Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы анализа цепей с распределенными параметрами. Учебное пособие
.pdf
1.5. Общее решение дифференциальных уравнений длинной линии…
11
;
u
du dx
x
=
.
i
di dx
x
=
Рис. 1.3. Элементарное звено (ячейка) длинной линии
Для получения ТУ составим уравнения баланса токов и уравнения
баланса напряжений для элементарного участка цепи длиной dx → 0:
11
11
( ) ( ) 0;
0.
i G dx u du C dx u du i di
t
i
u R dx i L dx u du
t
− + + + + + + =
− + + + + =
Пренебрегая величинами второго порядка малости (du << u) в пер-
вом уравнении, а затем упростив и поделив оба уравнения на dx получаем
телеграфные уравнения:
11
11
;
.
iu
G u C
xt
ui
R i L
xt
− = +
− = +
(1.1)
1.5. Общее решение дифференциальных уравнений
длинной линии при гармоническом воздействии
Для решения дифференциальных уравнений линии при гармоническом воздействии воспользуемся методом комплексных амплитуд, в соот-
ветствии с которым необходимо перейти от мгновенных значений тока и
напряжения к их комплексным изображениям:
( , )i x t
≓
()Ix
и
( , )u x t
≓
( ).Ux
Комплексные изображения тока
()Ix
и напряжения
()Ux
не зави-
сят от времени, поэтому вместо системы дифференциальных уравнений в
1. Общие сведения о цепях с распределенными параметрами
12
частных производных относительно мгновенных значений тока и напряжения (1.1) можно получить систему обыкновенных дифференциальных
уравнений (ОДУ) относительно комплексных значений тока и напряжения, учитывая, что дифференцированию мгновенного значения по времени соответствует умножение комплексного значения на jω:
11
11
()
( ) ( );
()
( ) ( ).
dI x
G j C U x
dx
dU x
R j L I x
dx
− = +
− = +
(1.2)
Продифференцировав по x обе части второго уравнения системы
(1.2) и подставляя в данное выражение
()dI x dx
из первого уравнения
системы (1.2), получаем следующее ОДУ второго порядка:
2
2
2
()
( ),
d U x
Ux
dx
=
(1.3)
где
1 1 1 1
( )( )R j L G j C = + +
− коэффициент распространения линии.
ОДУ (1.3) соответствует характеристическое уравнение s2 − γ2 = 0,
которое имеет следующие корни s1 =− γ и s2 = γ, следовательно, общее
решение ОДУ (1.3) имеет вид
12
()
xx
U x A e A e
−
=+
, (1.4)
где А1, А2 – постоянные интегрирования, определяемые граничными условиями задачи, т.е. комплексными значениями напряжения
()Ux
и тока
()Ix
в начале (x = 0) или в конце (x = l) линии.
Подставляя выражение (1.4) во второе уравнение системы (1.2), по-
лучаем
12
1 1 1 1
()
xx
AA
I x e e
R j L R j L
−
=−
+ +
.
Далее, учитывая, что
1 1 1 1
( )( )R j L G j C = + +
, находим распре-
деление комплексного тока вдоль линии:
12
вв
()
xx
AA
I x e e
ZZ
−
=−
, (1.5)
1.5. Общее решение дифференциальных уравнений длинной линии…
13
где
11
в
11
R j L
Z
G j C
+
=
+
− волновое сопротивление линии.
Необходимо отметить, что Zв и γ также называют волновыми (вто-
ричными) параметрами линии. Физический смысл данных параметров
будет пояснен в подразд. 1.6.
Постоянные интегрирования А1, А2 и волновые параметры Zв, γ в
общем случае являются комплексными величинами. Коэффициент распространения линии можно записать в алгебраической форме:
j = +
, (1.6)
а волновое сопротивление и постоянные интегрирования в показательной
форме:
вв
j
Z z e
=
,
1
11
j
A A e
=
,
2
22
j
A A e
=
. (1.7)
После подстановки выражений (1.6) и (1.7) в формулы (1.4) и (1.5)
можно преобразовать распределения комплексного напряжения и комплексного тока линии к следующему виду:
12
( ) ( )
12
()
j x j x
xx
U x A e e A e e
− − +
−
=+
;
12
12
( ) ( )
()
xx
j x j x
вв
A e A e
I x e e
zz
−
− − + + −
=−
.
