Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы анализа цепей с распределенными параметрами. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение высшего образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Инженерно-технологическая академия
А. М. ПИЛИПЕНКО
ОСНОВЫ АНАЛИЗА ЦЕПЕЙ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Учебное пособие
Ростов-на-Дону – Таганрог
Издательство Южного федерального университета
2021
1
Содержание
2
УДК 621.372 (075.8)
ББК 32.84я73
П324
Печатается по решению кафедры теоретических основ радиотехники
Института радиотехнических систем и управления
Южного федерального университета
(протокол № 9 от 28 апреля 2021 г.)
Рецензенты:
профессор кафедры «Радиоэлектронные и электротехнические системы
и комплексы» Института сферы обслуживания и предпринимательства
(филиала) Донского государственного технического университета,
доктор технических наук, профессор В. И. Марчук
доцент кафедры антенн и радиопередающих устройств
Инженерно-технологической академии
Южного федерального университета,
кандидат технических наук А. В. Демьяненко
Пилипенко, А. М.
П324 Основы анализа цепей с распределенными параметрами : учеб-
ное пособие / А. М. Пилипенко ; Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2021. – 115 с.
ISBN 978-5-9275-3954-3
В учебном пособии представлены материалы лекционных и практических занятий по следующим разделам дисциплины «Основы теории цепей»:
«Общие сведения о цепях с распределенными параметрами»; «Режимы работы длинной линии»; «Частотные характеристики длинной линии»; «Переходные процессы в длинной линии».
Учебное пособие предназначено для студентов вузов, обучающихся по
направлениям подготовки бакалавров 11.03.01 «Радиотехника» и 11.03.02
«Инфокоммуникационные технологии и системы связи».
УДК 621.372 (075.8)
ББК 32.84я73
ISBN 978-5-9275-3954-3
© Южный федеральный университет, 2021
© Пилипенко А. М., 2021
© Оформление. Макет. Издательство
Южного федерального университета, 2021
3
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………..
5
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ЦЕПЯХ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ ………………………………………………………..
6
1.1. Конструкции длинных линий ………………………………….
6
1.2. Многозвенная модель длинной линии ………………………..
8
1.3. Классификация длинных линий ………………………………
9
1.4. Телеграфные уравнения ………………………………………..
10
1.5. Общее решение дифференциальных уравнений длинной линии при гармоническом воздействии ……………………………….
11
1.6. Физический смысл волновых параметров линии ……………
18
1.7. Связь погонных и волновых параметров длинных линий с
их физическими размерами ………………………………………...
21
1.8. Моделирование длинной линии многозвенной цепью с
сосредоточенными параметрами …………………………………..
26
2. РЕЖИМЫ РАБОТЫ ДЛИННОЙ ЛИНИИ ………………………..
30
2.1. Коэффициент отражения линии ……………………………….
30
2.2. Уравнения передачи длинной линии ………………………….
31
2.3. Режим бегущих волн …………………………………………...
34
2.4. Режим стоячих волн ……………………………………………
36
2.5. Режим смешанных волн ………………………………………..
43
2.6. Энергетические соотношения в длинной линии без потерь ...
46
3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЛИННОЙ ЛИНИИ ……..
48
3.1. Общие сведения о четырехполюсниках ………………………
48
3.2. Длинная линия как четырехполюсник ………………………..
50
3.3. Входное сопротивление отрезка длинной линии …………….
53
3.4. Применение отрезков длинных линий ………………………..
57
3.5. Согласование длинной линии с нагрузкой ……………………
59
3.6. Коэффициент передачи по напряжению отрезка длинной
линии при произвольной внешней нагрузке ……………………...
64
3.7. Волновые уравнения длинной линии …………………………
67
Содержание
4
4. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ……………………………………………...
71
4.1. Напряжение на выходе линии при согласованной нагрузке ...
71
4.2. Подключение разомкнутого на конце отрезка линии к источнику постоянного напряжения ……………………………………..
74
4.3. Физическое описание переходных процессов в длинной
линии ………………………………………………………………...
76
4.4. Преобразования импульсных сигналов в длинной линии при
рассогласовании …………………………………………………….
77
4.5. Применение операторного метода для анализа переходных
процессов в длинных линиях ………………………………………
80
5. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА …………………………………………
89
5.1. Контрольные вопросы …………………………………………
89
5.2. Практические задачи …………………………………………...
91
5.3. Примеры решения задач ……………………………………….
96
5.4. Тестовые задания ………………………………………………
110
ЗАКЛЮЧЕНИЕ …………………………………………………………
113
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ……………………………………………...
114
5
ВВЕДЕНИЕ
Модели радиотехнических цепей можно разделить на два основных
класса – цепи с сосредоточенными параметрами и цепи с распределенными параметрами.
Цепи с сосредоточенными параметрами – это идеализированные
цепи, которые в общем случае описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. В частном случае, при отсутствии в цепях с сосредоточенными параметрами индуктивностей и емкостей, данные цепи можно
описать алгебраическими уравнениями. Токи и напряжения в цепях с сосредоточенными параметрами могут зависеть от времени и не зависят от
пространственных координат. Следует отметить, что геометрические размеры цепей с сосредоточенными параметрами значительно меньше длины
волны воздействующих на них электромагнитных колебаний l << .
