Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы анализа цепей с распределенными параметрами. Учебное пособие
.pdf
2.2. Уравнения передачи длинной линии
31
нв
2
нв
ZZ
ZZ
−
=
+
, (2.4)
где
н 2 2
Z U I
=
– комплексное сопротивление нагрузки, подключенной к
концу линии.
Учитывая, что
j = +
, комплексный коэффициент отражения
можно представить в виде:
2( ) 2 2
22
( ) ,
j x x j x
x e e e
− + − −
= =
откуда нетрудно получить выражение для модуля коэффициента отражения:
2
2
( ) .
x
xe
−
=
(2.5)
Из выражения (2.5) следует, что модуль коэффициента отражения в
линии с потерями (α > 0) принимает максимальное значение в конце линии (x' = 0) и уменьшается по направлению к началу линии (x' = l). В линии без потерь (α = 0) модуль коэффициента отражения в любом сечении
линии сохраняет постоянное значение, равное модулю коэффициента отражения в конце линии
2
()x =
.
В общем случае модуль коэффициента отражения в произвольном
сечении линии имеет следующий вид:
отр отр
пад пад
( ) ( )
( ) ,
( ) ( )
U x I x
x
U x I x
= =
где U
пад
(x) и U
отр
(x) – действующие значения напряжений падающей и от-
раженной волн; I
пад
(x) и I
отр
(x) – действующие значения токов падающей и
отраженной волн.
2.2. Уравнения передачи длинной линии
Как было отмечено выше, постоянные интегрирования А1 и А2 могут быть выражены через граничные условия (комплексные напряжения и
токи в начале или в конце линии), следовательно комплексное напряжение
и комплексный ток в произвольном сечении линии можно определить,
зная граничные условия.
2. Режимы работы длинной линии
32
Уравнения передачи длинной линии – это уравнения, позволяю-
щие выразить комплексное напряжение и комплексный ток в произвольном сечении линии через граничные условия.
Подставляя выражения для постоянных интегрирования (2.2) в общие решения телеграфных уравнений в комплексной форме (1.4) и (1.5)
получаем уравнения передачи линии в показательной форме при отсчете
координаты от конца линии:
( ) ( )
22в 2 2 в
22в
( ) ( )
22в 2 2 в 2
2
в в в
( ) ;
2 2 2 2
( ) .
2 2 2 2
x x x x
l x l x
x x x x
l x l x
U I Z U I Z
e e e e
U x e e U I Z
U I Z U I Z U
e e e e
I x e e I
Z Z Z
− −
− − −
− −
− − −
+−
+−
= + = +
+−
−+
= − = +
С учетом известных соотношений для гиперболического косинуса и
гиперболического синуса:
ch ; sh ,
22
x x x x
e e e e
xx
− −
+−
= =
(2.6)
получаем уравнения передачи линии в гиперболической форме при отсчете координаты от конца линии:
22в
2
2
в
( ) ch sh ;
( ) sh ch .
U x U x I Z x
U
I x x I x
Z
= +
= +
(2.7)
Комплексное напряжение и комплексный ток в произвольном сече-
нии линии также можно выразить через комплексное напряжение и комплексный ток в начале линии:
1
0
( ) (0)
x
U x U U
=
==
и
1
0
( ) (0)
x
I x I I
=
==
.
С учетом общих решений телеграфных уравнений (1.4) и (1.5) при
x = 0 получаем:
1 1 2
11в1
12
1
11в2
вв
;
2;
;
2,
U A A
U I Z A
AA
I
U I Z A
ZZ
=+
+=
=−
−=
2.2. Уравнения передачи длинной линии
33
откуда
11в
1
;
2
U I Z
A
+
=
11в
2
.
2
U I Z
A
−
=
(2.8)
Подставляя выражения для постоянных интегрирования (2.8) в общие решения телеграфных уравнений в комплексной форме (1.4) и (1.5)
получаем уравнения передачи линии в показательной форме при отсчете
координаты от начала линии:
11в 1 1 в
11в
11в 1 1 в 1
1
в в в
( ) ;
2 2 2 2
( ) .
