Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы анализа цепей с распределенными параметрами. Учебное пособие
.pdf
5.3. Примеры решения задач
101
Подставляя численные значения β, Сэк, f и Rв в выражение (5.3),
получаем
6 12
1 3,14
arctg(6,28 100 10 100 10 75,2) 0,62 1,43
2,196 2,196
n
ln
−
= + = +
.
Минимальная длина отрезка линии l
min
соответствует наименьшему
положительному значению l, которое в случае емкостного характера входного сопротивления разомкнутого отрезка линии будет иметь место при
n = 0, таким образом
l
min
= 0,62 м.
Эквивалентное комплексное сопротивление индуктивного элемента
эк эк
Z j L=
. (5.4)
При Zх = Zэк, получаем xх = ωLэк,, следовательно
в эк
ctgR l L− =
в
эк
tg
R
L
l
= −
в
эк
tg
2
R
l
fL
= −
.
Решение полученного тригонометрического уравнения имеет вид:
в
эк
1
arctg
2
R
n
l
fL
=+
, (5.5)
где n – целое число.
Подставляя численные значения β, Lэк, f и Rв в выражение (5.5),
получаем
66
1 75,2 3,14
arctg 0,0897 1,43
2,196 2,196
6,28 100 10 0,6 10
n
ln
−
= − + = − +
.
Минимальная длина отрезка линии l
min
соответствует наименьшему
положительному значению l, которое в случае индуктивного характера
входного сопротивления разомкнутого отрезка линии будет иметь место
при n = 1, таким образом
l
min
= − 0,0897 + 1,43 = 1,34 м.
Пример 6. Длинная линия без потерь имеет следующие погонные
параметры: L1 = 2,63∙10
− 7
Гн/м, С1 = 46,5∙10
– 12
Ф/м. Частота гармониче-
ского воздействия f = 100 МГц. Определим минимальную длину короткозамкнутого на конце отрезка данной длинной линии, если он эквивалентен
5. Оценочные средства
102
реактивному элементу: а) емкости Сэк = 100 пФ; б) индуктивности
L
эк
= 0,6 мкГн.
Комплексное входное сопротивление короткозамкнутого на конце
отрезка линии имеет вид
к в к
tgZ jR l jx= =
. (5.6)
Волновое сопротивление линии и коэффициент фазы при заданных
погонных параметрах были определены в примере 5:
в
75,2R
Ом;
2,196
рад/м.
Эквивалентное комплексное сопротивление емкостного элемента Zэк
определяется выражением (5.2), тогда, при Zк = Zэк, получаем xк = − 1 / ωСэк,
следовательно
в
эк
1
tgRl
С
= −
эк в
1
tg
2
l
fСR
= −
.
Решение полученного тригонометрического уравнения имеет вид:
эк в
11
arctg
2
n
l
fСR
= − +
, (5.7)
где n – целое число.
Подставляя численные значения β, Сэк, f и Rв в выражение (5.7),
получаем
6 12
1 1 3,14
arctg 0,095 1,43
2,196 2,196
6,28 100 10 100 10 75,2
n
ln
−
= − + = − +
.
Минимальная длина отрезка линии l
min
соответствует наименьшему
положительному значению l, которое в случае емкостного характера входного сопротивления короткозамкнутого отрезка линии будет иметь место
при n = 1, таким образом
l
min
= − 0,095 + 1,43 = 1,335 м.
Эквивалентное комплексное сопротивление индуктивного элемента
Zэк определяется выражением (5.4), тогда, при Z
к
= Zэк, получаем xк = ωLэк,
следовательно
в эк
tgR l L =
эк
в
2tgfL
l
R
=
.
Решение полученного тригонометрического уравнения имеет вид:
5.3. Примеры решения задач
103
эк
в
2
1
arctg
fL
n
l
R
=+
, (5.8)
где n – целое число.
Подставляя численные значения β, Lэк, f и Rв в выражение (5.8),
получаем
66
1 6,28 100 10 0,6 10 3,14
arctg 0,626 1, 43
2,196 75,2 2,196
n
ln
−
= + = +
.
Минимальная длина отрезка линии l
min
соответствует наименьшему
положительному значению l, которое в случае индуктивного характера
входного сопротивления короткозамкнутого отрезка линии будет иметь
место при n = 0, таким образом
l
min
= 0,626 м.
Пример 7. Для разомкнутого и короткозамкнутого отрезков линии
без потерь с известными погонными параметрами L1 = 2,63∙10
− 7
Гн/м,
С
1
= 46,5∙10
− 12
Ф/м и длиной l = 1 м определим частоты, на которых вы-
полняются условия резонанса токов и резонанса напряжений.
