Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы анализа цепей с распределенными параметрами. Учебное пособие
.pdf
5.2. Практические задачи
91
36. Какой вид имеют процессы на выходе разомкнутого на конце от-
резка длинной линии без потерь, если данный отрезок подключен к источнику постоянного напряжения?
5.2. Практические задачи
1. Длинная линия без потерь нагружена на резистивный элемент с
заданным сопротивлением Rн, в конце линии наблюдается максимум дей-
ствующего значения напряжения. Максимальное и минимальное действующие значения напряжения U
max
и U
min
, фазовая скорость vф, частота
гармонического воздействия f заданы в табл. 5.1. Построить распределение действующего значения напряжения вдоль линии. Определить коэффициент бегущей волны Кб, волновое сопротивление Rв, коэффициент
отражения в конце линии ρ2, длину волны λ и расстояние до ближайшего к
концу линии минимума напряжения x0'.
2. Длинная линия без потерь нагружена на резистивный элемент с
заданным сопротивлением Rн, в конце линии наблюдается минимум дей-
ствующего значения напряжения. Максимальное и минимальное действующие значения напряжения U
max
и U
min
, фазовая скорость vф, частота
гармонического воздействия f заданы в табл. 5.1. Построить распределение действующего значения напряжения вдоль линии. Определить коэффициент бегущей волны Кб, волновое сопротивление Rв, коэффициент
отражения в конце линии ρ2, длину волны λ и расстояние до ближайшего к
концу линии максимума напряжения xm'.
Таблица 5.1
Исходные данные к задачам 1 и 2
Вариант
R
н
, Ом
U
max
, В
U
min
, В
v
ф
, м/с
f, МГц
а
100 2 1,5
2∙10 8
200
б
75 5 4
3∙10 8
100 в 50
1,5
1
3∙10 8
200 г 25 4 3
2∙10 8
100
3. Длинная линия без потерь работает в режиме стоячих волн, в
конце линии наблюдается пучность действующего значения напряжения.
Погонная индуктивность L1, погонная емкость С1 и частота гармонического воздействия f заданы в табл. 5.2. Построить распределение действую-
5. Оценочные средства
92
щего значения напряжения вдоль линии. Определить волновое сопротивление линии Rв, фазовую скорость vф, длину волны λ и расстояние до ближайшего к концу линии узла напряжения x0'.
4. Длинная линия без потерь работает в режиме стоячих волн, в
конце линии наблюдается узел действующего значения напряжения. Погонная индуктивность L1, погонная емкость С1 и частота гармонического
воздействия f заданы в табл. 5.2. Построить распределение действующего
значения напряжения вдоль линии. Определить волновое сопротивление
линии Rв, фазовую скорость vф, длину волны λ и расстояние до ближайшей
к концу линии пучности напряжения xm'.
Таблица 5.2
Исходные данные к задачам 3 и 4
Вариант
L
1
, мкГн/м
С
1
, пФ/м
f, МГц
а
0,4
40
200
б
0,8
20
100 в 1
16
200
г 2 10
100
5. Длинная линия без потерь нагружена на емкостный элемент
Сн =
10 пФ. Фазовая скорость vф, частота гармонического воздействия f и рас-
стояние до ближайшего к концу линии узла напряжения x0' заданы в табл. 5.3.
Построить распределение действующего значения напряжения вдоль линии.
Определить длину волны λ и волновое сопротивление линии Rв.
6. Длинная линия без потерь нагружена на индуктивный элемент
L
н
= 1 мкГн. Фазовая скорость vф, частота гармонического воздействия f и
расстояние до ближайшего к концу линии узла напряжения x0' заданы в
табл. 5.3. Построить распределение действующего значения напряжения
вдоль линии. Определить длину волны λ и волновое сопротивление линии Rв.
Таблица 5.3
Исходные данные к задачам 5 и 6
Вариант
vф,∙м/с
f, МГц
x
0
', м а 3∙10 8
50
1 б 2,5∙10 8
100
0,5 в 3∙10 8
50
1
г
2,5∙10 8
100
0,5
5.2. Практические задачи
93
7. Длинная линия без потерь нагружена на резистивный элемент с
неизвестным сопротивлением Rн, в конце линии наблюдается максимум
действующего значения напряжения. Коэффициент бегущей волны Кб,
фазовая скорость vф, волновое сопротивление линии Rв и расстояние до
ближайшего к концу линии минимума напряжения x0' заданы в табл. 5.4.