2 2 2 2
x x x x
xx
x x x x
xx
U I Z U I Z
e e e e
U x e e U I Z
U I Z U I Z U
e e e e
I x e e I
Z Z Z
− −
−
− −
−
+−
+−
= + = −
+−
−+
= − = − +
С учетом соотношений (2.6) для гиперболического косинуса и гиперболического синуса получаем уравнения передачи линии в гиперболиче-
ской форме при отсчете координаты от начала линии:
11в
1
1
в
( ) ch sh ;
( ) sh ch .
U x U x I Z x
U
I x x I x
Z
= −
= − +
(2.9)
В инженерной практике часто рассматривается линия без потерь,
для которой справедливы следующие соотношения:
α = 0, γ = jβ, Zв = Rв, ch γx = cos βx, sh γx = j sin βx.
Таким образом, для линии без потерь уравнения передачи (2.7)
можно преобразовать к следующему виду:
22в
2
2
в
( ) cos sin ;
( ) sin cos .
U x U x jI R x
U
I x j x I x
R
= +
= +
(2.10)
В свою очередь, уравнения передачи (2.9) для линии без потерь
принимают следующий вид:
11в
1
1
в
( ) cos sin ;
( ) sin cos .
U x U x jI R x
U
I x j x I x
R
= −
= − +
(2.11)
2. Режимы работы длинной линии
34
2.3. Режим бегущих волн
Режим бегущих волн – это режим работы длинной линии, при
котором в ней распространяется только падающая волна, т.е.
отр отр
( ) 0 и ( ) 0U x I x==
.
В соответствии с выражением (2.1) в режиме бегущих волн
ρ(x) = 0, следовательно, коэффициент отражения в конце линии также
равен нулю ρ2 = 0.
Как следует из выражения (2.4), ρ2 = 0, если сопротивление нагрузки
линии равно волновому сопротивлению Zн = Zв.
Нагрузка, сопротивление которой Zн = Zв, называется согласованной.
Учитывая, что сопротивление нагрузки линии
н 2 2
Z U I
=
уравне-
ния передачи (2.7) можно представить в виде:
в
2
н
н
2
в
( ) ch sh ;
( ) sh ch .
Z
U x U x x
Z
Z
I x I x x
Z
= +
= +
(2.12)
В режиме бегущих волн Zн = Zв, а исходя из определений гиперболических функций
ch sh
x
x x e
+ =
, поэтому уравнения (2.12) можно
преобразовать к следующему виду:
2
2
( ) ;
( ) .
x
x
U x U e
I x I e
=
=
(2.13)
Уравнения (2.13) позволяют определить комплексные напряжения и
ток в произвольном сечении линии через комплексное напряжение и комплексный ток в конце линии в режиме бегущих волн.
При x' = l значение координаты, отсчитываемой от начала линии,
x = l − x' = 0, следовательно из уравнений (2.13) можно найти комплексные
напряжения и ток в начале линии:
12
0
()
l
x
U x U U e
=
==
;
12
0
()
l
x
I x I I e
=
==
,
2.3. Режим бегущих волн
35
затем преобразовать уравнения (2.13) к следующему виду
()
22
()
22
( ) ;
( ) ,
l x l x
l x l x
U x U e U e e
I x I e I e e
− −
− −
==
==
и выразить комплексное напряжение и комплексный ток в произвольном
сечении линии через комплексное напряжение и комплексный ток в начале линии в режиме бегущих волн:
1
1
( ) ;
( ) .
x
x
U x U e
I x I e
−
−
=
=
(2.14)
Представляя комплексные напряжение и ток в начале линии в пока-
зательной форме:
11
1 1 1 1
,
ui
jj
U U e I I e
==
и учитывая, что
j = +
, можно пе-
рейти от комплексных действующих значений напряжения и тока (2.14) к
мгновенным значениям:
11
11
( , ) 2 cos( );
( , ) 2 cos( ).