В случае разомкнутого отрезка линии с заданной длиной l реак-
тивная составляющая входного сопротивления:
x в
ctgx R l= −
.
Условие резонанса токов в разомкнутом отрезке линии (xx → ∞) будут
выполняться, если его длина кратна целому числу полуволн (см. рис 3.4):
2
k
l
=
, где k = 1, 2, 3,… (5.9)
Подставляя
ф 1 1
/ 1/v f f L C = =
в выражение (5.9), получаем частоты,
на которых выполняется условие резонанса токов в разомкнутом отрезке
линии с заданной длиной l:
6
7 12
11
143 10 143
2
2 2,63 10 46,5 10
k
kk
f k k
l L C
−−
= = = =
МГц. (5.10)
Условие резонанса напряжений в разомкнутом отрезке линии
(xx = 0) будут выполняться, если его длина кратна нечетному числу четвертей длин волн (см. рис 3.4):
5. Оценочные средства
104
(2 1)
4
n
l
+
=
, где n = 0, 1, 2,… (5.11)
Подставляя
ф 1 1
/ 1/v f f L C = =
в выражение (5.11), получаем ча-
стоты, на которых выполняется условие резонанса напряжений в разомкнутом отрезке линии с заданной длиной l:
7 12
11
2 1 2 1
71,5(2 1)
4
4 2,63 10 46,5 10
n
nn
fn
l L C
−−
++
= = = +
МГц. (5.12)
В случае короткозамкнутого отрезка линии с заданной длиной l
реактивная составляющая входного сопротивления
кв
tgx R l=
.
Условие резонанса токов в короткозамкнутом отрезке (xк → ∞) бу-
дет выполняться, если его длина кратна нечетному числу четвертей длин
волн (см. рис 3.3), что соответствует частотам fn, которые определяются по
формуле (5.12).
Условие резонанса напряжений в короткозамкнутом отрезке (xк = 0)
будет выполняться, если его длина кратна целому числу полуволн
(см. рис 3.3), что соответствует частотам fk, которые определяются по
формуле (5.10).
Пример 8. Отрезок длинной линии без потерь нагружен на резистивный элемент с сопротивлением Rн = 100 Ом. Длина отрезка l = λ / 8,
волновое сопротивление Rв = 75 Ом, частота гармонического воздействия
f = 100 МГц. Рассчитаем комплексную входную проводимость отрезка, по-
строим параллельную схему замещения отрезка и определим ее параметры.
Принимая во внимание формулу (3.26), получаем комплексную
входную проводимость отрезка линии без потерь при l = λ / 8:
вн
н в в
2
2 2 2
1 75 100 1 3 4 1 (3 4)(4 3) 1
100 75 75 4 3 75 (4 3)(4 3) 75
12 9 16 12 1 24 7 24 7
0,0128 0,00373 См.
75 (16 9)75 1875
43
R jR
j j j j
Y
R jR R j j j j
j j j j j
j
j
+
+ + + −
= = = = =
+ + + + −
− + − + +
= = = = +
+
−
Следует отметить, что | Y | = 1/Rв ≈ 0,0133 См.
Комплексная входная проводимость отрезка линии содержит резистивную составляющую g = Re(Y ) и реактивную составляющую b = Im(Y ).
5.3. Примеры решения задач
105
Поскольку g > 0, b > 0, комплексная входная проводимость отрезка линии
имеет резистивно-емкостной характер и параллельная схема замещения
будет содержать эквивалентное сопротивление и емкость (рис. 5.1, а):
пар
пар
1
Y g jb j С
R
= + = +
.
Параметры параллельной схемы замещения определяются следую-
щим образом:
пар
11
78,1
0,0128
R
g
= =
Ом;
пар
6
0,00373
5,94
2
6,28 100 10
bb
Сf= =
пФ.
Пример 9. Отрезок длинной линии без потерь нагружен на резистивный элемент с сопротивлением Rн = 100 Ом. Длина отрезка l = 3λ / 8,
волновое сопротивление Rв = 75 Ом, частота гармонического воздействия f = 100 МГц. Рассчитаем комплексное входное сопротивление отрезка, построим последовательную схему замещения отрезка и определим ее параметры.
В соответствии с формулой (3.27), комплексное входное сопротивление отрезка линии без потерь при l = 3λ / 8:
нв
в
вн
2
2 2 2
100 75 4 3 (4 3)(3 4)
75 75 75
75 100 3 4 (3 4)(3 4)
12 9 16 12 24 7
75 75 (24 7) 3 72 21Ом.
