Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы анализа цепей с распределенными параметрами. Учебное пособие
.pdf
3.2. Длинная линия как четырехполюсник
51
Рис. 3.2. Условное графическое изображение отрезка длинной линии
в виде четырехполюсника
− первичные (погонные) параметры линии R1, L1, G1, C1;
− вторичные (волновые) параметры линии (Zв, γ);
− напряжение и ток в начале линии
1
0()x
U x U==
и
1
0
()
x
I x I
=
=
;
− напряжение и ток в конце линии
2
()
xl
U x U==
и
2
()
xl
I x I
=
=
.
Полагая в уравнениях передачи длинной линии (2.7) x = 0, x' = l,
1
(0)UU=
,
1
(0)II=
получаем уравнения длинной линии как четырехпо-
люсника, также называемые основными уравнениями четырехполюсника с распределенными параметрами в форме А:
1 2 2 в
1 2 2
в
ch sh ;
sh
ch .
U U l I Z l
l
I U I l
Z
= +
= +
(3.11)
Сформулированные выше названия уравнений (3.11) обоснованы
тем, что форма записи уравнений (3.11) полностью соответствует основным уравнениям четырехполюсника в форме A (3.2).
Сравнивая уравнения (3.11) с уравнениями (3.2) нетрудно опреде-
лить A-параметры отрезка длинной линии и записать соответствующую
матрицу А-параметров:
в
11 12
21 22
в
ch sh
sh
ch
l Z l
AA
А
l
l
AA
Z
==
. (3.12)
3. Частотные характеристики длинной линии
52
На основе матрицы А-параметров можно получить выражения для
любых других первичных параметров четырехполюсника с распределенными параметрами с помощью формул перехода [9]. В частности, матрица
Z-параметров отрезка длинной линии как четырехполюсника имеет следующий вид
11
вв
21 21
11 12
21 22
22 вв
21 21
ch
sh sh
ch
1
sh sh
A
A
Z l Z
AA
ll
ZZ
Z
ZZ
A Z Z l
A A l l
= = =
. (3.13)
Нетрудно показать, что соотношения между первичными параметрами отрезка длинной линии удовлетворяют формулам (3.3), которые соответствуют симметричному четырехполюснику.
С помощью формул (3.4) и (3.10) определим характеристические
параметры отрезка длинной линии:
12 в
св
21 в
sh
;
(sh ) /
A Z l
ZZ
A l Z
= = =
( )
11 12 21
ln ln(ch sh ) .A A A l l l = + = + =
Таким образом, отрезок однородной длинной линии можно рассматривать как симметричный четырехполюсник, характеристическое
сопротивление которого равно волновому сопротивлению линии Zc = Zв, а
характеристическая постоянная передачи – произведению коэффициента
распространения на длину отрезка Γ = γl.
Следует отметить, что в случае линии без потерь α = 0, γ = jβ,
Z
в
= Rв, ch γl = cos βl, sh γl = j sin βl, тогда характеристические параметры
отрезка длинной линии:
св
;ZR=
j j l = =
,
основные уравнения четырехполюсника с распределенными параметрами
в форме А:
1 2 2 в
1 2 2
в
cos sin ;
sin
cos .
U U l jI R l
jl
I U I l
R
= +
= +
(3.14)
3.3. Входное сопротивление отрезка длинной линии
53
3.3. Входное сопротивление отрезка длинной линии
Комплексное входное сопротивление Z отрезка длинной линии, к
выходу которой подключено сопротивление
н 2 2
Z U I
=
можно опреде-
лить из уравнений длинной линии (3.11):
1 2 2 в н в
в
нв
12 в2
ch sh ch sh
sh ch
(sh ) / ch
U U l I Z l Z l Z l
ZZ
Z l Z l
I U l Z I l
+ +
= = =
+
+
. (3.15)
Из выражения (3.15) следует, что при согласованной нагрузке
Z
н
= Zв входное сопротивление линии равно волновому сопротивлению и
не зависит от длины линии.
При Zн ≠ Zв входное сопротивление линии будет описываться достаточно сложной зависимостью от ее длины, частоты внешнего воздействия
и соотношения между Zн и Zв. В случае линии без потерь данная зависимость принимает следующий вид:
нв
в
вн
cos sin
cos sin
Z l jR l
ZR
R l jZ l
+
=
+
. (3.16)
Рассмотрим наиболее важные для практики режимы короткого замыкания и холостого хода на выходе линии без потерь.