Построить распределение действующего значения напряжения вдоль линии. Определить длину волны λ, частоту гармонического воздействия f,
сопротивление нагрузки Rн и коэффициент отражения в конце линии ρ2.
8. Длинная линия без потерь нагружена на резистивный элемент с
неизвестным сопротивлением Rн, в конце линии наблюдается минимум
действующего значения напряжения. Коэффициент бегущей волны Kб,
фазовая скорость vф, волновое сопротивление линии Rв и расстояние до
ближайшего к концу линии максимума напряжения xm' заданы в табл. 5.4.
Построить распределение действующего значения напряжения вдоль линии. Определить длину волны λ, частоту гармонического воздействия f,
сопротивление нагрузки Rн и коэффициент отражения в конце линии ρ2.
Таблица 5.4
Исходные данные к задачам 7 и 8
Вариант
K
б
vф,∙м/с
Rв, Ом
x0' (x
m
'), м
а
0,9
3∙10 8
100 1 б
0,85
2,5∙10 8
75
0,5
в
0,8
3∙10 8
50
1
г
0,75
2,5∙10 8
25
0,5
9. Отрезок длинной линии без потерь нагружен на резистивный
элемент с заданным сопротивлением Rн. Фазовая скорость линии vф, время
задержки t0 и погонная емкость C1 заданы в табл. 5.5.
Таблица 5.5
Исходные данные к задаче 9
Вариант
R
н
, Ом
vф,∙м/с
t0, нс
C
1
, пФ/м
а
500 2 1
40 б 300
2,2 1 35
в
250
2,4 2 30
г
200
2,5 2 28 д 150
2,6 3 25
е
100
2,8 3 22
5. Оценочные средства
94
Окончание табл. 5.5
Вариант
R
н
, Ом
vф,∙м/с
t0, нс
C
1
, пФ/м
ж
75
2,9 4 20 з 50 3 4
18
Определить длину отрезка l, погонную индуктивность L1, волновое
сопротивление Rв, максимальное K
max
и минимальное K
min
значения АЧХ
комплексного коэффициента передачи по напряжению отрезка линии, а
также частоты, которым соответствуют K
max
и K
min
. Построить график АЧХ
комплексного коэффициента передачи по напряжению отрезка линии.
10. Для короткозамкнутого отрезка линии без потерь заданы волно-
вое сопротивление Rв, фазовая скорость vф и частота гармонического воздействия f (табл. 5.6). Постройте зависимость реактивной составляющей
комплексного входного сопротивления короткозамкнутого отрезка линии
от его длины xк(l). Определите минимальную длину короткозамкнутого
отрезка, при которой на заданной частоте f отрезок эквивалентен:
а) емкости С
эк =
100 пФ; б) индуктивности L
эк =
2 мкГн; в) последователь-
ному колебательному контуру; г) параллельному колебательному контуру.
11. Для разомкнутого отрезка линии без потерь заданы волновое со-
противление Rв, фазовая скорость vф и частота гармонического воздействия f
(табл. 5.6). Постройте зависимость реактивной составляющей комплексного
входного сопротивления разомкнутого отрезка линии от его длины xх(l).
Определите минимальную длину разомкнутого отрезка, при которой на заданной частоте f отрезок эквивалентен: а) емкости С
эк =
100 пФ;
б) индуктивности L
эк =
1,5 мкГн; в) последовательному колебательному кон-
туру; г) параллельному колебательному контуру.
Таблица 5.6
Исходные данные к задачам 10 и 11
Вариант
R
в
, Ом
vф,∙м/с
f, МГц а 100
3∙10 8
50
б
75
2,5∙10 8
100
в
50
3∙10 8
50 г 25
2,5∙10 8
100
12. Отрезок длинной линии без потерь нагружен на резистивный
элемент с заданным сопротивлением Rн. Волновое сопротивление линии
5.2. Практические задачи
95
Rв, длина отрезка линии l и частота гармонического воздействия f заданы в
табл. 5.7. Рассчитайте комплексное входное сопротивление отрезка линии.
