Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы анализа цепей с распределенными параметрами. Учебное пособие
.pdf
4.5. Применение операторного метода для анализа переходных процессов…
81
Соответствие оригиналов и операторных изображений записывают
следующим образом:
( , )i x t
≓
( , )I x p
и
( , )u x t
≓
( , ).U x p
Принимая во внимание свойства преобразования Лапласа [1], переходим от дифференциальных уравнений в частных производных (4.20) к
обыкновенным дифференциальным уравнениям длинной линии в операторной форме:
1 1 1
1 1 1
( , )
( ) ( , ) ( ,0);
( , )
( ) ( , ) ( ,0),
dI x p
G pC U x p C u x
dx
dU x p
R pL I x p L i x
dx
− = + −
− = + −
(4.22)
где u(x, 0) и i(x, 0) – начальные условия задачи, описывающие распределения напряжения и тока вдоль линии в момент времени t = 0.
Вначале рассмотрим случай нулевых начальных условий: u(x, 0) = 0
и i(x, 0) = 0.
Продифференцировав второе уравнение системы (4.22) и подставив
в него выражение для dI(x, p) / dx из первого уравнения этой же системы
можно перейти к обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ)
относительно операторного изображения напряжения U(x, p):
2
2
2
( , )
( ) ( , ) 0
dU x p
p U x p
dx
− =
, (4.23)
где
1 1 1 1
( ) ( )( )p R pL G pC = + +
− операторный коэффициент распростране-
ния линии.
Уравнение (4.23) представляет собой однородное ОДУ второго порядка, общее решение которого имеет следующий вид [7]:
( ) ( )
12
( , ) ( ) ( )
p x p x
U x p A p e A p e
−
=+
, (4.24)
где A1(p) и A2(p) – постоянные интегрирования, способы определения которых представлены ниже.
Подставляя выражение (4.24) во второе уравнение системы (4.22) и
учитывая, что и i(x, 0) = 0, можно определить операторное изображение тока:
( ) ( )
12
вв
( ) ( )
( , )
( ) ( )
p x p x
A p A p
I x p e e
Z p Z p
−
=−
, (4.25)
4. Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами
82
где
11
в
11
()
R pL
Zp
G pC
+
=
+
− операторное волновое сопротивление линии.
Постоянные интегрирования A1(p) и A2(p) можно определить с по-
мощью граничных условий: U(0, p); U(l, p); I(0, p); I(l, p). При этом должны быть заданы любые два из четырех граничных условий.
Следует отметить, что для определения постоянных интегрирова-
ния можно использовать операторные сопротивления нагрузки в начале
и/или в конце линии вместо одного или обоих граничных условий.
Операторные сопротивления нагрузки в начале линии Zi(p) и в кон-
це линии Zн(p) связаны с граничными условиями следующим образом:
(0, )
()
(0, )
i
Up
Zp
Ip
=
; (4.26)
н
( , )
()
( , )
U l p
Zp
I l p
=
. (4.27)
Исходя из выражений (4.24)−(4.27) можно сделать следующие выводы:
− в случае, когда к одному из зажимов линии подключен идеальный
источник c заданным напряжением или током, а к другому – нагрузка Zi(p)
или Zн(p) первое уравнение для определения A1(p) и A2(p) можно составить по известному напряжению или току источника, а второе уравнение –
по заданному сопротивлению нагрузки;
− в случае, когда известны сопротивления на входе и выходе линии
Zi(p) и Z
н
(p), а источник энергии при t ≥ 0 отсутствует, можно составить
два уравнения для определения A1(p) и A2(p) на основании выражений
(4.26) и (4.27).
Рассмотрим задачу анализа переходных процессов в линии передачи длиной l и операторным волновым сопротивлением Zв(p), если на входе
линии включен идеальный источник ЭДС, формирующий напряжение
произвольной формы, мгновенное значение которого равно e(t), к выходу
линии подключена нагрузка, операторное сопротивление которой равно
Zн(p). До подключения источника воздействие на линию отсутствовало,
поэтому u(x, 0) = 0 и i(x, 0) = 0.
Операторное изображение ЭДС источника, равное операторному
изображению напряжения на входе линии, определяется с помощью прямого преобразования Лапласа:
4.5. Применение операторного метода для анализа переходных процессов…
83
0
( ) ( ) .
pt
E p e t e dt
−
=
(4.28)
В соответствии с условием задачи и на основании формул (4.24),
(4.25), (4.27) получаем следующие выражения для операторного изображения напряжения в начале линии и операторного сопротивления нагрузки в конце линии:
12
( ) (0, ) ( ) ( );E p U p A p A p= = +
( ) ( )
12
н
( ) ( )
12в
( ) ( )
( , )
()
( , )
( ) ( ) / ( )
p l p l
p l p l
A p e A p e
U l p
Zp
I l p
A p e A p e Z p
−
−
+
==
−
.
