Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы анализа цепей с распределенными параметрами. Учебное пособие
.pdf
2.4. Режим стоячих волн
41
н в н в
2
н в н в
Z Z jx R
Z Z jx R
−−
= =
++
, (2.24)
следовательно, модуль коэффициента отражения в конце линии
22
нв
нв
2
22
нв
нв
()
1
xR
jx R
jx R
xR
+−
−
= = =
+
+
и в линии также имеет место режим стоячих волн.
С учетом того, что
н н 2 2
/Z jx U I
==
уравнения (2.10) можно пре-
образовать к следующему виду:
в
2
н
н
2
в
( ) cos sin ;
( ) sin cos ,
R
U x U x x
x
x
I x I x x
R
= +
= − −
(2.25)
после чего с помощью известных тригонометрических соотношений можно заменить сумму двух гармонических функций с одинаковыми аргументами одной гармонической функцией с новой амплитудой и полной фазой [7], таким образом, распределения комплексных изображений напряжения и тока вдоль линии примут вид:
2
в
2
н
2
н
2
в
( ) 1 cos( );
( ) 1 sin( ),
R
U x U x
x
x
I x I x
R
= + −
= − + −
(2.26)
где
н
arctg( / )
в
Rx=
.
Из выражений (2.26) определяем распределения амплитуд напряжения и тока вдоль линии без потерь при чисто реактивной нагрузке на
выходе (рис. 2.5):
2
в
2
н
2
н
2
в
( ) 2 1 cos( ) ;
( ) 2 1 sin( ) .
m
m
R
U x U x
x
x
I x I x
R
= + −
= + −
(2.27)
2. Режимы работы длинной линии
42
Рис. 2.5. Распределения амплитуд напряжения вдоль линии без потерь
при емкостной (а) и индуктивной нагрузках (б)
Координаты узлов напряжения при чисто реактивной нагрузке:
11
(2 1) (2 1)
24
k
kk
x l l
+ +
= + = +
, где
0,1, 2, ...k =
(2.28)
Координаты пучностей напряжения при чисто реактивной нагрузке:
11
2
m
mm
x l l
= + = +
, где
0,1, 2, ...k =
(2.29)
В выражениях (2.27 и (2.28) принято следующее обозначение:
1
2
l
=
. (2.30)
Следует отметить, что при емкостной нагрузке xн = − 1/ωСн,
− π/2 < φ < 0, следовательно − λ/4 < l1 < 0, поэтому первый узел напряжения будет находиться на расстоянии, меньшем λ/4 от конца линии
(см. рис. 2.5, а). При индуктивной нагрузке xн = ωLн, 0 < φ < π/2, следовательно 0 < l1 < λ/4 и первый узел будет располагаться на расстоянии,
большем λ/4, но меньшим λ/2 от конца линии (см. рис. 2.5, б).
2.5. Режим смешанных волн
43
2.5. Режим смешанных волн
Режим смешанных волн – это режим работы линии, при котором
энергия, передаваемая падающей волной к концу линии, частично поглощается нагрузкой, а частично отражается от нее. Режим смешанных волн
можно рассматривать как комбинацию режимов бегущих и стоячих волн.
В режиме смешанных волн в линии имеет место «рассогласование»,
при котором сопротивление нагрузки, подключенной к линии, не равно
волновому сопротивлению Zн ≠ Zв. Данный режим может иметь место как
в линии с потерями, так и в линии без потерь. Для определения распределений амплитуд напряжения и тока вдоль линии в режиме смешанных
волн при заданном сопротивлении нагрузки
н 2 2
Z U I
=
можно использо-
вать уравнения (2.7) в случае линии с потерями и уравнения (2.10) в случае линии без потерь.
Далее рассмотрим наиболее важный для решения инженерных задач случай линии без потерь, нагруженной на чисто резистивное сопротивление Rн ≠ Rв.
Воспользовавшись уравнениями передачи линии без потерь
(2.10) и учитывая, что
н 2 2
R U I
=
, можно записать выражения для ком-
плексных напряжения и тока в произвольном сечении линии в режиме
смешанных волн:
в
2
н
н
2
в
( ) cos sin ;
( ) cos sin .