Определите тип и параметры идеализированных элементов последовательной схемы замещения отрезка линии.
13. Отрезок длинной линии без потерь нагружен на резистивный
элемент с заданным сопротивлением Rн. Волновое сопротивление линии
Rв, длина отрезка линии l и частота гармонического воздействия f заданы в
табл. 5.7. Рассчитайте комплексную входную проводимость отрезка линии. Определите тип и параметры идеализированных элементов последовательной схемы замещения отрезка линии.
Таблица 5.7
Исходные данные к задачам 12 и 13
Вариант
Rн, Ом
Rв, Ом
l
f, МГц а 50
100
λ/8
200
б
100
75
3λ/8
100
в
25
50
λ/8
200 г 75
25
3λ/8
100
14. Длинная линия без потерь с резистивной нагрузкой подключена
к источнику энергии с заданной ЭДС и внутренним сопротивлением. ЭДС
источника имеет вид одиночного прямоугольного импульса высотой
E =
1 В и длительностью tи =
t0
/4. Внутреннее сопротивление источника Ri,
волновое сопротивление линии Rв, сопротивление нагрузки Rн, фазовая
скорость vф и длина линии l заданы в табл. 5.8. Определите время задержки линии t0. Рассчитайте и постройте временные диаграммы напряжений
на входе и выходе линии на интервале времени t[0, 4t0].
Таблица 5.8
Исходные данные к задаче 14
Вариант
Ri, Ом
R
в
, Ом
Rн, Ом
vф,∙м/с
l, м
а
300
250
500 2 1
б
250
200
300
2,2 1 в
200
150
250
2,4
2
г
150
300
200
2,5
2
д
100
200
150
2,6 3 е
50
75
100
2,8
3
5. Оценочные средства
96
5.3. Примеры решения задач
Пример 1. Определим волновое сопротивление Zв, коэффициент
распространения γ, длину волны λ и фазовую скорость vф в линии на
частоте f = 800 Гц. Погонные параметры линии: R1 = 11,4 Ом/км;
L
1
= 0,6∙10
− 3
Гн/км; С1 = 38∙10
– 9
Ф/км, G1 = 0,8∙10
– 6
См/км.
Волновое сопротивление и фазовая скорость линии c потерями
определяются следующим образом:
( ) ( )
3
6
3 6 3 3
11
в
9 12 9 6
11
3,02
arctg
22
11,4
0,19110
arctg
22
0,810
63
11, 4 10 2 800 0,6 10 11,4 10 3,02 10
0,8 10 2 800 38 10 0,8 10 0,191 10
11, 4 3,02
11,
0,8 10 0,191 10
j
j
R j L
jj
Z
G j C
jj
e
e
−
−
− − − −
− − − −
−−
+
+ +
= = =
+
+ +
+
=
+
14,8
3 89,8
4 75 37,5
8
0,191 10
6,18 10 249 249[cos( 37,5 ) sin( 37,5 )]
197 151 Ом.
j
j
jj
e
e
e e j
j
−
−−
= − + −
−
( )( )
( )( )
1 1 1 1
3 6 9 12
3 14,8 6 89,8 9 104,6 6 52,3
6 6 6 1
11, 4 10 2 800 0,6 10 0,8 10 2 800 38 10
11,8 10 0,191 10 2,25 10 47,5 10
47,5 10 [cos(52,3 ) sin(52,3 )] 29 10 37,6 10 м.
j j j j
R j L G j C
jj
e e e e
jj
− − − −
− − − −
− − − −
= + + =
= + +
+ +
Коэффициент ослабления и коэффициент фазы имеют следующие
значения:
α = Re(γ) = 29∙10
− 6
Нп/м; β = Im(γ) = 37,6∙10
− 6
рад/м.
Длина волны определяется через коэффициент фазы с помощью со-
отношения
6
6
22
0,167 10 м 167 км.