Далее нетрудно записать уравнения для определения постоянных
интегрирования:
12
( ) ( )
1 н в 2 н в
( ) ( ) ( );
( ) [ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )] 0.
p l p l
A p A p E p
A p e Z p Z p A p e Z p Z p
−
+=
− − + =
Решая совместно приведенные выше уравнения и принимая во внимание выражение для операторного коэффициента отражения в конце линии
нв
2
нв
( ) ( )
()
( ) ( )
Z p Z p
p
Z p Z p
−
=
+
, (4.29)
получаем постоянные интегрирования:
2 ( )
2
12
2 ( ) 2 ( )
22
( ) ( )
()
( ) ; ( ) .
1 ( ) 1 ( )
pl
p l p l
E p p e
Ep
A p A p
p e p e
−
− −
==
+ +
(4.30)
Подставляя выражения (4.30) в (4.24), получаем операторное изображение напряжения в произвольном сечении линии:
()
2 ( )( )
2
2 ( )
2
()
( , ) 1 ( )
1 ( )
px
p l x
pl
E p e
U x p p e
pe
−
− −
−
= +
+
. (4.31)
При x = l на основании выражения (4.31) можно записать операторное изображение напряжения на выходе линии:
()
22
2 ( )
2
()
( ) ( , ) 1 ( )
1 ( )
pl
pl
E p e
U p U l p p
pe
−
−
= = +
+
. (4.32)
В случае линии без потерь R1 = 0, G1 = 0 и операторный коэффициент распространения принимает следующий вид:
4. Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами
84
11
ф
( ) .
p
p p LC
v
= =
(4.33)
Учитывая, что время задержки линии t0 = l / vф операторное изобра-
жение напряжения на выходе линии без потерь можно представить в виде:
0
0
22
2
2
()
( ) ( , ) 1 ( )
1 ( )
pt
pt
E p e
U p U l p p
pe
−
−
= = +
+
. (4.34)
Для получения мгновенного значения напряжения в произвольном сечении линии или на ее выходе необходимо определить обратное преобразование Лапласа для соответствующего изображения, что может оказаться наиболее сложной частью задачи анализа переходных процессов в длинной линии.
Из уравнений (4.22) следует, что операторный метод позволяет
учесть начальные условия при анализе переходных процессов в линии.
Рассмотрим задачу анализа переходных процессов в линии без потерь
длиной l и волновым сопротивлением Rв, которая к моменту времени t = 0
была заряжена до напряжения U0, а при t > 0 имеет холостой ход на входе
и сопротивление нагрузки Rн на выходе.
В соответствии с условием задачи R1 = 0, G1 = 0, u(x, 0) = U0,
i(x, 0) = 0, тогда на основании уравнений (4.22) получаем систему обыкно-
венных дифференциальных уравнений для рассматриваемого случая:
1 1 0
1
( , )
( , ) ;
( , )
( , ),
dI x p
pC U x p C U
dx
dU x p
pL I x p
dx
− = −
−=
(4.35)
Из уравнений (4.35) нетрудно получить неоднородное ОДУ относительно операторного изображения напряжения U(x, p):
22
0
2 2 2
фф
( , )
( , ) .
dU x p p p
U x p U
dx v v
− = −
(4.36)
Решение неоднородного ОДУ (4.36) имеет вид:
U(x, p) = Uсв(x, p) + Uпр(x, p), (4.37)
где Uсв(x, p) – общее решение соответствующего однородного ОДУ;
U
пр
(x, p) – частное решение неоднородного ОДУ.