R
U x U x j x
R
R
I x I x j x
R
= +
= +
(2.31)
Далее нетрудно определить распределения амплитуд напряжения и
тока вдоль линии без потерь в режиме смешанных волн при произвольной
резистивной нагрузке [8]:
2 2 2
2
22
2
2
( ) 2 cos sin ;
1
( ) 2 cos sin ,
m
m
U x U x m x
I x I x x
m
= +
= +
(2.32)
где m = Rн / Rв.
2. Режимы работы длинной линии
44
На рис. 2.6 представлены распределения амплитуды напряжения
вдоль линии без потерь в режиме смешанных волн при Rн > Rв и Rн < Rв.
В обоих случаях распределение амплитуды напряжения, как и в режиме
стоячих волн, имеет максимумы и минимумы, но в отличие от режима
стоячих волн амплитуды напряжения в точках минимума не равны нулю.
Рис. 2.6. Распределения амплитуд напряжения вдоль линии без потерь в
режиме смешанных волн при чисто резистивной нагрузке: а) Rн > Rв, б) Rн < Rв
При Rн > Rв (m < 1) в конце линии имеет место максимум напряже-
ния, а через четверть длины волны – минимум напряжения (рис. 2.6, а).
При Rн < Rв (m > 1) в конце линии имеет место минимум напряжения, а
через четверть длины волны – максимум напряжения (рис. 2.6, б). В обоих
случаях максимумы и минимумы напряжения повторяются через расстояние, равное половине длины волны.
Чем выше степень согласования линии с нагрузкой, тем в меньшей
степени выражены максимумы и минимумы напряжения, поэтому соотношения между минимальными и максимальными значениями амплитуд
напряжения можно использовать для оценки степени согласования линии
с нагрузкой.
2.5. Режим смешанных волн
45
Коэффициент бегущей волны (КБВ) – это отношение минималь-
ного и максимального значений амплитуды напряжения или тока линии:
min min
б
max max
mm
mm
UI
K
UI
==
. (2.33)
КБВ может изменяться в пределах от 0 до 1, причем чем больше
КБВ, тем ближе режим работы линии к режиму бегущих волн.
В режиме бегущих волн Kб = 1, а в режиме стоячих воли Kб = 0.
Амплитуда напряжения линии достигает максимального значения в
точках, где напряжения падающей и отраженной волн совпадают по фазе
(при этом амплитуды, падающей и отраженной волн складываются):
max пад отр
.
m m m
U U U=+
(2.34)
Амплитуда напряжения линии принимает минимальное значение, в
точках, где напряжения падающей и отраженной волн находятся в противофазе (при этом амплитуды, падающей и отраженной волн вычитаются):
min пад отр
.
m m m
U U U=−
(2.35)
Подставляя выражения (2.34), (2.35) в (2.33) и учитывая, что мо-
дуль коэффициента отражения в произвольном сечении линии
отр пад
( ) /
mm
x U U=
, получаем:
пад отр
б
пад отр
1 | ( ) |
1 | ( ) |
mm
mm
UU
x
K
U U x
−
−
==
+ +
. (2.36)
Из выражения (2.5) очевидно, что в линии без потерь
2
| ( ) | | |x =
,
поэтому коэффициент бегущей волны в любом сечении линии без потерь
имеет одинаковое значение, которое определяется модулем коэффициента
отражения в конце линии:
2
б
2
1 | |
1 | |
K
−
=
+
. (2.37)
КБВ линии с потерями будет зависеть от координаты и изменяться
вдоль линии. Зависимость КБВ от координаты можно рассчитать с помощью выражений (2.36) и (2.5) при известных коэффициенте ослабления α
и коэффициенте отражения в конце линии |ρ2|.
2. Режимы работы длинной линии
46
Наряду с КБВ для оценки степени согласования линии с нагрузкой
широко используется обратная ему величина – коэффициент стоячей
волны (КСВ):
max max
с
б min min
1
mm
mm
UI
K
K U I
= = =
. (2.38)
КСВ может принимать значения от единицы и выше, причем, чем
меньше КСВ, тем ближе режим работы линии к режиму бегущих волн.
В режиме бегущих волн Kс = 1, а в режиме стоячих волн Kс → ∞.