37,6 10
−
= = =
Фазовую скорость нетрудно определить через длину волны и ча-
стоту:
vф = λf = 0,167∙106∙800 ≈ 1,34∙108 м/с.
5.3. Примеры решения задач
97
Пример 2. Для длинной линии без потерь, нагруженной на резистивный элемент с заданным сопротивлением Rн, определим волновое
сопротивление Rв, фазовую скорость vф, коэффициент отражения в конце
линии ρ2, коэффициент бегущей волны Kб, а также расстояние до ближайшего к концу линии минимума действующего значения напряжения, если
погонные параметры линии L1 = 2∙10
– 3
Гн/км, С1 = 6∙10−9 Гн/км, частота
воздействия f = 100 МГц. Сопротивление нагрузки принимает следующие
значения: а) Rн = 600 Ом, б) Rн = 500 Ом.
Волновое сопротивление и фазовая скорость линии без потерь
определяются следующим образом:
6
1
в
12
1
2 10
577
6 10
L
R
C
−
−
= =
Ом.
8
ф
6 12
11
11
2,89 10
2 10 6 10
v
LC
−−
= =
м/с.
Коэффициент отражения в конце линии зависит от сопротивления
нагрузки
нв
2
нв
RR
RR
−
=
+
,
тогда, в соответствии с исходными данными получаем:
а) Rн = 600 Ом, следовательно
2
600 577
0,0195;
600 577
−
=
+
б) Rн = 500 Ом, следовательно
2
500 577
0,0715.
500 577
−
= −
+
Коэффициент бегущей волны определяется модулем коэффициента
отражения в конце линии
2
б
2
1 | |
1 | |
K
−
=
+
,
откуда, с учетом полученных выше значений ρ2:
а) ρ2 = 0,0195, следовательно
б
1 0,0195
0,962;
1 0,0195
K
−
=
+
б) ρ2 = − 0,0715, следовательно
б
1 0,0715
0,867.
1 0,0715
K
−
=
+
Следует отметить, что коэффициент бегущей волны можно определить без вычисления ρ2, а непосредственно на основании значений Rн и Rв:
5. Оценочные средства
98
а) Rн > Rв, тогда ρ2 > 0,
нв
22
нв
RR
RR
−
= =
+
,
нв
н в н в н в в
б
нв
н в н в н
нв
1
()
577
0,962
( ) 600
1
RR
R R R R R R R
K
RR
R R R R R
RR
−
−
+ + − −
= = = =
−
+ + −
+
+
.
б) Rн < Rв, тогда ρ2 < 0,
вн
22
нв
RR
RR
−
= − =
+
,
вн
н в н в в н н
б
вн
н в в н в
нв
1
()
500
0,867
( ) 577
1
RR
R R R R R R R
K
RR
R R R R R
RR
−
−
+ + − −
= = = =
−
+ + −
+
+
.
Следует отметить, что при согласованной нагрузке Rн = Rв обе полу-
ченные выше формулы для Kб приводят к одному и тому же результату Kб = 1,
который соответствует определению для коэффициента бегущей волны.
Расстояние между экстремумами в распределении действующего
значения напряжения определяется длиной волны λ, которую можно рассчитать следующим образом:
λ = vф / f = 2,89∙108 / 100∙106 = 2,89 м.
Распределение действующего значения напряжения вдоль линии
при Rн > Rв приведено на рис. 2.6, а. В этом случае в конце линии наблюда-
ется максимум действующего значения напряжения и расстояние до
ближайшего к концу линии минимума напряжения x0' = λ / 4 = 0,7225 м.
Распределение действующего значения напряжения вдоль линии
при Rн < Rв приведено на рис. 2.6, б. В этом случае в конце линии наблюда-
ется минимум действующего значения напряжения и расстояние до ближайшего к концу линии минимума напряжения x0' = λ / 2 = 1,445 м.
Пример 3. Определим волновое сопротивление Rв и фазовую ско-
рость vф линии без потерь, если в конце линии, нагруженной на резистивный элемент Rн = 200 Ом, наблюдается максимум действующего значения
напряжения U
max
= 1,5 В, а ближайший минимум напряжения U
min
= 0,9 В
расположен на расстоянии x0' = 0,75 м от ее конца. Частота внешнего гармонического воздействия f = 100 МГц.
