Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы анализа цепей с распределенными параметрами. Учебное пособие
.pdf
1.7. Связь погонных и волновых параметров длинных линий с их физическими…
21
Коэффициент фазы характеризует изменение фазы падающей
волны на единицу длины линии:
пад пад
1
[ ( ) ( )].x x x
x
= − +
(1.34)
Размерность коэффициента фазы – рад/м.
1.7. Связь погонных и волновых параметров длинных линий
с их физическими размерами
Основное назначение длинных линий, использующихся в системах
и устройствах радиотехники и связи, – это передача электромагнитной
энергии от источника к нагрузке. Исходя из этого к линиям передачи
предъявляются следующие функциональные требования:
− минимальный уровень тепловых (омических) потерь при передаче
энергии от источника к нагрузке;
− минимальный уровень искажений передаваемых сигналов в ши-
роком диапазоне частот (до десятков гигагерц);
− достаточная электрическая и тепловая прочность для передачи
колебаний с заданным уровнем мощности;
− достаточная электрогерметичность для минимизации утечки пе-
редаваемой электромагнитной энергии и паразитных взаимных влияний
отдельных частей радиоэлектронной аппаратуры.
Кроме функциональных требований к линиям передачи, предъявляют ряд эксплуатационных требований, основные из которых:
− способность работать при заданных условиях окружающей среды
(температуре, влажности, уровне вибраций и т. п.);
− обеспечение заданной гибкости линии передачи с учетом того, что
любые изгибы в заданных пределах не должны влиять на работоспособность линии;
− минимальные масса и габариты, особенно в бортовых системах и
устройствах радиотехники и связи для авиационной и космической техники.
Основные виды линий передачи, использующиеся в системах и
устройствах радиотехники и связи, приведены на рис. 1.1. Погонные и
волновые параметры линий передачи можно выразить через их физиче-
1. Общие сведения о цепях с распределенными параметрами
22
ские размеры, частоту воздействия, а также диэлектрические и магнитные
проницаемости их элементов [5, 6].
Двухпроводная линия (рис. 1.1, а) образована двумя круглыми про-
водниками, диаметр каждого из которых равен d, а расстояние между центрами проводников – D. Для обеспечения заданного расстояния между
проводниками в двухпроводной линии используют высококачественные
диэлектрические материалы.
Для получения аналитических выражений погонных параметров
двухпроводной линии через ее физические размеры необходимо использовать специальные методы теории электромагнитного поля.
Ниже приведены приближенные расчетные формулы для погонных
параметров двухпроводной линии:
0
1
2
ln 1 , Гн/м;
D
L
d
=−
10
2
/ ln 1 , Ф/м;
D
C
d
= −
пр 0
1
2
, Ом/м;
f
R
d
=
G1 = 10
− 10
(1 + 5∙10
– 4 f
), См/м.
Следует отметить, что погонная проводимость двухпроводной ли-
нии, как правило, не принимается во внимание, так как потери в диэлектрике очень малы.
Волновое сопротивление и фазовую скорость двухпроводной линии
можно определить на основании выражений (1.18) и (1.23):
1
в
1
2
120 ln 1 , Ом;
L
D
R
Cd
= = −
ф
11
1
, м/с.
с
v
LC
==
Коэффициент ослабления двухпроводной линии можно определить
с помощью следующего выражения:
пр 0
1 1 1
1 в
12
ln 1
120
22
f
R C R
D
dd
LR
= = −
, Нп/м.
В настоящее время двухпроводные линии, предназначенные для
передачи высокочастотных информационных сигналов, выполняются в
виде витой пары, т.е. пары скрученных между собой проводников, каждый
из которых покрыт диэлектрической оболочкой. Скручивание проводников позволяет уменьшить влияние на них внешних помех, а также влияние
перекрестных помех от соседних линий передачи.
1.7. Связь погонных и волновых параметров длинных линий с их физическими…
23
Коаксиальный кабель (рис. 1.1, б) представляет собой структуру из
двух проводящих металлических цилиндров (внутренний цилиндр – «сердечник», внешний цилиндр – «оплетка»), пространство между которыми
разделено диэлектриком. Как правило, «сердечник» представляет собой
одножильный провод, а «оплетка» выполняется из тонкой проволоки. Диэлектриком служит полиэтилен или фторопласт.