С учетом соответствия между комплексным действующим значением и мгновенным значением гармонической функции
j
A Ae
=
≓
2 cos( ),At +
а также принимая во внимание правило о том, что суммированию (вычитанию) комплексных изображений гармонической функции соответствует
суммирование (вычитание) мгновенных значений, получаем следующие
выражения для мгновенных значений напряжения и тока линии:
1 1 2 2
( , ) 2 cos( ) 2 cos( );
xx
u x t A e t x A e t x
−
= − + + + +
(1.8)
12
12
22
( , ) cos( ) cos( ).
xx
вв
A e A e
i x t t x t x
zz
−
= − + − − + + −
(1.9)
1. Общие сведения о цепях с распределенными параметрами
14
Выражения (1.8) и (1.9) можно представить в виде:
пад отр
( , ) ( , ) ( , );u x t u x t u x t=+
(1.10)
пад отр
( , ) ( , ) ( , ),i x t i x t i x t=−
(1.11)
где
пад 1 1
( , ) 2 cos( )
x
u x t A e t x
−
= − +
− падающая волна напряжения;
отр 2 2
( , ) 2 cos( )
x
u x t A e t x
= + +
− отраженная волна напряжения;
1
пад 1
2
( , ) cos( )
x
в
Ae
i x t t x
z
−
= − + −
− падающая волна тока;
2
отр 2
2
( , ) cos( )
x
в
Ae
i x t t x
z
= + + −
− отраженная волна тока.
При x = const слагаемые в выражениях (1.8) и (1.9) являются гармо-
ническими функциями с одинаковой частотой, следовательно, при гармоническом воздействии напряжение и ток в заданном сечении линии также
будут описываться гармоническими функциями.
Далее рассмотрим отдельно каждую из составляющих, входящих в
выражение (1.8), и поясним приведенные выше названия данных составляющих. На рис. 1.4 представлены зависимости от координаты падающей
и отраженной волн напряжения в фиксированные моменты времени t1 и t2,
где t2 > t1.
Из рис. 1.4, а видно, что амплитуда напряжения u
пад
(x, t) уменьша-
ется по экспоненциальному закону с ростом x, при увеличении t точки
u
пад
(x, t), имеющие одинаковую фазу, смещаются вправо (от начала линии
к ее концу). Аналогичный вид имеет функция i
пад
(x, t). Таким образом,
u
пад
(x, t) и i
пад
(x, t) распространяются от начала линии к ее концу, поэтому
называются падающими волнами напряжения и тока.
Из рис. 1.4, б видно, что амплитуда напряжения u
отр
(x, t) уменьша-
ется по экспоненциальному закону с уменьшением x, при увеличении t
точки u
отр
(x, t), имеющие одинаковую фазу, смещаются влево (от конца
линии к ее началу). Аналогичный вид имеет функция i
отр
(x, t). Таким обра-
зом, u
отр
(x, t) и i
отр
(x, t) распространяются от конца линии к ее началу, по-
этому называются отраженными волнами напряжения и тока.
1.5. Общее решение дифференциальных уравнений длинной линии…
15
Рис. 1.4. Распределение падающей (а) и отраженной (б) волн напряжения
вдоль линии в фиксированные моменты времени (t2 > t1)
Таким образом, мгновенное значение напряжения в любой точке
линии определяется суммой, падающей и отраженной волн напряжения
(1.10), а мгновенное значение тока – разностью, падающей и отраженной
волн тока (1.11). Положительные направления u
пад
и u
отр
выбраны одина-
ково (от верхнего проводника к нижнему), поэтому напряжения u
пад
и u
отр
суммируются; положительные направления токов i
пад
и i
отр
противоположны (падающая волна тока направлена от начала линии к концу, а отраженная от конца линии к началу), поэтому ток i
отр
вычитается из тока i
пад
.