Короткое замыкание на выходе линии без потерь. Полагая в (3.16)
Z
н
= 0, получаем следующее выражение для входного сопротивления ли-
нии без потерь в режиме короткого замыкания на выходе:
н
к в к
0
tg
Z
Z Z jR l jx
=
= = =
. (3.17)
Из выражения (3.17) следует, что комплексное входное сопротивление короткозамкнутого на выходе отрезка длинной линии без потерь является чисто реактивным (мнимым) и реактивная составляющая входного
сопротивления имеет вид
к в в
2
tg tg
l
x R l R
= =
. (3.18)
На рис. 3.3 приведена зависимость реактивной составляющей входного сопротивления короткозамкнутого на конце отрезка линии без потерь
от его длины.
3. Частотные характеристики длинной линии
54
Рис. 3.3. Зависимость реактивной составляющей входного сопротивления отрезка
линии без потерь от его длины в режиме короткого замыкания на выходе
На рис. 3.3 также обозначен характер входного сопротивления ко-
роткозамкнутого отрезка линии без потерь в зависимости от его длины, в
частности:
− при 0 < l < λ/4 входное сопротивление отрезка линии имеет ин-
дуктивный характер (xк > 0);
− при λ/4 < l < λ/2 входное сопротивление отрезка линии имеет ем-
костной характер (xк < 0);
− при l = λ/4 входное сопротивление отрезка линии бесконечно ве-
лико (xк → ∞) и линия эквивалента параллельному колебательному контуру без потерь;
− при l = λ/2 входное сопротивление отрезка линии равно нулю
(xк = 0) и линия эквивалента последовательному колебательному контуру
без потерь.
Следует отметить, что для описания длинных линий вместо абсолютной длины линии l, измеряемой в метрах, также используется относительная длина линии l / λ, которая является безразмерной величиной и
называется электрической длиной линии.
Электрическая длина линии зависит как от ее абсолютной длины l,
так и от частоты внешнего воздействия f. Для линии без потерь электриче-
3.3. Входное сопротивление отрезка длинной линии
55
ская длина прямо пропорциональна ее абсолютной длине и частоте воздействия:
11
11
ф
22
l L C
ll
fl L C
v
= = =
. (3.19)
Из выражений (3.18) и (3.19) можно сделать вывод о том, что зависимости реактивной составляющей входного сопротивления линии от частоты воздействия и от длины линии будут иметь одинаковый вид
(см. рис. 3.3) и отличается от нее только масштабом изображения по оси
абсцисс. Таким образом, изменение частоты воздействия при фиксированной длине линии и изменение длины линии при заданной частоте воздействия вызывают аналогичное изменение характера входного сопротивления короткозамкнутого отрезка линии без потерь, в частности:
− при
11
0 1/ 4f l L C
входное сопротивление отрезка линии имеет
индуктивный характер (xк > 0);
− при
1 1 1 1
1/ 4 1/ 2l LC f l L C
входное сопротивление отрезка линии
имеет емкостной характер (xк < 0);
− при
11
1/ 4f l LC=
входное сопротивление отрезка линии беско-
нечно велико (xк → ∞) и линия эквивалента параллельному колебательному контуру без потерь;
− при
11
1/ 2f l L C=
входное сопротивление отрезка линии равно ну-
лю (xк = 0) и линия эквивалента последовательному колебательному контуру без потерь.
Следует отметить, что при xк → ∞ в линии имеет место резонанс
токов, а при xк = 0 – резонанс напряжений, причем число резонансных ча-
стот в длинной линии бесконечно велико, в отличие от цепей с сосредоточенными параметрами, где число резонансных частот является конечным.
Из рис. 3.3 следует, что резонанс токов в короткозамкнутом отрезке линии имеет место при длине линии кратной нечетному числу четвертей длин волн lk = (2k + 1)λ/4, k = 0, 1, 2, … Тогда в соответствии с выражением (3.19) частоты резонанса токов, при которых линия эквивалента
параллельному колебательному контуру без потерь, определяются следующим образом:
3. Частотные характеристики длинной линии
56
11
21
, 0,1, 2,...