Погонная индуктивность коаксиального кабеля равна отношению
магнитного потока, создаваемого кабелем метровой длины, к протекающему в кабеле току. Магнитный поток можно выразить через ток с помощью закона полного тока, учитывая, что силовые линии магнитного поля
коаксиального кабеля имеют вид концентрических окружностей. Задача
вычисления погонной емкости коаксиального кабеля сводится к определению емкости цилиндрического конденсатора, длина которого равна одному метру, а диаметры внешнего и внутреннего проводников (D и d соответственно) считаются известными.
Определение погонного сопротивления коаксиального кабеля необходимо выполнять на основе исследования поверхностного эффекта,
сущность которого состоит в том, что плотность тока максимальна на поверхности проводника и экспоненциально уменьшается при удалении от
поверхности вглубь проводника. Глубина проникновения тока равна расстоянию от поверхности проводника, на котором плотность тока уменьшается в e = 2,718 раз:
пр 0
1/rf=
.
С ростом частоты значение глубины проникновения тока уменьшается, что приводит к сокращению токопроводящей области и росту погонного сопротивления.
Погонная проводимость коаксиального кабеля оценивается на основе схемы замещения реального конденсатора, которая содержит параллельно включенные емкость С и проводимость утечки g. Величина проводимости утечки определяется по формуле g = ωС tgδ, где δ – угол диэлектрических потерь, который показывает на сколько сдвиг фаз между током
и напряжением отличается от π/2 (для идеального конденсатора δ = 0).
Расчетные формулы для погонных параметров коаксиального кабеля, полученные на основании представленных выше теоретических положений, имеют следующий вид:
1. Общие сведения о цепях с распределенными параметрами
24
0
1
ln , Гн/м;
2
D
L
d
=
10
2 / ln , Ф/м;
D
C
d
=
пр 0
1
11
, Ом/м;
f
R
Dd
=+
G1 = 2πf C1 tgδ, См/м.
Волновое сопротивление и фазовая скорость коаксиального кабеля
при заданных погонных индуктивности и емкости определяются с помощью выражений (1.18) и (1.23):
в
60 ln , Ом;
D
R
d
=
ф
, м/с.
с
v =
Коаксиальные кабели, выпускаемые в настоящее время, имеют фик-
сированные значения волнового сопротивления: 50, 75, 100, 150 и 200 Ом.
Коэффициент ослабления коаксиального кабеля можно определить
на основании выражения (1.17):
пр 0
2
0
1/ 1/
120 tg
120ln( / )
f
Dd
f
Dd
+
= +
, Нп/м.
Микрополосковая линия (рис. 1.1, в) представляет собой структуру, в
которой токонесущими проводниками являются полоски металла, отделенные друг от друга подложкой (слоем диэлектрика с малыми потерями).
Погонные параметры микрополосковой линии определяются при
условии, что поперечные размеры линии (высота подложки h и толщина
проводников W) значительно меньше длины волны. При таком допущении
погонную емкость микрополосковой линии можно определить по формуле
для емкости плоского конденсатора, известной из школьного курса физики. Полагая, что фазовая скорость в микрополосковой линии определяется
также как в двухпроводной и коаксиальной линиях, можно определить
погонную индуктивность и волновое сопротивление микрополосковой
линии через погонную емкость и фазовую скорость с помощью соотноше-
ний
2
1 ф1
1/LvС=
и
в ф 1
1/RvС=
, которые непосредственно следуют из фор-
мул (1.23) и (1.18).
Погонное сопротивление микрополосковой линии в первом приближении можно получить, если считать, что электрический ток равно-
1.7. Связь погонных и волновых параметров длинных линий с их физическими…
25
мерно распределен по ширине металлической полоски. Погонная проводимость микрополосковой линии определяется по аналогии с погонной
проводимостью коаксиального кабеля – на основании значения погонной
емкости и тангенса угла диэлектрических потерь.
Расчетные формулы для погонных параметров микрополосковых
линий, полученные на основании представленных выше теоретических
положений, имеют следующий вид:
10
, Гн/м;
h
L
W
=
0
1
, Ф/м;
W
C
h
=
пр 0
1
4
1
, Ом/м;
f
R
W
=
G1 = 2πf C1 tgδ, См/м.
Волновое сопротивление и фазовая скорость микрополосковой ли-
нии при заданных погонных индуктивности и емкости определяются с
помощью выражений (1.18) и (1.23):
в
120 , Ом;
h
R
W
ф
, м/с.
с
v =
Применяемые микрополосковые линии имеют волновое сопротивление от 25 до 100 Ом. Это позволяет обеспечить согласование данной
линии с другими узлами, а также добиться компромисса между требованиями к затуханию линии и уровню предельно допустимой мощности.