Общее решение соответствующего (4.36) однородного ОДУ:
фф
св 1 2
( , ) ( ) ( )
xx
pp
vv
U x p A p e A p e
−
=+
. (4.38)
4.5. Применение операторного метода для анализа переходных процессов…
85
Частное решение неоднородного ОДУ (4.36) является функцией,
которая не зависит от x, так как правая часть уравнения (4.36) не зависит
от x, таким образом Uпр(x, p) = Uпр(p)
Подставляя Uпр(p) вместо U(x, p) в уравнение (4.36) и учитывая, что
d 2Uпр(p) / dx
2
= 0, получаем частное решение неоднородного ОДУ:
0
пр
( , )
U
U x pp=
. (4.39)
Суммируя выражения (4.38) и (4.39) получаем решение неоднородного ОДУ (4.36) в общем виде
фф
0
12
( , ) ( ) ( )
xx
pp
vv
U
U x p A p e A p e
p
−
= + +
. (4.40)
Подставляя выражение (4.40) во второе уравнение системы (4.35)
можно определить операторное изображение тока:
фф
12
вв
( ) ( )
( , )
xx
pp
vv
A p A p
I x p e e
RR
−
=−
, (4.41)
В рассматриваемом случае известны сопротивления на входе и выходе линии Zi(p) и Zн(p), а источник энергии при t ≥ 0 отсутствует, поэтому
для определения постоянных интегрирования A1(p) и A2(p) можно составить два уравнения на основании выражений (4.26) и (4.27):
1 2 0
12в
( ) ( ) /
(0, )
()
(0, ) [ ( ) ( )] /
i
A p A p U p
Up
Zp
I p A p A p R
++
= = →
−
; (4.42)
фф
фф
0
12
нн
12в
( ) ( )
( , )
()
( , )
( ) ( ) /
ll
pp
vv
ll
pp
vv
U
A p e A p e
U l p
p
Z p R
I l p
A p e A p e R
−
−
++
= = =
−
. (4.43)
Уравнения (4.42) и (4.43) можно представить в виде
ф ф ф ф
12
0 в
12в 1 2 н
( ) ( ) 0;
( ) ( ) ( ) ( ) .
l l l l
p p p p
v v v v
A p A p
UR
A p e A p e R A p e A p e R
p
−−
−=
+ + = −
4. Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами
86
Далее, проводя алгебраические преобразования находим постоян-
ные интегрирования и операторное изображение напряжения в произвольном сечении линии:
( )
ф
ф
0 в
12
2
нв
2
( ) ( )
l
p
v
l
p
v
UR
e
A p A p
p R R
e
= = −
+
−
; (4.44)
( )
фф
ф
00в
2
нв
2
( , )
l x l x
pp
vv
l
p
v
U U R
ee
U x p
p p R R
e
−+
+
= −
+
−
, (4.45)
где
нв
2
нв
RR
RR
−
=
+
− коэффициент отражения в конце линии.
Напряжение на выходе линии (x = l, t0 = l /
vф
):
( )
0
0
2
00в
2
2
нв
2
1
( ) ( , )
pt
pt
U U R
e
U p U l p
p p R R
e
+
= = −
+
−
, (4.46)
Наибольший практический интерес представляет режим согласо-
ванного разряда линии (Rн = Rв, ρ2 = 0), которому соответствуют следую-
щие выражения для операторных изображений напряжений в произвольном сечении и на выходе линии [6]:
фф
00
( , )
2
l x l x
pp
vv
UU
U x p e e
pp
+−
−−
= − +
, (4.47)
( )
0
2
0
2
( ) ( , ) 1
2
pt
U
U p U l p e
p
−
= = −
. (4.48)
Оригинал напряжения на выходе линии определяется на основании
теоремы запаздывания и известного выражения для операторного изображения единичного скачка 1(t) ≓ 1/p:
0
20
( ) 1( ) 1( 2 )
2
U
u t t t t= − −
. (4.49)
Напряжение на выходе линии при согласованном разряде представ-
ляет собой прямоугольный импульс высотой U0 / 2 и длительностью 2t0,
при t > 2t0 напряжение на выходе линии будет равно нулю (рис. 4.6, а).
4.5. Применение операторного метода для анализа переходных процессов…
87
В момент времени t = 0 от нагрузки начинает распространяться волна отрицательной полярности − U0 / 2, которая в момент времени t = t0 отражается от разомкнутого входа линии с коэффициентом отражения ρ1 = 1, возвращается к выходу линии в момент времени t = 2t0 и полностью компенсирует напряжение на нагрузке. Важной особенностью согласованного
разряда длинной линии является конечная длительность переходного процесса. При этом вся накопленная линией энергия будет передана нагрузке,
подключенной к выходу линии.
Рис. 4.6. Переходные процессы в длинной линии при согласованном (а)
и рассогласованном разряде (б, в)
В отличие от согласованного разряда линии при рассогласованном
разряде переходные процессы в линии будут иметь бесконечную длительность (рис. 4.6, б, в). Время практического затухания переходных процессов при рассогласованном разряде будет тем больше, чем больше коэффициент отражения в конце линии, причем при Rн > Rв напряжение на выхо-
4. Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами
88
де линии будет иметь положительное значение (рис. 4.6, б), а при Rн < Rв –
может быть как положительным, так и отрицательным (рис. 4.6, в).