(16 9)
34
R jR
j j j j
ZR
R jR j j j j
j j j j
jj
j
−
− − − +
= = = = =
− − − − +
− + − +
= = = + = +
+
−
Комплексное входное сопротивление отрезка линии содержит резистивную составляющую r = Re(Z ) и реактивную составляющую x = Im(Z ).
Поскольку r > 0, x > 0, комплексное входное сопротивление отрезка линии
имеет резистивно-индуктивный характер и последовательная схема замещения будет содержать эквивалентные сопротивление и индуктивность
(рис. 5.1, б):
посл посл
Z r jx R j L= + = +
.
Параметры последовательной схемы замещения определяются следующим образом:
5. Оценочные средства
106
посл
72Rr==
Ом;
посл
6
21
33,4
2
6,28 100 10
xx
L
f
= =
нГн.
Рис. 5.1. Схемы замещения отрезка длинной линии с резистивной нагрузкой
Rн > Rв при l = λ / 8 (а) и l = 3λ / 8 (б)
Пример 10. Для линии без потерь известны фазовая скорость
v
ф
= 2∙108 м/с, время задержки t0 = 4 нс и погонная емкость C1 = 26 пФ/м.
Рассчитаем минимальное и максимальное значения АЧХ коэффициента
передачи линии по напряжению, а также значения частот, соответствующие рассчитанным значениям АЧХ при заданном сопротивлении нагрузки: а) Rн = 250 Ом; б) Rн = 100 Ом.
Для расчета АЧХ коэффициента передачи линии по напряжению
необходимо знать волновое сопротивление линии.
Как известно, волновое сопротивление линии и фазовая скорость
определяются с помощью следующих соотношений:
1
в
1
L
R
С
=
, (5.13)
ф
11
1
v
L С
=
. (5.14)
Поскольку выше заданы значения С1 и vф, то вначале определим из
выражения (5.14) погонную индуктивность
1
2
ф1
1
L
v С
=
, (5.15)
Подставляя выражение (5.15) в (5.13), получаем волновое сопро-
тивление линии
5.3. Примеры решения задач
107
в
8 12
ф1
11
192
2 10 26 10
R
v С
−
= =
Ом.
В случае (а) Rн = 250 Ом, получаем Rн > Rв и, следовательно,
максимальное значение АЧХ:
н
max
в
250
1,3
192
R
K
R
= =
имеет место на частотах f0, 3f0, 5f0,…;
минимальное значение АЧХ:
min
1K =
имеет место на частотах 0, 2f0, 4f0…
В случае (б) Rн = 100 Ом, получаем Rн < Rв и, следовательно,
максимальное значение АЧХ:
max
1K =
имеет место на частотах 0, 2f0, 4f0…;
минимальное значение АЧХ:
н
min
в
100
0,521
192
R
K
R
= =
имеет место на частотах f0, 3f0, 5f0,…
Частота резонанса f0 определяется на основании выражения (3.41)
0
9
0
11
62,5
4
4 4 10
f
t
−
= = =
МГц.
Пример 11. На вход линии без потерь, согласованной с нагрузкой,
поступает прямоугольный импульс напряжения. Погонные параметры
линии: L1 = 0,42∙10
− 6
Гн/м, С1 = 75∙10
− 12
Ф/м. Через какое время t0 им-
пульс появится на выходе линии, если ее длина l = 100 м?
Очевидно, что импульс достигнет конца линии через время задержки, равное отношению длины линии к фазовой скорости:
6 12
0 1 1
ф
100 0,42 10 75 10 0,561
l
t l L C
v
−−
= = =
мкс.
Пример 12. Для линии без потерь известны фазовая скорость
v
ф
= 2∙108 м/с, время задержки t0 = 4 нс и погонная емкость C1 = 26 пФ/м.
Рассчитаем и построим временные диаграммы напряжений на входе и
выходе линии на интервале t [0, 4t0+tи], полагая, что линия подключена к
источнику энергии с внутренним сопротивлением Ri = 75 Ом, ЭДС источ-
5. Оценочные средства
108
ника имеет вид одиночного прямоугольного импульса (высота импульса
E = 1 В, длительность импульса tи = t0 /4). Сопротивление нагрузки, под-
ключенной к выходу линии: а) Rн = 250 Ом; б) Rн = 100 Ом.
Линия без потерь, к входу которой подключен реальный источник
энергии, а к выходу – резистивная нагрузка, приведена на рис. 4.4. Волновое сопротивление данной линии было определено в примере 10:
R
в
≈ 192 Ом.