Коэффициент ослабления микрополосковой линии можно определить на основании выражения (1.17):
пр 0
2
0
1
120 tg
120
f
f
h
= +
, Нп/м.
Благодаря конструктивным и электрическим особенностям, микрополосковые линии наиболее перспективны для применения в миниатюрных и интегральных устройствах, работающих в диапазоне частот порядка
1 ГГц и выше.
В приведенных выше формулах для погонных и волновых параметров используются следующие фундаментальные константы и справочные
величины:
1. Общие сведения о цепях с распределенными параметрами
26
ε0 = 10
– 9 /
36π, Ф/м – диэлектрическая проницаемость вакуума;
μ0 = 4π∙10
– 7
, Гн/м – магнитная проницаемость вакуума;
8
00
1/ 3 10с = =
, м/с – скорость света в вакууме;
ε – относительная диэлектрическая проницаемость среды (для воз-
душной среды ε ≈ 1; для полиэтилена ε ≈ 2,3; для полистирола ε ≈ 2,6; для
фторопласта ε ≈ 2,1; для кварца ε ≈ 3,9);
μ – относительная магнитная проницаемость среды (для воздушной
среды и диэлектриков μ ≈ 1);
μпр – относительная магнитная проницаемость проводника (для се-
ребра, меди и олова μпр ≈ 1; для стали μпр ≈ 120);
σ – удельная проводимость материала (для серебра σ ≈ 6,2∙10
7
См/м
для меди σ ≈ 5,8∙10
7
См/м; для олова σ ≈ 0,88∙10
7
См/м; для стали
σ ≈ 0,72∙106 См/м);
tgδ – тангенс угла диэлектрических потерь (на частоте 1ГГц для по-
лиэтилена и полистирола tgδ = 2∙10
– 4
; для фторопласта tgδ = 2,5∙10
− 4
; для
кварца tgδ = 3∙10
– 4
).
1.8. Моделирование длинной линии многозвенной цепью
с сосредоточенными параметрами
Однородная длинная линия представляет собой многозвенную
цепь, образованную с помощью каскадного соединения бесконечно большого числа одинаковых элементарных звеньев (см. рис. 1.3). Линию конечной длины можно приближенно рассматривать в виде конечного числа
каскадно-соединенных звеньев с сосредоточенными параметрами [6]. Чем
больше звеньев содержит модель с сосредоточенными параметрами, тем
точнее она будет соответствовать длинной линии.
Как следует из рис. 1.2, длинная линия является симметричным
пассивным четырехполюсником, поэтому ее модель может быть составлена из симметричных T- или П-образных звеньев (рис. 1.5).
В рассмотренных в подразд. 1.7 длинных линиях потери в диэлек-
трике незначительны, следовательно погонной проводимостью утечки можно пренебречь. Таким образом, цепи с сосредоточенными параметрами, моделирующие длинные линии, как правило, не учитывают параллельной
проводимости и состоят из индуктивностей, емкостей и сопротивлений.
1.8. Моделирование длинной линии многозвенной цепью с сосредоточенными…
27
Рис. 1.5. Симметричные T-образное (а) или П-образное (б) звенья
При моделировании однородной длинной линии можно полагать,
что параметры элементов различных звеньев одинаковы:
L1 = L2 = … = LN = L;
C1 = C2 = … = CN = C;
R1 = R2 = … = RN = R,
где N – общее число звеньев в многозвенной модели.
При моделировании длинной линии без потерь из многозвенной
схемы замещения можно исключить сопротивление.
Таким образом, при каскадном соединении T-образных звеньев по-
следовательно соединенные индуктивности и сопротивления соседних
звеньев можно заменить одной индуктивностью и одним сопротивлением
соответственно:
1
;
22
kk
LL
L
+
=+
1
,
22
kk
RR
R
+
=+
где k = 1…N – 1.
При каскадном соединении П-образных звеньев параллельно со-
единенные емкости соседних звеньев можно заменить одной емкостью
1
.
22
kk
СС
С
+
=+
На рис. 1.6 представлены многозвенные модели длинных линий,
составленные из T-образных и П-образных звеньев. Каждая из моделей
была составлена из N = 4 звеньев, причем элементы соседних звеньев были заменены одним элементом в соответствии с приведенными выше правилами преобразования последовательно-соединенных индуктивностей и
сопротивлений, а также параллельно-соединенных емкостей.
