Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы анализа цепей с распределенными параметрами. Учебное пособие
.pdf
4.1. Напряжение на выходе линии при согласованной нагрузке
71
4. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
4.1. Напряжение на выходе линии при согласованной нагрузке
Рассмотрим отрезок длинной линии, к входу которого подключен
независимый источник напряжения произвольной формы, а к выходу подключена нагрузка, комплексное сопротивление которой равно Zн (рис. 4.1).
Рис. 4.1. Отрезок длинной линии с источником напряжения
произвольной формы и нагрузкой
Для определения токов и напряжений на зажимах линии при произвольном внешнем воздействии можно использовать операторный метод
анализа переходных процессов.
Пусть при t < 0 напряжение на входе однородной линии u1 = 0, а при
t ≥ 0 оно изменяется по произвольному закону u1 = u1(t), тогда ЭДС источ-
ника напряжения, подключенного ко входу линии
e = 1(t)u1(t),
где 1(t) – единичная ступенчатая функция (единичный скачок):
0, 0;
1( )
1, 0.
t
t
t
=
Операторные изображения напряжений на входе U1(р) и выходе
U
2
(р) линии связаны соотношением
U2(р) = K21(р)U1(р),
где K21(р) – операторный коэффициент передачи по напряжению отрезка
линии.
С помощью выражения (3.34) нетрудно получить комплексный коэффициент передачи по напряжению отрезка линии при согласованной
нагрузке (Zн = Zв):
4. Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами
72
21
1
()
ch( ) sh( )
l
K j e
ll
−
= =
+
, (4.1)
где
1 1 1 1
( )( )R j L G j C = + +
– коэффициент распространения линии.
Полагая jω = p, коэффициент распространения линии можно пред-
ставить в операторной форме
1 1 1 1
( ) ( )( )p R pL G pC = + +
, (4.2)
и записать выражение для операторного коэффициента передачи по
напряжению отрезка линии при согласованной нагрузке
()
21
()
pl
K p e
−
=
. (4.3)
Для линии без потерь R1 = 0, G1 = 0, следовательно
11
( ) ,p p LC=
то-
гда операторное изображение напряжения на выходе линии
11
0
2 21 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
pl L C
pt
U p K p U p e U p e U p
−
−
= = =
.
В соответствии с одним из свойств преобразования Лапласа умно-
жению изображения на
0
pt
e
−
соответствует задержка соответствующей
функции времени на t0 (теорема запаздывания), следовательно мгновенное значение напряжения на выходе линии связано с мгновенным значением напряжения на входе линии c помощью соотношения
2 1 0
( ) ( )u t u t t=−
. (4.4)
Время задержки (запаздывания)
0 1 1 ф
/t l L C l v==
равно времени, за
которое падающая волна распространяется вдоль отрезка линии длиной l.
Напряжение u2 на выходе линии без потерь при согласованной
нагрузке представляет собой смещенное во времени на t0 напряжение u1
на входе линии.
Ток на выходе линии
2
i
повторяет по форме выходное напряжение
u2 и равен смещенному во времени на t0 току на входе линии:
10
2
2 1 0
вв
()
()
( ) ( )
u t t
ut
i t i t t
RR
−
= = = −
. (4.5)
Таким образом, линия без потерь при согласованной нагрузке, осу-
ществляет неискажающую передачу колебаний с входа линии на выход с
задержкой на время, требуемое для распространения падающей волны
вдоль линии.
4.1. Напряжение на выходе линии при согласованной нагрузке
73
Условия неискажающей передачи выполняются в линии с потерями,
погонные параметры которой удовлетворяют условию [1]:
11
11
RG
LC
=
. (4.6)
Волновое сопротивление линии с потерями, для которой выполня-
ется условие (4.6), является чисто резистивным:
1 1 1 1 1 1
вв
1 1 1 1 1 1
( / )
( / )
R j L L R L j L
ZR
G j C C G C j C
+ +
= = = =
+ +
,
а коэффициент распространения имеет следующий вид:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 в 1 1
( )( ) ( / )( / )
( / ) / .
R j L G j C L C R L j G C j
R L j L C R R j L C j
= + + = + + =
= + = + = +
Таким образом, при выполнении условия (4.6) волновое сопротив-
ление, фазовая скорость и коэффициент ослабления линии не зависят от
частоты:
в 1 1 в
/Z L C R==
;
ф 1 1
/1v L C= =
;
1 в 1 1
/,R R R G = =
а коэффициент фазы совпадает с коэффициентом фазы линии без потерь:
11
LC=
.