Как следует из выражений (1.10), (1.11) и рис. 1.4, амплитуды
напряжения и тока падающей и отраженной волн уменьшаются в направлении распространения волн при α > 0 и остаются неизменными при α = 0.
1. Общие сведения о цепях с распределенными параметрами
16
Рассмотрим подробнее вещественную и мнимую составляющие ко-
эффициента распространения
j = +
.
Вещественная составляющая коэффициента распространения ли-
нии называется коэффициентом ослабления:
1 1 1 1
Re( ) Re ( )( )R j L G j C
= = + +
. (1.12)
Мнимая составляющая коэффициента распространения линии
называется коэффициентом фазы:
1 1 1 1
Im( ) Im ( )( )R j L G j C
= = + +
. (1.13)
Нетрудно показать, что в случае линии без потерь (R1 = 0, G1 = 0)
коэффициент распространения
1 1 1 1
( )( )R j L G j C = + +
является чисто
мнимым:
11
j L C =
, (1.14)
следовательно, коэффициент ослабления равен нулю
α = 0, (1.15)
а коэффициент фазы прямо пропорционален частоте
11
LC=
. (1.16)
Далее рассмотрим случай линии с малыми потерями (R1 << ωL1,
G
1
<< ωC1), наиболее характерный для систем и устройств радиотехники и
связи [4]. C учетом того, что
1 1 / 2xx+ +
при | x | << 1 коэффициент
распространения линии можно преобразовать следующим образом:
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
( )( ) ( )R j L G j C R G L C j L G C R = + + = − + +
2
11
1 1 1 1 1 1 1 1
11
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
( ) 1
1.
2 2 2 2
RG
L C j L G C R j L C
j L j C
R G R C G L
j L C j L C
j L j C L C
− + + = + +
+ + = + +
Таким образом, для линии с малыми потерями, коэффициент
ослабления имеет следующий вид
1.5. Общее решение дифференциальных уравнений длинной линии…
17
1 1 1 1
11
,
22
R C G L
LC
+
(1.17)
а коэффициент фазы определяется также как и для линии без потерь:
11
.LC=
Волновое сопротивление
в 1 1 1 1
( ) / ( )Z R j L G j C= + +
в случае линии
без потерь имеет чисто резистивный характер:
1
вв
1
.
L
ZR
C
==
(1.18)
Для оценки волнового сопротивления линии с малыми потерями
также можно использовать выражение (1.18), так как в этом случае
R
1
<< ωL1, G1 << ωC1.
Расстояние между двумя точками волны, фазы которых отличаются
на 2π, называется длиной волны. Изменение фазы падающей или отраженной волны на участке линии равной длине волны λ определяется следующим образом:
11
( ) [ ( ) ] 2t x t x − + − − + + =
,
откуда получаем, что длина волны в линии определяется коэффициентом
фазы
2
=
. (1.19)
Следует отметить, что с учетом выражения (1.16) длина волны в линии без потерь принимает вид:
1 1 1 1
21
L C f L C
= =
. (1.20)
Скорость перемещения точки волны, фаза колебаний в которой
остается неизменной, называется фазовой скоростью волны.
Условие постоянства фазы падающей волны имеет следующий вид:
1
consttx − + =
. (1.21)
Продифференцировав по времени обе части выражения (1.21), получаем
1. Общие сведения о цепях с распределенными параметрами
18
1
( ) 0 или 0,
d dx
tx
dt dt
− + = − =
откуда следует, что фазовая скорость волны равна отношению угловой
частоты и коэффициента фазы:
ф
dx
v
dt
==
. (1.22)
Подставляя выражение (1.16) в (1.22) получаем, что фазовая ско-
рость падающей и отраженной волн в линии без потерь не зависит от частоты и определяется ее погонной индуктивностью и погонной емкостью:
ф
11
1
vLC=
. (1.23)
С помощью выражений (1.19) и (1.22) нетрудно получить соотно-
шения между длиной волны и фазовой скоростью:
фф
ф
2 vv
vT
f
= = =
. (1.24)
Из выражения (1.24) следует, что за время, равное периоду внешнего
воздействия Т, падающая и отраженная волны перемещаются на расстояние, равное длине волны λ.