Цепи с распределенными параметрами – это идеализированные цепи, процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями в
частных производных. Токи и напряжения в цепях с распределенными
параметрами зависят как от времени, так и от пространственных координат. В случае одномерной цепи с распределенными параметрами токи и
напряжения являются функциями двух переменных – времени t и координаты x. Исторически сложилось так, что первыми в качестве одномерных
цепей с распределенными параметрами стали представлять линии передачи электромагнитных колебаний от источника к нагрузке, длина которых
значительно превышает длину волны передаваемых электромагнитных
колебаний l >> , поэтому одномерные цепи с распределенными параметрами часто называют длинными линиями или линиями [1].
Следует отметить, что отрезки линий передачи, длина которых
сравнима с длиной волны электромагнитных колебаний l ~ (например,
l = /8, /4, /2, , 2) также являются цепями с распределенными пара-
метрами. Кроме того, в качестве цепей с распределенными параметрами
могут быть представлены различные радиоэлектронные компоненты или
устройства в области достаточно высоких частот, когда размеры компонента или устройства сравнимы или превышают длину волны воздействующих на них электромагнитных колебаний.
Содержание
6
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ЦЕПЯХ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
1.1. Конструкции длинных линий
В данном пособии рассматриваются одномерные цепи с распреде-
ленными параметрами, у которых только продольный размер (длина линии l) значительно превышает или сравним с длиной волны , воздействующих на них электромагнитных колебаний. Поперечные размеры одномерной цепи с распределенными параметрами значительно меньше
длины волны . Таким образом, можно полагать, что токи и напряжения в
одномерных цепях с распределенными параметрами зависят от времени и
только от одной пространственной координаты x, вдоль которой измеряется длина линии. Зависимостями токов и напряжений одномерной длинной
линии от поперечных пространственных координат можно пренебречь.
Термины «одномерная цепь с распределенными параметрами» и
«длинная линия» или «линия» в данном пособии будут использоваться как
синонимы. Однако необходимо помнить о том, что в качестве одномерных
цепей с распределенными параметрами следует рассматривать не только
линии передачи, длина которых значительно превышает длину волны
электромагнитных колебаний l >> , но и отрезки линий передачи, длина
которых сравнима с длиной волны l ~ , а также различные радиоэлектронные компоненты и устройства, продольный размер которых сравним с
длиной волны или превышает ее.
Следует отметить, что линию передачи, длина которой значительно
меньше длины волны l << , можно условно назвать «короткой линией».
«Короткая линия» является цепью с сосредоточенными параметрами и ее
схема замещения в простейшем случае представляет собой короткозамкнутый участок цепи. Схема замещения «короткой линии» также может
содержать конечное число идеализированных пассивных элементов с сосредоточенными параметрами, позволяющих учесть эквивалентное сопротивление, емкость и/или индуктивность линии.
При определении к какому классу цепей относится линия передачи
ключевое значение имеет не абсолютная длина линии l, а относительная
(электрическая) длина линии l / .
1.1. Конструкции длинных линий
7
Рассмотрим кабель длиной lт = 10 м, предназначенный для передачи телевизионного сигнала, имеющего частоту fт = 500 МГц и линию передачи электрической энергии, длина которой lэ = 10 км, частота напряжения, передаваемого по этой линии fэ = 50 Гц. Полагая, что в обоих случаях
скорость распространения электромагнитных волн равна скорости света
c = 3∙108 м/с, получаем, что длина волны электромагнитных колебаний при
передаче телевизионного сигнала
8
т
6
т
3 10
0,6 м,
500 10
с
f
= = =
а при передаче электрической энергии
8
э
э
3 10
6000 км.
50
с
f
= = =
Таким образом, телевизионный кабель длиной 10 м является длинной линией, так как для него выполняется условие lт >> т (lт / т ≈17 >> 1).
В свою очередь, линия передачи электрической энергии, длиной 10 км не
является длинной линией, а является цепью с сосредоточенными параметрами, также называемой «короткой линией», так как для нее lэ << э
(lэ / э ≈ 0,0017 << 1).
Основными видами длинных линий являются двухпроводная линия, коаксиальный кабель и микрополосковая линия, базовые конструкции
которых показаны на рис. 1.1 [2].
а
б
в
Рис. 1.1. Примеры конструкций длинных линий: а – двухпроводная линия,
б – коаксиальный кабель, в – микрополосковая линия
Двухпроводная линия представляет собой пару изолированных
проводов (d – диаметр каждого провода, D – расстояние между центрами
проводов). Провода могут быть параллельны друг другу, либо скручены
друг с другом. В последнем случае двухпроводная линия также называет-
D
d
1. Общие сведения о цепях с распределенными параметрами
8
ся «витой парой». «Витая пара» может состоять из одной, двух или четырех пар проводников и менее подвержена воздействию внешних помех,
чем двухпроводная линия с параллельными проводниками.
