Â молекулярные, или сложные, высказывания, состоящие из атомарных, или элементарных, высказы-
, õ
ваний õ
следствием А, когда в таблицах истинности для А и В формула В
имеет значение «истина» (1) во всех тех строках, где À имеет значение «истина» (1).
зывания À è Â будут логически эквивалентными.
1
Åñëè èç À следует Â, à èç Â следует À, òî â этом случае выска-
…хк. Тогда говорят, что Â следует из À или является
2, õ3
77
Аналитические и синтетические высказывания
Аналитическими принято называть высказывания, истинностное значение которых можно определить непосредственно путем их
семантического анализа. В противоположность этому установление
значения синтетических высказываний требует обращения к внешнему миру для получения необходимой информации об их значении. Подобное различие встречается еще у Г.В. Лейбница, который
отделял «истины разума» от «истин факта». В традиционную логику
такое различие между суждениями, имеющими субъектнопредикатную форму, ввел И. Кант. Он относил к аналитическим те
суждения, в которых понятие предиката Ð содержится в понятии
субъекта S. Например, суждение «всякое физическое тело протяженно» является аналитическим, поскольку протяженность представляет необходимое его свойство и потому включается в понятие
тела. Напротив, в суждении «данное тело движется неравномерно»
понятие неравномерного движения не присутствует в понятии
субъекта, и поэтому для установления его истинности необходимо
обратиться к опыту. Но такое различие применимо только к суждениям субъектно-предикатной формы, да и то не всегда. Поэтому в
современной логике аналитическими называются высказывания,
истинностное значение которых можно определить путем чисто
логико-семантических методов анализа.
К аналитическим принадлежат все логические высказывания,
которые принято назвать тождественно истинными утверждениями,
тавтологиями èëè законами логики. Логические тавтологии, определяющие всегда истинные утверждения, не следует смешивать с лингвистическими, языковыми тавтологиями. Перечисленные выше законы логики высказываний являются аналитическими высказываниями потому, что при подстановке вместо переменных любых высказываний они приводят к истинному значению. Так, например,
78
дизъюнктивное высказывание À ∨ ¬ À при любых значениях истинности входящих в него высказываний всегда дает истинное
высказывание. Это — знакомый нам закон исключенного третьего.
В противоположность ему высказывание À & ¬ А будет всегда лож-
ным высказыванием, поскольку конъюнкция составляющих его высказываний означает логическое противоречие. Отрицание этого
противоречия приводит к закону недопущения противоречий в рассуждении. В самом деле, высказывание ¬ (À & ¬ А) будет всегда
истинным утверждением, известным как принцип непротиворечивости.
Промежуточное положение между всегда истинными высказываниями (тавтологиями) и всегда ложными высказываниями (противоречиями) занимают высказывания о фактах, которые называются также синтетическими или эмпирическими высказываниями.
Такие высказывания могут быть как истинными, так и ложными, в
зависимости от тех фактов или состояния дел, которые они описывают или характеризуют. В то время как истинность тавтологий или
ложность противоречий может быть установлена чисто логически,
истинностное значение фактуальных высказываний требует обращения к фактам реальности. Другими словами, чтобы определить
истинность или ложность фактуальных высказываний, необходимо
исследовать реальные связи и отношения реального мира, которые
они выражают. На этом основании в противоположность аналитическим суждениям логики и чистой математики их часто называют
также эмпирическими èëè синтетическими высказываниями. В конкретных естественных, общественных и гуманитарных науках наряду с эмпирическими высказываниями в процессе рассуждений
широко используются также логические и математические понятия
и принципы. Резюмируя сказанное, можно сказать, что всю новую
информацию в процессе познания формулируют посредством эмпирических высказываний, а заключения и выводы из нее получают с помощью аналитических законов логики.
Часть I. Логика
Доказуемость и выводимость в логике
До сих пор при определении истинности или ложности сложных высказываний мы опирались на таблицы истинности. Это хотя
и удобный и наглядный способ, но он становится крайне громоздким, когда приходится иметь дело с большим числом элементарных
высказываний. Напомним, что при двух простых высказываний
таблица истинности содержит четыре строки (2
а для двенадцати высказываний потребовалось бы уже 4096 строк.