Полагая, что к входу линии, для которой выполняется условие (4.6),
приложено произвольное напряжение u1 = 1(t)u1(t) ≓ U1(p), получаем следующее выражение для операторного изображения напряжения на выходе
линии при согласованной нагрузке
0
()
2 21 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
pt
p l l
U p K p U p e U p e e U p
−
− −
= = =
,
где t0 – время задержки, определяемое выражением (3.37).
Переходя от операторного изображения напряжения U2(p) к оригиналу получаем:
2 1 0
( ) ( )
l
u t e u t t
−
=−
. (4.7)
Таким образом, напряжение на выходе линии, для которой выполняется условие (4.6), совпадает по форме с напряжением на ее входе, но
ослаблено относительно него в eαl раз и задержано на t0.
4. Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами
74
Линии без потерь, а также линии, погонные параметры которых
удовлетворяют условию (4.6), называются линиями без искажений. Рассмотренные свойства линий без искажения используются на практике для
построения устройств задержки сигналов (линий задержки), назначение
которых сдвигать сигнал во времени на определенную величину.
4.2. Подключение разомкнутого на конце отрезка линии
к источнику постоянного напряжения
Рассмотрим разомкнутый на конце отрезок линии без потерь, к вхо-
ду которого в момент времени t = 0 подключается источник постоянного
напряжения E = const: u1 = e = 1(t)E (рис. 4.2).
Рис. 4.2. Разомкнутый на конце отрезок длинной линии без потерь
при воздействии скачка напряжения
В соответствии с формулой (3.34) операторный коэффициент пере-
дачи по напряжению отрезка линии имеет вид
21
в
н
1
()
ch[ ( ) ] sh[ ( ) ]
Kp
Z
p l p l
Z
=
+
. (4.8)
В случае линии без потерь γ(p)l = pl /
vф
= pt0, Zв = Rв, тогда выраже-
ние для операторного коэффициента передачи по напряжению разомкнутого на конце отрезка линии без потерь (режим холостого хода на выходе,
Z
н
→ ∞):
н
21x
в
0
00
11
()
ch( )
ch( ) sh( )
н
Z
Kp
R
pt
pt pt
Z
→
==
+
. (4.9)
В соответствии со свойствами преобразования Лапласа постоян-
ной величине K соответствует операторное изображение K / p [1], следо-
4.2. Подключение разомкнутого на конце отрезка линии к источнику постоянного…
75
вательно операторное изображение напряжения на входе отрезка линии
при t ≥ 0:
1
()
E
Up
p
=
,
тогда операторное изображение напряжения на выходе отрезка линии:
2 21x 1
0
( ) ( ) ( )
ch( )
E
U p K p U p
p pt
==
.
Оригинал для полученного операторного изображения напряжения
на выходе линии можно определить с помощью таблиц преобразования
Лапласа, представленных в [1]:
00
2
00
2 при [(4 3) ; (4 1) ];
0 при [(4 3) ;(4 1) ],
E t k t k t
u
t k t k t
− −
=
− −
(4.10)
где k = 1, 2, 3, …
Мгновенное значение напряжения u2 на выходе разомкнутого отрезка линии без потерь представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов, высота которых в два раза превышает уровень напряжения на входе линии. Длительность каждого импульса равна удвоенному времени задержки 2t0, период повторения импульсов – в четыре раза больше времени задержки (рис. 4.3).
Рис. 4.3. Напряжение на выходе разомкнутого отрезка длинной линии без потерь
при подключении к ее входу источника постоянного напряжения
оставаться неизменной только в случае отсутствия потерь. В линии с потерями высота импульсов будет уменьшаться с течением времени, поскольку колебания в такой линии будут затухать при распространении
4. Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами
76
волны. Однако в случае малой длины отрезка линии, потери в них будут
достаточно малы, поэтому такие отрезки можно использовать для формирования импульсных последовательностей различных видов.
4.3. Физическое описание переходных процессов в длинной линии
Физический смысл полученных выше результатов можно объяснить, используя понятия коэффициентов отражения в начале и в конце
линии, которые для линии без потерь с волновым сопротивлением Rв име-
ют следующий вид:
в
1
в
i
i
RR
RR
−
=
+
; (4.11)
нв
2
нв
RR
RR
−
=
+
, (4.12)
где Ri – внутреннее сопротивление источника энергии, подключенного к
входу линии; Rн – сопротивление нагрузки, подключенной к выходу линии.