2.6. Энергетические соотношения
в длинной линии без потерь
Активные мощности подающей и отраженной волны в произволь-
ном сечении линии без потерь (Р
А пад
(х) и Р
А отр
(х) соответственно) можно
определить по аналогии с активной мощностью резистивного элемента,
сопротивление которого равно волновому сопротивлению:
2
пад
2
пад пад пад пад в
в
()
( ) ( ) ( ) ( )
A
Ux
P x U x I x I x R
R
= = =
; (2.39)
2
отр
2
отр отр отр отр в
в
()
( ) ( ) ( ) ( )
A
Ux
P x U x I x I x R
R
= = =
. (2.40)
Как было показано выше, в линии без потерь модуль коэффициента
отражения в любом сечении равен модулю коэффициента отражения в
конце линии
2 отр пад
( ) ( ) / ( )x U x U x = =
, следовательно активные мощ-
ности отраженной и падающей волн связаны с помощью соотношения:
2
2
22
отр
пад
отр 2 2 пад
вв
()
()
( ) ( )
AA
Ux
Ux
P x P x
RR
= = =
. (2.41)
На основании закона сохранения энергии в линии без потерь можно
полагать, что активная мощность, потребляемая нагрузкой, будет равна
разности активных мощностей, падающей и отраженной волн:
(
)
2
потр пад отр пад 2
( ) ( ) ( ) 1
A A A A
P P x P x P x= − = −
. (2.42)
На основании выражений (2.41) и (2.42) активные мощности падающей и отраженной волн можно выразить через активную мощность нагрузки:
2.6. Энергетические соотношения в длинной линии без потерь
47
потр
пад
2
2
()
1
A
A
P
Px=
−
; (2.43)
2
2 потр
отр
2
2
()
1
A
A
P
Px
=
−
. (2.44)
Как известно, в режиме бегущих волн
2
0=
, тогда на основании
выражений (2.41) и (2.43) получаем
пад потр
()
AA
P x P=
;
отр
( ) 0
A
Px=
.
Таким образом, в режиме бегущих волн в линии без потерь актив-
ная мощность падающей волны полностью потребляется нагрузкой, а активная мощность отраженной волны равна нулю.
В режиме стоячих волн
2
1=
, тогда на основании выражений
(2.41) и (2.42) получаем
пад отр
( ) ( )
AA
P x P x=
;
потр
0
A
P =
.
Следовательно, в режиме стоячих волн в линии без потерь активная
мощность падающей волны равна активной мощности отраженной волны,
а активная мощность, потребляемая нагрузкой, равна нулю.
Коэффициент полезного действия (КПД) линии можно определить
как отношение активной мощности, потребляемой нагрузкой к активной
мощности падающей волны:
(
)
2
пад 2
2
потр
2
пад пад
( ) 1
1
( ) ( )
A
A
AA
Px
P
P x P x
−
= = = −
. (2.45)
Из выражения (2.36) можно выразить
2
через КБВ:
б
2
б
1
||
1
K
K
−
=
+
. (2.46)
на основании выражений (2.44) и (2.45) получаем выражение КПД линии
через КБВ:
2
бб
2
б
б
14
1
1
(1 )
KK
K
K
−
= − =
+
+
. (2.47)
2. Режимы работы длинной линии
48
3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЛИННОЙ ЛИНИИ
3.1. Общие сведения о четырехполюсниках
В радиотехнике и системах связи многие устройства удобно рассматривать в виде четырехполюсников, имеющих две пары внешних зажимов.
В частности, на рис. 3.1 показан четырехполюсник, у которого обозначены
входные зажимы 1 – 1', предназначенные для подключения источника энергии, и выходные зажимы 2 – 2' – для подключения нагрузки [9].
Рис. 3.1. Проходной четырехполюсник
Известны шесть форм записи основных уравнений четырехполюс-
ника (форма-Z, -Y, -A, -H, -G, -В), которые связывают токи и напряжения
на его зажимах.
В качестве примера ниже представлены основные уравнения четырехполюсника в форме Z и в форме A соответственно:
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
;
.
U Z I Z I
U Z I Z I
=+
=+
(3.1)
1 11 2 12 2
1 21 2 22 2
;
.