4
k
k
fk
l L C
+
==
(3.20)
Резонанс напряжений в короткозамкнутом отрезке линии имеет ме-
сто при длине линии кратной половине длины волны ln = nλ/2, где
n = 1, 2, 3, … Тогда в соответствии с выражением (3.19) частоты резонанса
напряжений, при которых линия эквивалента последовательному колебательному контуру без потерь, определяются следующим образом:
11
, 1, 2, 3,...
2
n
n
fn
l L C
==
(3.21)
Холостой ход на выходе линии без потерь. Полагая в (3.16) Zн → ∞,
получаем следующее выражение для входного сопротивления линии без
потерь в режиме холостого хода на выходе:
н
x вx
ctg
Z
Z Z jR l jx
→
= = − =
. (3.22)
Из выражения (3.22) следует, что комплексное входное сопротивление разомкнутого на конце отрезка длинной линии без потерь, также
как для рассмотренного выше короткозамкнутого отрезка, является чисто реактивным.
Реактивная составляющая входного сопротивления разомкнутого на
конце отрезка линии без потерь имеет вид
х в в
2
ctg ctg
l
x R l R
= − = −
. (3.23)
На рис. 3.4 приведена зависимость реактивной составляющей входного сопротивления разомкнутого на конце отрезка линии без потерь от
его длины, а также обозначен характер входного сопротивления разомкнутого отрезка в зависимости от его длины. Из рис. 3.4 видно, что в зависимости от длины линии l (или частоты воздействия f ) входное сопротивление разомкнутого на конце отрезка линии без потерь xx аналогично входному сопротивлению короткозамкнутого отрезка может иметь емкостной
характер (xx < 0, 0 < l < λ/4,
11
0 1/ 4f l L C
), индуктивный характер
(xx > 0, λ/4 < l < λ/2,
1 1 1 1
1/ 4 1/ 2l LC f l L C
), а также соответствовать
последовательному колебательному контуру (xx = 0, l = λ/4,
11
1/ 4f l LC=
)
или параллельному колебательному контуру (xx → ∞, l = λ/2,
11
1/ 4f l L C=
).
3.4. Применение отрезков длинных линий
57
Рис. 3.4. Зависимость реактивной составляющей входного сопротивления
отрезка линии без потерь от его длины в режиме холостого хода на выходе
3.4. Применение отрезков длинных линий
Частотные характеристики входных сопротивлений короткозамкнутых и разомкнутых отрезков линий в области резонансных частот близки к
частотным характеристикам колебательных контуров, причем значения добротности, например, короткозамкнутых отрезков может достигать нескольких тысяч. Благодаря данному свойству короткозамкнутые и разомкнутые
отрезки длинных линий часто используются в качестве колебательных
систем в диапазоне сверхвысоких частот (СВЧ). В отличие от колебательных систем с сосредоточенными параметрами число резонансных частот в
колебательных системах с распределенными параметрами бесконечно велико. Колебательные системы с распределенными параметрами позволяют
обеспечить выделение колебаний в определенной полосе частот и, следовательно, могут применяться для реализации фильтров СВЧ.
Короткозамкнутые отрезки линий с индуктивным или емкостным
входным сопротивлением, также называемые реактивными шлейфами,
могут использоваться в качестве компенсирующих элементов, которые
3. Частотные характеристики длинной линии
58
позволяют обеспечить равенство нулю мнимой составляющей входной
проводимости произвольного участка цепи. Реактивный шлейф подключается параллельно к участку цепи, при этом длина шлейфа выбирается так,
чтобы мнимая составляющая входной проводимости шлейфа была равна
по абсолютному значению и противоположна по знаку мнимой составляющей входной проводимости параллельно включенного участка цепи.
При этом суммарное входное сопротивление участка цепи вместе с шлейфом имеет чисто резистивный характер.
Короткозамкнутый отрезок линии длиной λ/4 имеет бесконечно
большое входное сопротивление, поэтому его можно использовать в качестве металлического изолятора для подвески или крепления основной
линии передачи.
Комплексное входное сопротивление отрезка длинной линии в общем случае не равно сопротивлению нагрузки, поэтому отрезки линий
являются трансформаторами сопротивления. Наибольший интерес
представляют отрезки линий без потерь длиной λ/2, λ/4, λ/8.