Очевидно, что в рассмотренных выше случаях Ri = 0, поэтому
напряжение на входе линии равно ЭДС источника u1 = e, а коэффициент
отражения в начале линии ρ1 = −1.
В случае согласованной нагрузки R
н
= Rв, ρ2 = 0, тогда напряжение
на выходе линии в момент времени t0:
u2(t0) = u
2пад(t0
) + u
2отр(t0
) = u
2пад
(t0),
так как u
2отр(t0
) = ρ
2 u2пад
(t0) = 0.
В свою очередь u
2пад
(t0) = u1(0), так как падающая волна определяется напряжением на входе линии, которое достигает ее выхода через время задержки t0.
Поскольку при согласованной нагрузке отраженная волна в любой
момент времени отсутствует, то после достижения подающей волны конца
линии, напряжение на выходе линии в момент времени t будет совпадать с
напряжением на входе линии в момент времени t − t0:
u2(t) = u1(t − t0).
В случае холостого хода на конце линии R
н
→ ∞, ρ2 = 1, тогда
напряжение на выходе линии в момент времени t = t0:
4.4. Преобразования импульсных сигналов в длинной линии при рассогласовании
77
u2(t0) = u
2пад(t0
) + u
2отр(t0
) = 2u
2пад(t0
),
так как u
2отр(t0
) = ρ
2 u2пад
(t0) = u
2пад(t0
).
В свою очередь u
2пад(t0
) = u1(0) = E, следовательно u2(t0) = 2E.
В момент времени t = 2t0 отраженная от конца линии волна напря-
жения высотой ρ2E = E достигнет ее начала и отразится от него с коэффициентом ρ1 = −1 и будет компенсировать волну напряжения источника,
распространяющуюся к нагрузке, таким образом, в момент времени t = 3t0:
u2(3t0) = u2(t0) + ρ1 E(1 + ρ2) = 2E − 2E = 0.
В момент времени t = 4t0 отраженная от конца линии волна напря-
жения ρ1ρ2E = − E достигнет ее начала и будет компенсировать волну
напряжения − E, отразившуюся от источника в момент 2t0, таким образом,
в момент времени 5t0 на выход линии будет поступать напряжение E от
источника, следовательно:
u2(5t0) = u2(3t0) + E(1 + ρ2) = 2E.
Далее, при отсутствии потерь в линии, процесс будет повторяться с
периодом 4t0 бесконечно долго.
4.4. Преобразования импульсных сигналов в длинной линии
при рассогласовании
Рассмотрим отрезок длинной линии без потерь, к входу которого
подключен реальный источник энергии с чисто резистивным внутренним
сопротивлением Ri, а к выходу – резистивная нагрузка, значение сопротивления которой равно Rн (рис. 4.4) [10].
Будем полагать, что напряжение источника ЭДС представляет собой
одиночный прямоугольный импульс, высота которого равна E, а длительность меньше времени задержки линии tи < t0.
Рис. 4.4. Отрезок линии без потерь с реальным источником энергии
на входе и резистивной нагрузкой на выходе
4. Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами
78
В момент времени t = 0 отраженная волна в линии отсутствует, так
как в этот момент времени падающая волна еще не достигла конца линии,
поэтому можно полагать, что сопротивление в любом сечении линии, в
том числе на ее входе, равно волновому сопротивлению Rв. Следовательно, при t = 0 внутреннее сопротивление источника Ri и входное сопротивление линии Rв будут образовывать делитель напряжения и напряжение на
входе линии можно определить с помощью следующего соотношения:
в
1
в
(0)
i
R
uE
RR
=
+
. (4.13)
Таким образом, в момент времени t = 0 на вход линии будет посту-
пать одиночный прямоугольный импульс высотой u1(0) и длительностью tи.
В момент времени t = t0 одиночный прямоугольный импульс высо-
той u1(0) достигает конца линии и, поскольку линия без потерь является
неискажающей, форма и длительность импульса при распространении
через линию здесь и далее не изменяются, а высота импульса будет определяться коэффициентом отражения в конце линии:
u2(t0) = u
2пад(t0
)+ u
2отр(t0
) = u1(0) (1 + ρ2), (4.14)
так как u
2пад(t0
) = u1(0); u
2отр(t0
) = ρ
2u2пад(t0
) = ρ
2u1
(0).