1.6. Физический смысл волновых параметров линии
В соответствии с выражениями (1.10) и (1.11) мгновенные значения
напряжения и тока в любом сечении линии представляют собой алгебраическую сумму падающей и отраженной волн. Поскольку суммированию
мгновенных значений гармонических функций соответствует суммирование их комплексных изображений на основе выражений для мгновенных
значений напряжения и тока линии (1.10) и (1.11) можно записать аналогичные выражения для комплексных значений:
пад отр
( ) ( ) ( );U x U x U x=+
(1.25)
пад отр
( ) ( ) ( ),I x I x I x=−
(1.26)
где комплексные значения напряжения или тока падающей и отраженной
волн представляют собой соответствующие слагаемые в выражениях
(1.4) и (1.5):
1.6. Физический смысл волновых параметров линии
19
пад 1 отр 2
( ) ; ( )
xx
U x Ae U x A e
−
==
; (1.27)
12
пад отр
( ) ; ( ) .
xx
вв
AA
I x e I x e
ZZ
−
==
(1.28)
Из выражений (1.27) и (1.28) следует, что волновое сопротивление
линии равно отношению комплексного напряжения и комплексного тока
падающей или отраженной волны:
отр
пад
в
пад отр
()
()
.
( ) ( )
Ux
Ux
Z
I x I x
==
(1.29)
Таким образом, волновое сопротивление можно рассматривать
как комплексное сопротивление линии падающей или отраженной волне.
Для установления физического смысла коэффициента распространения рассмотрим комплексные напряжения падающей волны в точках с
координатами x и x + Δx:
пад 1
()
пад 1
( ) ;
( ) .
x
xx
U x A e
U x x A e
−
− +
=
+ =
Отношение представленных выше комплексных напряжений имеет
следующий вид:
пад
1
()
пад
1
()
()
x
x
xx
Ux
Ae
e
U x x
Ae
−
− +
==
+
.
Определяя натуральный логарифм левой и правой части последнего
выражения, получаем
пад
пад
()
ln
()
Ux
x
U x x
=
+
,
откуда
пад
пад
()
1
ln
()
Ux
x
U x x
=
+
. (1.30)
1. Общие сведения о цепях с распределенными параметрами
20
Аналогичным способом можно выразить коэффициент распространения, через комплексные токи падающей волны в точках с координатами
x и x + Δx, а также через комплексные напряжения и токи отраженной волны в тех же точках:
отр отр
пад
пад отр отр
( ) ( )
()
1 1 1
ln ln ln
( ) ( ) ( )
U x x I x x
Ix
x x x
I x x U x I x
+ +
= = =
+
. (1.31)
Таким образом, коэффициент распространения характеризует изменение комплексного напряжения или тока падающей и отраженной
волн на единицу длины линии.
Для определения коэффициента ослабления и коэффициента фазы
линии запишем в показательной форме комплексные напряжения падающей волны в точках с координатами x и x + Δx, а затем подставим полученные напряжения в формулу (1.30):
пад
пад
()
пад пад
()
пад пад
( ) ( ) ;
( ) ( ) ;
jx
j x x
U x U x e
U x x U x x e
+
=
+ = +
пад
пад
()
пад
()
пад
пад
пад пад
пад
()
1
ln
()
()
11
ln [ ( ) ( )].
()
jx
j x x
U x e
x
U x x e
Ux
j x x x
x U x x x
+
= =
+
= + − +
+
С учетом выражения (1.6) устанавливаем, что коэффициент ослабления линии характеризует изменение действующего значения (амплитуды) падающей волны на единицу длины линии:
пад
пад
()
1
ln .
()
Ux
x U x x
=
+
(1.32)
Коэффициент ослабления, представленный в виде выражения
(1.32), имеет размерность Нп/м (Нп – непер). Следует отметить, что коэффициент ослабления часто выражают в дБ/м (дБ – децибел):
пад
дБ
пад
()
1
20lg 8,686 .
()
Ux
x U x x
=
+
(1.33)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]