Коаксиальный кабель образуется центральным проводником, диа-
метр которого равен d, и внешним цилиндрическим проводником (экраном) диаметром D > d. Пространство между центральным проводником и
экраном, как правило, заполнено диэлектриком.
Коаксиальный кабель обеспечивает меньшие потери энергии на излучение электромагнитного поля во внешнее пространство, чем стандартная неэкранированная двухпроводная линия, так как электромагнитное поле
коаксиального кабеля отделено от внешнего пространства оболочкой внешнего цилиндрического проводника. Верхняя граница рабочего диапазона
частот коаксиальных кабелей достигает 2 ГГц, а для неэкранированной витой пары – не превышает 250 МГц. В настоящее время разрабатываются
различные виды экранированных «витых пар», максимальная рабочая частота которых так же, как у коаксиальных кабелей, может достигать 2 ГГц.
Микрополосковая линия состоит из тонких проводящих металлических полос шириной W, расположенных на диэлектрической подложке
высотой h, под которой находится металлический заземляющий слой.
Микрополосковые линии могут применяться на частотах до 10 ГГц.
1.2. Многозвенная модель длинной линии
Длинная линия описывается совокупностью погонных (первичных) параметров – параметров линии, отнесенных к единице длины:
R1 – погонное сопротивление (сопротивление линии на единицу
длины, Ом/м);
L1 – погонная индуктивность (индуктивность линии на единицу
длины, Гн/м);
С
1
– погонная емкость (емкость линии на единицу длины, Ф/м);
G1 – погонная проводимость утечки (проводимость линии на еди-
ницу длины, См/м).
Многозвенная модель (схема замещения) длинной линии может
быть представлена в виде бесконечного множества элементарных звень-
ев – элементов c бесконечно малой длиной dх (рис. 1.2) [3]. Каждое эле-
1.3. Классификация длинных линий
9
ментарное звено содержит сопротивление R1dx, индуктивность L1dx, проводимость G1dx и емкость C1dx.
Схема замещения линии, длина которой равна l, показана на рис. 1.2.
Рис. 1.2. Многозвенная модель длинной линии
На рис. 1.2 приняты следующие обозначения:
x – координата, отсчитываемая от начала линии;
x' = l – x – координата, отсчитываемая от конца линии;
u(0, t) и i(0, t) – мгновенные значения напряжения и тока в начале
линии;
u(l, t) и i(l, t) – мгновенные значения напряжения и тока в конце ли-
нии;
u(x, t) и i(x, t) – мгновенные значения напряжения и тока в точке с
координатой х (на входе элементарного звена);
u(x + dx, t) и i(x + dx, t) – мгновенные значения напряжения и тока в
точке с координатой x + dx (на выходе элементарного звена).
1.3. Классификация длинных линий
Существуют различные способы классификации длинных линий.
Как правило, эти способы связаны со значениями погонных параметров
линии и характером их изменения в зависимости от координат, времени и
частоты воздействия.
В зависимости от характера изменения погонных параметров вдоль
цепи различают следующие виды длинных линий:
− однородные (регулярные) длинные линии – цепи с распределен-
ными параметрами, погонные параметры которых постоянны и не зависят
от координаты;
1. Общие сведения о цепях с распределенными параметрами
10
− неоднородные (нерегулярные) длинные линии – цепи с распре-
деленными параметрами цепи, погонные параметры которых являются
функциями координаты.
В зависимости от типов элементов, входящих в многозвенную мо-
дель, и, соответственно, в зависимости от того какие процессы преобла-
дают в реальной цепи с распределенными параметрами, различают следующие виды длинных линий:
− линии без потерь (LC-линии);
− индуктивно-емкостные линии с потерями (RLC-линии);
− резистивно-емкостные линии (RС-линии);
− резистивно-индуктивные линии (RL-линии);
− резистивные линии (RG-линии).
Наиболее часто для моделирования линий передачи и колебательных систем сверхвысоких частот используются линии без потерь и линии
с малыми потерями. Для моделирования различных пассивных элементов
интегральных микросхем (пленочных и диффузионных резисторов, конденсаторов, соединительных проводников и перемычек) применяют рези-
стивно-емкостные линии. Для моделирования контактов к различным
микроэлектронным элементам служат резистивные линии [1].
1.4. Телеграфные уравнения
Телеграфные уравнения (ТУ) – это дифференциальные уравнения
длинной линии, связывающие токи и напряжения ее элементарного звена.
Покажем, что электрические процессы в цепях с распределенными
параметрами описываются дифференциальными уравнениями в частных
производных. Для этого рассмотрим элементарное звено (ячейку) длинной
линии, схема которого приведена на рис. 1.3.
На рис. 1.3 обозначены мгновенные значения напряжения и тока на
входе элементарного звена u(х, t) = u и i(x, t) = i, которые являются функциями координаты х и времени t. Предполагается, что мгновенные значения напряжения и тока на выходе элементарного звена длиной dx соответственно равны u(x + dx, t) = u + du и i(x + dx, t) = i + di, где du и di – приращения напряжения и тока на участке цепи длиной dx, которые имеют следующий вид:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]