5.3. Примеры решения задач
99
В соответствии с выражением (2.32) коэффициент бегущей волны
определяется следующим образом:
min
б
max
0,9
0,6.
1, 5
U
K
U
= = =
Поскольку в конце линии с резистивной нагрузкой Rн имеет место
максимум действующего значения напряжения получаем, что Rн > Rв и, как
показано в предыдущем примере, коэффициент бегущей волны имеет вид
в
б
н
R
K
R
=
,
откуда
в б н
0,6 200 120R K R= = =
Ом.
Расстояние до ближайшего к концу линии минимума напряжения
x
0
' = λ / 4, следовательно длина волны
λ = 4x0' = 4∙0,75 = 3 м,
фазовая скорость
vф = λ f = 3∙100∙106 = 3∙108 м/с.
Пример 4. Длинная линия без потерь нагружена на реактивный
элемент: а) Сн = 20 пФ; б) Lн = 0,2 мкГн. Волновое сопротивление линии
R
в
= 100 Ом, длина волны λ = 3 м, фазовая скорость линии vф = 3∙108 м/с.
Определим на каком расстоянии от конца линии находится ближайший
узел напряжения.
При реактивной нагрузке расстояние до ближайшего к концу ли-
нии узла (минимума) напряжения определяется с помощью следующей
формулы:
x0' = λ / 4 + l1,
где l1 = φλ / 2π; φ = arctg(Rв / xн).
Реактивное сопротивление емкостной нагрузки (а):
н
нн
11
,
2
x
С fС
= − = −
где f = vф / λ = 3∙108 / 3= 108 Гц.
Следовательно, при емкостной нагрузке Сн = 20 пФ получаем:
5. Оценочные средства
100
φ = − arctg(2πfСн Rв) ≈ − arctg(6,28∙108∙20∙10
− 12
∙100) ≈ − 0,898 рад;
l1 = φλ / 2π ≈ − 0,898∙3 / 6,28 ≈ − 0,429 м;
x0' = 3/4 − 0,429 = 0,321 м.
Реактивное сопротивление индуктивной нагрузки (б):
н н н
2x L fL= =
.
Следовательно, при индуктивной нагрузке Lн = 0,2 мкГн получаем:
φ = arctg(Rв / 2πfLн) ≈ − arctg(100 / 6,28∙108∙0,2∙10
− 6
∙) ≈ 0,672 рад;
l1 = φλ / 2π ≈ 0,672∙3 / 6,28 ≈ 0,321 м;
x0' = 3/4 + 0,321 = 1,071 м.
Пример 5. Длинная линия без потерь имеет следующие погонные
параметры L1 = 2,63∙10
− 7
Гн/м, С1 = 46,5∙10
– 12
Ф/м. Частота гармонического
воздействия f = 100 МГц. Определим минимальную длину разомкнутого на
конце отрезка заданной длинной линии, если он эквивалентен реактивному
элементу: а) емкости Сэк = 100 пФ; б) индуктивности Lэк = 0,6 мкГн.
Комплексное входное сопротивление разомкнутого на конце отрезка линии имеет вид:
x вx
ctg .Z jR l jx= − =
(5.1)
Волновое сопротивление линии и коэффициент фазы можно определить с помощью следующих соотношений:
7
1
в
12
1
2,63 10
75,2
46,5 10
L
R
C
−
−
= =
Ом;
6 7 12
11
2 6,28 100 10 2,63 10 46,5 10 2,196f L C
−−
= =
рад/м.
Эквивалентное комплексное сопротивление емкостного элемента
эк
эк
j
Z
С
−
=
. (5.2)
При Zх = Zэк, получаем xх = − 1 / ωСэк, следовательно
в
эк
1
ctgRl
С
− = −
в
эк
1
tg
R
l С
=
эк в
tg 2lfСR =
.
Решение полученного тригонометрического уравнения имеет вид:
эк в
1
arctg(2 )
n
lfСR
= +
, (5.3)
где n – целое число.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]