x
u
x
i
u x t U e t x
i x t I e t x
−
−
= − +
= − +
(2.15)
Как следует из выражений (2.15) амплитуды напряжения и тока в
режиме бегущих волн в произвольном сечении линии имеют вид:
1
1
( ) 2 ;
( ) 2 .
x
m
x
m
U x U e
I x I e
−
−
=
=
(2.16)
Таким образом, в режиме бегущих волн амплитуды напряжения и
тока в линии с потерями (α > 0) экспоненциально убывают с ростом x, а в
линии без потерь (α = 0) сохраняют одно и то же значение во всех сечениях линии (рис. 2.1).
Режим бегущих волн является наиболее эффективным для передачи
энергии от источника к нагрузке, поскольку в данном режиме отражен-
ная волна в линии отсутствует и энергия передается только в одном
направлении – от источника к нагрузке [6].
Таким образом, для получения максимальной мощности на выходе
линии необходимо использовать нагрузку, согласованную с линией.
2. Режимы работы длинной линии
36
Рис. 2.1. Распределение амплитуд напряжения вдоль линии
в режиме бегущих волн
2.4. Режим стоячих волн
Режим стоячих волн – это такой режим работы линии, при кото-
ром амплитуды (действующие значения) напряжений отраженной и падающей волн во всех сечениях линии одинаковы, т.е. U
отр
(x) = U
пад
(x).
Модуль коэффициента отражения линии |ρ(x)| = U
отр
(x) / U
пад
(x), сле-
довательно, в режиме стоячих волн |ρ(x)| = 1.
В соответствии с выражением (2.5)
2
2
()
x
xe
−
=
, поэтому для
обеспечения |ρ(x)| = 1 необходимо выполнение следующих условий:
1) модуль коэффициента отражения в конце линии |ρ2| = 1;
2) коэффициент ослабления линии α = 0 (линия без потерь).
Из выражения (2.4) следует, что |ρ2| = 1 в трех случаях:
а) сопротивление нагрузки равно нулю Zн = 0;
б) сопротивление нагрузки стремится к бесконечности Zн →∞;
в) сопротивление нагрузки имеет чисто реактивный характер Zн = jxн.
Следовательно, режим стоячих волн может устанавливаться
только в линии без потерь при коротком замыкании на выходе (Zн = 0)
или холостом ходе на выходе (Zн → ∞), а также при чисто реактивном
сопротивлении нагрузки (Zн = jxн) [1].
Далее рассмотрим распределения напряжений и токов вдоль линии
без потерь при Zн = 0, Zн → ∞ и Zн = jxн.
При коротком замыкании на выходе линии Zн = 0, коэффициент
отражения в конце линии
2 н в н в
( ) / ( ) 1Z Z Z Z = − + = −
, комплексное
напряжение на выходе линии
2 н2
0U Z I==
.
2.4. Режим стоячих волн
37
Подставляя
2
0U =
в уравнения (2.10), определяем комплексные
напряжение и ток в произвольном сечении линии:
2 в
2
( ) sin ;
( ) cos .
U x jI R x
I x I x
=
=
(2.17)
Полагая, что начальная фаза комплексного тока
2
I
равна нулю и
учитывая, что j = e
jπ/2
переходим от комплексных действующих значений
напряжения и тока (2.17) к мгновенным значениям:
2 в
2
( , ) [ 2 sin( )]cos( / 2);
( , ) [ 2 cos( )]cos( ).
u x t I R x t
i x t I x t
= +
=
(2.18)
Распределения мгновенных значений напряжения и тока вдоль ко-
роткозамкнутой линии без потерь в различные моменты времени показаны на рис. 2.2.