Подставляя в выражение (3.16) известное соотношение β = 2π / λ
получаем следующее выражение для входного сопротивления отрезка линии без потерь:
нв
в
вн
22
cos sin
22
cos sin
ll
Z jR
ZR
ll
R jZ
+
=
+
. (3.24)
В случае полуволнового отрезка линии без потерь (l = λ / 2) получаем, что входное сопротивление данного отрезка линии равно сопротивлению нагрузки Z = Zн. Следовательно, полуволновый отрезок линии без
потерь повторяет сопротивление нагрузки, т. е. ведет себя как идеальный
трансформатор с коэффициентом трансформации n = 1.
В случае четвертьволнового отрезка линии без потерь (l = λ / 4)
получаем, что входное сопротивление данного отрезка линии имеет следующий вид
2
в
н
R
Z
Z
=
. (3.25)
Таким образом, входное сопротивление четвертьволнового отрезка
линии без потерь, так же называемого четвертьволновым трансформато-
3.5. Согласование длинной линии с нагрузкой
59
ром обратно пропорционально сопротивлению нагрузки и может изменяться в широких пределах при изменении волнового сопротивления линии.
В случае отрезка линии без потерь длиной l = λ / 8 получаем следу-
ющее выражение для входного сопротивление данного отрезка:
нв
в
вн
Z jR
ZR
R jZ
+
=
+
. (3.26)
Если сопротивление нагрузки имеет чисто резистивный характер
(Zн = Rн), то модули числителя и знаменателя дроби, входящей в выражение будут равны и, следовательно, модуль входного сопротивления отрезка линии без потерь длиной l = λ / 8 будет равен волновому сопротивлению
линии | Z | = Rв.
Таким образом, отрезок линии длиной λ / 8 преобразует произвольное резистивное сопротивление в сопротивление, модуль которого равен
Rв. Аналогичным свойством обладает отрезок линии без потерь длиной
3λ / 8, входное сопротивление которого имеет следующий вид:
нв
в
вн
Z jR
ZR
R jZ
−
=
−
. (3.27)
3.5. Согласование длинной линии с нагрузкой
Способность отрезков длинных линий преобразовывать (трансформировать) сопротивления находит широкое применение на практике для
согласования линий передачи с нагрузкой. В результате согласования в
линии устанавливается режим, близкий к режиму бегущих волн, при котором передача энергии осуществляется с наименьшими потерями и практически вся передаваемая линией энергия потребляется нагрузкой.
Следует отметить, что при отсутствии согласования линии с
нагрузкой распределение напряжения вдоль линии является неравномерным (см. рис. 2.6), что увеличивает потери на излучение и опасность электрического пробоя линии в точках, где амплитуда напряжения достигает
наибольшего значения.
Для обеспечения согласования линий передачи с нагрузкой необходимо, чтобы сопротивление нагрузки, подключаемой к линии, было равно
волновому сопротивлению. Ниже рассмотрены способы согласования ли-
3. Частотные характеристики длинной линии
60
нии с нагрузкой на фиксированной частоте с помощью различных отрезков длинной линии.
Согласование с помощью четвертьволнового трансформатора.
Рассмотрим линию передачи с чисто резистивным волновым сопротивлением Rво. В случае если сопротивление нагрузки данной линии
имеет чисто резистивный характер Zн = Rн, то для согласования линии с
нагрузкой четвертьволновый трансформатор, волновое сопротивление
которого равно R
в тр
, необходимо подключать к концу линии – непосред-
ственно между линией и нагрузкой, как показано на рис. 3.5, а.
В этом случае нагрузка Rн и четвертьволновый трансформатор образуют для основной линии новую нагрузку, эквивалентное сопротивление
которой равно комплексному входному сопротивлению полученной цепи
относительно зажимов 1 – 1' и определяется с помощью выражения (3.25)
для входного сопротивления четвертьволнового отрезка линии без потерь:
2
в тр
эк 11
н
R
ZZ
R
==
.
В соответствии с условием согласования основной линии с нагрузкой, подключенной к зажимам 1 – 1', должно выполняться равенство
Z
эк
= Rво, следовательно волновое сопротивление трансформатора R
в тр
будет равно среднему геометрическому из волнового сопротивления основной линии Rво и сопротивления нагрузки Rн:
в тр во н
R R R=
. (3.28)
Рис. 3.5. Согласование линии с нагрузкой с помощью четвертьволнового
трансформатора: а – чисто резистивное сопротивление нагрузки,
б – комплексное сопротивление нагрузки
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]