1. Общие сведения о цепях с распределенными параметрами
28
Рис. 1.6. Многозвенные модели длинных линий, составленные
из T-образных (а) и П-образных (б) звеньев (число звеньев N = 4)
Параметры элементов многозвенных моделей можно определить по
известным погонным параметрам линии при заданной длине линии l и
числе звеньев N с помощью следующих соотношений:
1
;
Ll
LN=
1
;
Cl
C
N
=
1
.
Rl
RN=
Применение многозвенных цепей с сосредоточенными параметрами
имеет важное значение для моделирования длинных линий. Для экспериментального изучения процессов в длинных линиях и системах, соединенных длинными линиям, можно заменять линии многозвенными моделями.
Для моделирования установившихся процессов в длинной линии
при гармоническом воздействии на одной заданной частоте достаточно
заменить ее одним элементарным звеном, приведенным на рис. 1.5. Для
моделирования переходных процессов в длинной линии при произвольном внешнем воздействии необходимо использовать многозвенные модели. Многозвенные модели также позволяют исследовать распределения
напряжений и токов вдоль линии.
Выбор числа звеньев определяется требуемой точностью моделирования. Обычно, для достижения удовлетворительной точности достаточно 10–20 звеньев.
Следует отметить, что схемы, приведенные на рис. 1.6, также называют лестничными или цепными, а частота
1.8. Моделирование длинной линии многозвенной цепью с сосредоточенными…
29
с
2
LC
=
называется частотой среза цепочечного эквивалента.
В диапазоне частот 0 ≤ ω ≤ ωс многозвенная модель обладает ос-
новным свойством цепи с распределенными параметрами: напряжения в
местах соединения звеньев одинаковы по амплитуде и отличаются по фазе, причем сдвиг фаз между напряжениями различных звеньев изменяется
линейно вдоль многозвенной модели.
Следует отметить, что в отличие от однородной длинной линии без
потерь многозвенная модель без потерь обладает частотной дисперсией,
т.е. фазовая скорость в многозвенной модели без потерь будет зависеть от
частоты, что приводит к существенным искажениям формы импульсов,
передаваемых через многозвенную модель.
В диапазоне частот ω > ωс многозвенная модель ведет себя аналогично фильтру нижних частот. При этом амплитуда передаваемого напряжения уменьшается экспоненциально от звена к звену не из-за потерь, а
вследствие рассогласования между звеньями.
2. Режимы работы длинной линии
30
2. РЕЖИМЫ РАБОТЫ ДЛИННОЙ ЛИНИИ
2.1. Коэффициент отражения линии
Комплексный коэффициент отражения линии равен отношению
комплексных действующих значений напряжений или токов отраженной и
падающей волн в произвольном сечении линии:
отр отр
2
2
1
пад пад
( ) ( )
( ) .
( ) ( )
x
U x I x
A
xe
A
U x I x
= = =
(2.1)
Для определения ρ(x) необходимо найти постоянные интегрирования
А1 и А2, которые могут быть выражены через граничные условия – комплекс-
ные напряжения
()Ux
и токи
()Ix
в начале (x = 0) или в конце (x = l) линии.
Выразим постоянные интегрирования через комплексное напряже-
ние и комплексный ток в конце линии:
2
( ) ( )
xl
U x U l U
=
==
и
2
( ) ( )
xl
I x I l I
=
==
.
С учетом общих решений телеграфных уравнений (1.4) и (1.5) при
x = l получаем:
2 1 2
2 2 1
12
2
2 2 2
;
2;
;
2,
ll
l
в
ll
l
в
вв
U A e A e
U I Z Ae
AA
I e e
U I Z A e
ZZ
−
−
−
=+
+=
=−
−=
откуда
22
1
;
2
l
в
U I Z
Ae
+
=
22
2
.
2
l
в
U I Z
Ae
−
−
=
(2.2)
Подставляя выражения (2.2) в (2.1), получаем следующее выраже-
ние для коэффициента отражения в произвольном сечении линии:
2 ( ) 2
22
2
22
( ) ,
l x x
в
в
U I Z
x e e
U I Z
− − −
−
= =
+
(2.3)
где x' = l – x – расстояние, отсчитываемое от конца линии;
отр
22
2
пад 2 2
()
()
()
в
xl
в
xl
Ux
U I Z
x
U x U I Z
=
=
−
= = =
+
− коэффициент отражения в конце
линии, который можно представить в виде:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]