В момент времени t = 2t0 одиночный прямоугольный импульс, вы-
сотой ρ2u1(0), отраженный от конца линии приходит к ее началу. Высота
импульса, поступившего в начало линии, будет определяться коэффициентом отражения в начале линии:
u1(2t0) = u
1пад
(2t0) + u
1отр
(2t0) = ρ2u1(0) (1 + ρ1), (4.15)
так как u
1отр
(2t0) = u
2отр(t0
) = ρ
2u1
(0); u
1пад
(2t0) = ρ1 u
1отр
(2t0) = ρ1ρ2u1(0).
Процесс переотражений импульса от нагрузки и источника в ли-
нии без потерь будет происходить бесконечно долго, в частности, в момент времени t = 3t0 импульс достигает конца линии и будет иметь следующую высоту:
u2(3t0) = u
2пад
(3t0) + u
2отр
(3t0) = ρ1ρ2u1(0)(1 + ρ2), (4.16)
так как u
2пад
(3t0) = u
1пад
(2t0) = ρ1ρ2u1(0); u
2отр
(3t0) = ρ2u
2пад
(3t0) =
2
1 2 1
(0).u
В момент времени t = 4t0 импульс вернется в начало линии и будет
иметь следующую высоту:
u1(4t0) = u
1пад
(4t0) + u
1отр
(4t0) =
2
1 2 1
(0)u
(1 + ρ1), (4.17)
4.4. Преобразования импульсных сигналов в длинной линии при рассогласовании
79
так как u
1отр
(4t0) = u
2отр
(3t0) =
2
1 2 1
(0);u
u
1пад
(4t0) = ρ1u
1отр
(4t0) =
22
1 2 1
(0).u
Временные диаграммы напряжения источника ЭДС, а также напряжений на входе и выходе линии показаны на рис. 4.5.
Рис. 4.5. Импульс e, формируемый источником ЭДС,
а также напряжения u1 и u2 на входе и выходе линии соответственно
Следует отметить, что импульсы на входе и выходе линии при
t ≥ 2t0 могут иметь как положительную, так и отрицательную полярность,
которая будет зависеть от значений коэффициентов отражения в начале и в
конце линии.
В реальных линиях передачи неизбежно возникают потери энергии,
что будет приводить к изменению длительности и формы импульсов, при
их передаче. Важная прикладная задача радиотехники и связи – уменьшение искажений сигналов в линии передачи.
Как было показано выше, линия, обеспечивающая передачу сигналов без существенных искажений, должна удовлетворять следующим требованиям: 1) коэффициент ослабления α должен быть минимальным;
2) коэффициент фазы β должен линейно зависеть от частоты в пределах
рабочего диапазона:
11
LC
. (4.18)
4. Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами
80
Коэффициент распространения линии, включающий в себя α и β,
определяется следующим образом:
1 1 1 1
( )( ),j R j L G j C = + = + +
(4.19)
поэтому для выполнения указанных выше условий минимизации искажений необходимо уменьшать погонные параметры R1 и G1, что трудновыполнимо по техническим причинам.
Анализ выражения (4.19) показывает, то для уменьшения искажений существует иное решение – повышение погонной индуктивности L1
для выполнения условия ωL1 >> R1. Тогда с учетом того, что в реальных
линиях передачи ωC1 >> G1 коэффициент фазы будет определяться с помощью выражения (4.18). Для повышения погонной индуктивности в
проводных линиях связи через равные интервалы порядка нескольких километров включаются индуктивные катушки [6].
4.5. Применение операторного метода для анализа переходных
процессов в длинных линиях
Уравнения, связывающие мгновенные значения тока i = i(x, t) и
напряжения u = u(x, t) в произвольном сечении длинной линии, представляют собой дифференциальные уравнения в частных производных, также
называемые телеграфными уравнениями, которые имеют следующий вид
(см. подразд. 1.4):
11
11
;
.
iu
G u C
xt
ui
R i L
xt
− = +
− = +
(4.20)
Операторный метод анализа переходных процессов основан на замене
функций времени (оригиналов) функциями комплексной переменной (операторными изображениями) с помощью прямого преобразования Лапласа:
0
0
( , ) ( , ) ;
( , ) ( , ) ,
pt
pt
I x p i x t e dt
U x p u x t e dt
−
−
=
=
(4.21)
где p = σ + jω – комплексная частота, также называемая оператором Лапласа.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]