U A U A I
I A U A I
=+
=+
(3.2)
Коэффициенты, входящие в основные уравнения, называются
первичными параметрами четырехполюсника (Z-, Y-, A-, H-, G-, Впараметрами).
Одну систему первичных параметров можно выразить через любую другую с помощью алгебраических соотношений, также называемых формулами перехода [9].
Их выражений (3.1) и (3.2) следует, что в общем случае четырехполюсник можно описать четырьмя комплексными параметрами.
3.1. Общие сведения о четырехполюсниках
49
Для симметричных четырехполюсников справедливы следующие
соотношения между первичными параметрами:
12 21
ZZ=
,
11 22
ZZ=
и
11 22 12 21
1
A
A A A A = − =
,
11 22
AA=
. (3.3)
Таким образом, симметричный четырехполюсник описывается всего
двумя комплексными параметрами. Следует отметить, что вместо первичных параметров для описания четырехполюсников также используются
вторичные параметры, также называемые характеристическими пара-
метрами. Характеристические параметры четырехполюсника, так же как и
первичные параметры, в общем случае являются комплексными числами.
Симметричному четырехполюснику соответствует два характеристических параметра: характеристическое сопротивление Zc и характеристическая постоянная передачи Γ.
Характеристическое сопротивление симметричного четырехполюсника равно сопротивлению Zc, при подключении которого к выходным
зажимам четырехполюсника, комплексное входное сопротивление четырехполюсника также будет равно Zc. Четырехполюсник, для которого сопротивление нагрузки, подключенной к его выходу Zн = Zc, называют че-
тырехполюсником с согласованной нагрузкой на выходе.
Характеристическое сопротивление симметричного четырехполюсника можно выразить через А-параметры с помощью следующего соотношения:
12
с
21
A
Z
A
=
. (3.4)
Характеристическая постоянная передачи симметричного четырехполюсника при согласованной нагрузке на выходе определяется следующим образом:
11
22
ln ln
UI
UI
= =
. (3.5)
Характеристическая постоянная передачи, как и любое комплексное число, может быть записана в алгебраической форме:
A jB = +
. (3.6)
Нетрудно показать, что вещественная часть Г, называемая постоянной ослабления или собственным ослаблением (затуханием) четырехполюсника, имеет вид
3. Частотные характеристики длинной линии
50
11
22
ln ln
UI
A
UI
==
, (3.7)
мнимая часть характеристической постоянной передачи, называемая постоянной фазы, имеет вид
1 2 1 2u u i i
B = − = −
. (3.8)
Постоянная ослабления A показывает изменение действующего значе-
ния напряжения или тока в четырехполюснике. Постоянная ослабления,
определенная на основе натурального логарифма, выражается в неперах (Нп).
Постоянная ослабления также может быть выражена в децибелах
(дБ) и определена через полные мощности на входе и выходе четырехполюсника (PS1 = U
1
I1 и PS2 = U
2
I2 соответственно):
1
11
дБ
2 2 2
20lg 20lg 10lg
S
S
P
UI
A
U I P
= = =
. (3.9)
Нетрудно рассчитать, что 1 Нп ≈ 8,686 дБ, 1 дБ ≈ 0,115 Нп, таким
образом, для перехода от одних единиц измерения к другим можно использовать следующие соотношения:
A ≈ 0,115 AдБ, A
дБ ≈
8,686 A.
Постоянная фазы B показывает изменение начальной фазы напря-
жения или тока при передаче энергии через четырехполюсник. Постоянная фазы выражается в радианах или в градусах:
180 /BB=
.
Характеристическую постоянную передачи симметричного четырех-
полюсника можно выразить через А-параметры с помощью следующего
соотношения:
( )
11 12 21
ln A A A = +
. (3.10)
3.2. Длинная линия как четырехполюсник
Изобразим длинную линию конечной длины l, также называемую
отрезком длинной линии, в виде четырехполюсника с двумя парами внеш-
них зажимов (рис. 3.2) [6].
На рис. 3.2 обозначены:
− координата x, отсчитываемая от начала линии;
− координата x' = l – x, отсчитываемая от конца линии;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]