Явление согласованного разряда линии передачи используется для
создания импульсных модуляторов радиолокационных передатчиков.
В этом случае нагрузкой линии является генератор СВЧ-колебаний (магнетрон). Линия, как правило, представляет собой многозвенный цепочечный эквивалент, состоящий из конденсаторов и катушек (см. подразд. 1.8).
Линия заряжается от внешнего высоковольтного источника энергии до
напряжения в несколько киловольт, затем отключается от источника с помощью специализированного быстродействующего коммутатора и разряжается на магнетрон. Таким образом, система, состоящая из высоковольтного источника, линии передачи и магнетрона, формирует радиоимпульсы
микросекундной длительности и мощностью десятки киловатт.
5.1. Контрольные вопросы
89
5. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА
5.1. Контрольные вопросы
1. Какая линия передачи может быть названа длинной линией?
2. В каком случае линия передачи является «короткой» линией?
3. В чем состоит принципиальное отличие схем цепей с сосредото-
ченными параметрами от схем цепей с распределенными параметрами?
4. В чем состоит принципиальное отличие дифференциальных
уравнений цепей с сосредоточенными параметрами от дифференциальных
уравнений цепей с распределенными параметрами?
5. Приведите классификацию длинных линий. Какие устройства мо-
делирует каждый класс линий?
6. Чем отличаются однородная и неоднородная линии?
7. Запишите общее решение телеграфных уравнений для комплекс-
ных амплитуд напряжений. Как называются слагаемые решения?
8. Из каких условий определяются постоянные интегрирования в
общем решении телеграфных уравнений?
9. Сколько погонных (первичных) параметров описывают однород-
ную длинную линию? Как они называются, какова их размерность и физический смысл?
10. Сколько волновых (вторичных) параметров описывают однород-
ную длинную линию? Как они называются, какова их размерность и физический смысл?
11. Какой физический смысл имеют коэффициент распространения
линии и волновое сопротивление линии?
12. Как определяются коэффициент ослабления и коэффициент фазы?
Какие размерности они имеют?
13. Чему равна максимальная фазовая скорость волны в линии?
14. Могут ли в длинной линии одновременно существовать падающая
и отражённая волны напряжения (тока)?
15. Какой физический смысл имеют модуль и аргумент коэффициента
отражения линии по напряжению?
16. При каких условиях в длинной линии устанавливается режим:
а) бегущих волн; б) стоячих волн; в) смешанных волн?
5. Оценочные средства
90
17. Почему при передаче энергии или сигналов длинная линия долж-
на работать в режиме бегущих волн?
18. Как называются отрезки длинных линий, работающие в режиме
стоячих волн?
19. В каком режиме работает линия передачи, если коэффициент от-
ражения в конце линии равен: а) 1, б) 0, в) 0,5?
20. Что такое коэффициент бегущей волны? Какие значения он может
принимать при различных режимах работы длинной линии?
21. Что такое коэффициент стоячей волны? Какие значения он может
принимать при различных режимах работы длинной линии?
22. В каком режиме работает линия передачи, если коэффициент бе-
гущей волны линии равен: а) 1, б) 0, в) 0,5?
23. Как определить какая – индуктивная или емкостная – нагрузка
подключена к линии, если известно распределение амплитуды напряжения вблизи конца линии?
24. Может ли длинная линия рассматриваться в качестве проходного
четырехполюсника?
25. В каком случае последовательный и параллельный колебательные
контуры можно заменить отрезком линии?
26. Что в теории длинных линий называется шлейфом?
27. Что называется согласованием длинной линии с нагрузкой?
28. Из каких элементов может состоять устройство согласования ли-
нии с нагрузкой?
29. Может ли четвертьволновый трансформатор использоваться для
согласования линии с нагрузкой в широком диапазоне частот?
30. Что называется коэффициентом отражения в конце линии? Как
этот коэффициент связан со значением сопротивления нагрузки?
31. Как определяется коэффициент отражения в начале линии?
32. Как определить время задержки отрезка линии?
33. Что представляют собой линии без искажений?
34. Каковы условия неискаженной передачи в длинной линии при от-
сутствии потерь? При наличии потерь?
35. Что такое линия задержки и какое отношение она имеет к неиска-
жающим линиям?
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]