Как показано в подразд. 4.4 в момент времени t = 0 на вход линии
будет поступать одиночный прямоугольный импульс длительностью
tи = t0 /4 = 1 нс
и высотой
в
1
в
192
(0) 0,719
75 192
i
R
uE
RR
=
++
В.
Далее используя понятия коэффициентов отражения в начале и в
конце линии
в
1
в
i
i
RR
RR
−
=
+
и
нв
2
нв
RR
RR
−
=
+
можно рассчитать импульсы на входе линии u1 и выходе линии u2, через
интервалы времени, кратные t0.
В случае (а) Ri = 75 Ом и Rн = 250 Ом, следовательно
1
75 192
0,439;
75 192
−
−
+
2
250 192
0,13;
250 192
−
+
u2(t0) = u1(0) (1 + ρ2) ≈ 0,719∙(1 + 0,13) ≈ 0,813 В;
u1(2t0) = ρ2u1(0) (1 + ρ1) ≈ 0,13∙0,719∙(1 − 0,439) ≈ 0,053 В;
u2(3t0) = ρ1ρ2u1(0)(1 + ρ2) ≈ − 0,439∙0,13∙0,719∙(1 + 0,13) ≈ − 0,047 В;
2 2 3
1 0 1 2 1 1
(4 ) (0)(1 ) 0,439 0,13 0,719(1 0,439) 3 10 В.u t u
−
= + − − −
Временные диаграммы напряжений на входе и выходе линии при
R
i
= 75 Ом, Rв ≈ 192 Ом, Rн = 250 Ом приведены на рис. 5.2.
В случае (б) Ri = 75 Ом и Rн = 100 Ом, следовательно
1
75 192
0,439;
75 192
−
−
+
2
100 192
0,316;
100 192
−
−
+
u2(t0) = u1(0) (1+ρ2) ≈ 0,719∙(1 − 0,316) ≈ 0,492 В;
5.3. Примеры решения задач
109
Рис. 5.2. Напряжения u1 и u2 на входе и выходе линии соответственно
при Ri = 75 Ом, Rв ≈ 192 Ом, Rн = 250 Ом
u1(2t0) = ρ2u1(0) (1+ρ1) ≈ − 0,316∙0,719∙(1 − 0,439) ≈ − 0,127 В;
u2(3t0) = ρ1ρ2u1(0)(1+ρ2) ≈ − 0,439(− 0,316)0,719(1 − 0,316) ≈ 0,068 В;
22
1 0 1 2 1 1
(4 ) (0)(1 ) 0,44 ( 0,32) 0,72(1 0,44) 0,018В.u t u= + − − − −
Временные диаграммы напряжений на входе и выходе линии при
R
i
= 75 Ом, Rв ≈ 192 Ом, Rн = 100 Ом приведены на рис. 5.3.
Рис. 5.3. Напряжения u1 и u2 на входе и выходе линии соответственно
при Ri = 75 Ом, Rв ≈ 192 Ом, Rн = 100 Ом
Из рис. 5.2 и 5.3 видно, что импульсы на входе и выходе линии могут иметь как положительную, так и отрицательную полярности в зависимости от соотношения между сопротивлениями Ri, Rв и Rн.
5. Оценочные средства
110
5.4. Тестовые задания
1. Какую размерность имеет коэффициент затухания цепи с распре-
деленными параметрами?
а) Нп/км;
б) нФ/км;
в) Ом/км;
г) рад/км.
2. Какой линии соответствуют уравнения передачи
1
( ) ,
x
U x U e
−
=
1
()xI x I e−=
?
а) линия без потерь при чисто активной нагрузке;
б) линия без потерь при любой нагрузке;
в) линия без искажений при любой нагрузке;
г) линия с потерями при согласованной нагрузке.
3. Вдоль какой линии волны всех частот распространяются с одина-
ковой фазовой скоростью и затухают в равной степени?
а) линией без потерь;
б) однородной линией;
в) линией без искажений;
г) линией с согласованной нагрузкой.
4. Какое из свойств соответствует линии без потерь?
а) фазовая скорость зависит от частоты;
б) коэффициент затухания зависит от частоты;
в) коэффициент затухания равен нулю;
г) коэффициент фазы равен нулю.
5. В линии с распределенными параметрами коэффициент распро-
странения γ = 0,003 + 0,018 км
– 1
. Чему равна длина линии l, если ослаб-
ление сигнала в ней А = 0,9 Нп?
а) 200 км;
б) 300 км;
в) 400 км;
г) 500 км.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]