Из рис. 2.2 видно, что с течением времени координаты точек волн
напряжения и тока, имеющих одинаковую фазу, остаются неизменными, т.
е. волны как бы «стоят на месте». Именно поэтому такой режим работы
линии получил название режим стоячих волн.
Из выражений (2.18) видно, что при коротком замыкании на выходе
линии амплитуды напряжения и тока изменяются по следующим законам:
2 в
2
( ) 2 sin ;
( ) cos .
m
m
U x I R x
I x I x
=
=
(2.19)
Распределения амплитуд напряжения и тока вдоль короткозамкну-
той линии без потерь показаны на рис. 2.3, из которого следует, что в отдельных точках линии амплитуды напряжения и тока принимают макси-
мальные значения
max 2 в
2
m
U I R
=
,
max 2m
II
=
и обращаются в нуль в дру-
гих точках.
Точки, в которых амплитуда напряжения (тока) равна нулю называются узлами напряжения (тока). Точки, в которых амплитуда напряже-
ния (тока) принимает максимальное значение, называются пучностями
напряжения (тока).
Координаты узлов напряжения определяются из условия
( ) 0
m
Ux=
,
что в соответствии с (2.19) равносильно
sin 0x=
, откуда
2. Режимы работы длинной линии
38
2
k
kk
x
==
, где
0,1, 2, ...k =
(2.20)
Рис. 2.2. Распределения мгновенных значений напряжения (а) и тока (б) вдоль
короткозамкнутой линии без потерь в различные моменты времени (t1 < t1 < t3)
Координаты пучностей напряжения определяются из условия
max
()
mm
U x U=
, что в соответствии с (2.19) равносильно
sin 1x
=
или
sin 1x
=
откуда
(2 1) (2 1)
24
m
mm
x
+ +
==
, где
0,1, 2,...m =
(2.21)
Следует отметить, что узлы тока соответствуют пучностям напря-
жения, а пучности тока соответствуют узлам напряжения (см. рис. 2.3).
2.4. Режим стоячих волн
39
Рис. 2.3. Распределения амплитуд напряжения (а) и тока (б) вдоль линии
без потерь, короткозамкнутой на выходе
Можно показать, что в режиме стоячих волн активная (средняя)
мощность, потребляемая произвольным участком линии, равна нулю.
Следовательно, в режиме стоячих волн энергия вдоль линии не передается
и на каждом участке линии происходит только обмен энергией между
электрическим и магнитным полями.
При холостом ходе на выходе линии Zн → ∞, коэффициент отраже-
ния в конце линии
2 н в н в
( )/ ( ) 1Z Z Z Z = − + =
, комплексный ток на выхо-
де линии
22н
/0I U Z
==
. Подставляя
2
0I
=
в уравнения (2.10), определя-
ем комплексные напряжение и ток в произвольном сечении линии:
2
2
в
( ) cos ;
( ) sin .
U x U x
U
I x j x
R
=
=
(2.22)
Из выражений (2.22) нетрудно определить распределения амплитуд
напряжения и тока при холостом ходе на выходе линии (рис. 2.4):
2. Режимы работы длинной линии
40
2
2
в
( ) 2 cos ;
2
( ) sin .
m
m
U x U x
U
I x x
R
=
=
(2.23)
Рис. 2.4. Распределения амплитуд напряжения (а) и тока (б) вдоль линии
без потерь, разомкнутой на выходе
Сравнивая выражения (2.23) и (2.19) можно сделать следующие
выводы:
− распределение амплитуд напряжения при холостом ходе на выхо-
де линии имеет такой же характер, как и распределение амплитуд тока при
коротком замыкании на выходе;
− распределение амплитуд тока при холостом ходе на выходе линии
имеет такой же характер, как и распределение амплитуд напряжения при
коротком замыкании на выходе.
При чисто реактивной нагрузке на выходе линии без потерь
Zн = jx
н
, коэффициент отражения в конце линии имеет вид
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]