2
= 4), ïðè òðåõ — 8,
Глава 3. Логика высказываний
Вот почему в логике наряду с табличным методом часто обращаются к альтернативному методу вывода и доказательства одних высказываний из других. По своей форме этот метод напоминает метод
доказательства теорем из аксиом, который известен из школьной
геометрии. Всякое доказательство в конечном итоге сводится к доказательству теорем из аксиом. Отличие доказательства от логического вывода состоит в том, что при доказательстве мы принимаем
посылки в качестве истинных высказываний, логический же вывод
возможен также из гипотез и предположений.
Хотя процесс доказательства в логике аналогичен доказательству в математике, но между ними есть и существенное различие. Несмотря на свою общность, математика исследует такие абстрактные,
но специфические объекты, как числа, фигуры, функции и т.п. Логика же имеет дело с любыми объектами, в том числе и математическими. Поэтому, чтобы изучать сам процесс логического доказательства, надо ввести различие между языком, на котором такое
доказательство формулируется, и языком, на котором оно исследуется. В связи с этим в логике вводят понятие об объектном, или
предметном, языке, и метаязыке, на котором формулируются высказывания, относящиеся к объектам предметного языка.
79
Логический анализ рассуждений
естественного языка
Определенные расхождения между естественным языком и символическим языком логики выявляются уже при сопоставлении логических связок и грамматических союзов при образовании с одной стороны сложных высказываний, а с другой — сложных предложений из простых. Поскольку в логике отвлекаются от связи высказываний по конкретному содержанию и учитывают лишь их отношение по истинностному значению, постольку между логическими связками и грамматическими союзами возникают те или
иные расхождения в их истолковании и понимании. Этого вопроса
мы попутно касались, когда рассматривали логические операции, с
помощью которых образуются сложные высказывания из простых.
Теперь пришло время остановиться на нем подробнее
Начнем с интерпретации логической операции отрицания.
В логике под ним подразумевают отрицание истинностного значения данного высказывания. Как видно из его таблицы, если данное
высказывание истинно, то его отрицание будет ложным. Наоборот,
отрицание ложного высказывания дает истинное высказывание.
Следует отметить, что логическое отрицание относится ко всему
80
высказыванию в целом, и поэтому в обычном языке оно выражается предложениями, начинающимися со слов: «ýòî íå òàê, потому
÷òî…», «неверно, ÷òî…». Последнее выражение по стилистическим
соображениям употребляется чаще всего, хотя термин «неверно» характеризует не только конкретный факт или состояние дел, но
множество других фактов и потому является скорее выражением
метаязыка, чем объектного языка. Но такое различие имеет больше
теоретическое, чем практическое значение и обычно не приводит к
недоразумениям.
Более заметные трудности возникают при использовании отрицательных суждений в логике и грамматике. В естественном языке
часто не делают различия между противоречащими или противоположными предложениями. В логике контрадикторными, или проти-
воречащими, называют высказывания, одно из которых логически
отрицает другое. В отличие этого контрарные, или противополож-
íûå, высказывания хотя и отличаются друг от друга, но логически
не отрицают друг друга. Поясним это примером из научного языка. Суждения «это число положительное» è «неверно, что это число
положительное» являются противоречащими друг другу. В отличие
от этого суждения «это число — четное», à «это число — простое»
являются противоположными. То же самое различие можно установить с помощью самых простых суждений обыденного языка.
В самом деле, суждению «этот лист бумаги белый» противоречащим будет суждение «неверно, что этот лист бумаги белый». Проти-
воположным же ему является суждение «этот лист бумаги зеленый,
желтый, фиолетовый» и т.п.
Законы непротиворечия и исключенного третьего, как мы убедились, относятся к противоречащим высказываниям. Поэтому они
неприменимы к контрарным суждениям, которые могут выражать
противоположные качества, признаки, силы, тенденции развития и
т.п. Непонимание различия между противоречащими и противоположными суждениями иногда приводит к отрицанию некоторыми
учеными универсального характера закона непротиворечия. На
этом основании нередко противопоставляют закон непротиворечия
логики закону или принципу единства и борьбы противоположностей диалектики. Однако этот принцип говорит о противоположных
тенденциях в развитии предметов, явлений и реальных систем, а не
о логическом противоречии одной из противоположных тенденций
другой.
Законы логики выражают непротиворечивый характер нашего
мышления и поэтому непосредственно не касаются характеристики
общих закономерностей развития реального мира, которые иссле-
Часть I. Логика
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]