Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы анализа цепей с распределенными параметрами. Учебное пособие
.pdf
3.5. Согласование длинной линии с нагрузкой
61
Таким образом, в основной линии устанавливается режим бегущих
волн. Отрезок линии, используемой в качестве четвертьволнового трансформатора, будет находиться в режиме смешанных волн, однако вследствие малой длины трансформатора потери энергии в нем незначительны.
В случае комплексного сопротивления нагрузки для согласования
линии с нагрузкой четвертьволновый трансформатор подключают на некотором расстоянии l0 от конца линии, как показано на рис. 3.5, б. Значение
l0 выбирается так, чтобы входное сопротивление полученной цепи отно-
сительно зажимов 2 – 2' имело чисто резистивный характер, следовательно, для определения l0 необходимо решить уравнение
вх
Im( ) 0Z =
,
где
0
вх 22
ll
ZZZ
=
==
; Z – определяется выражением (3.24).
Таким образом, входное сопротивление цепи, нагруженной на
трансформатор в точках 2 – 2', будет чисто резистивным
0
22 вх
ll
Z Z R
=
==
,
а эквивалентное сопротивление нагрузки, подключенной к основной линии в точках 1 – 1', будет определяться с помощью выражения (3.25):
2
в тр
эк 11
вх
R
ZZ
R
==
.
Следовательно, волновое сопротивление трансформатора
в тр во вх
R R R=
.
Неудобство согласования с помощью четвертьволнового трансформатора заключается в необходимости изготовления специального отрезка
линии, волновое сопротивление и, следовательно, погонные параметры
которого должны отличаться от волнового сопротивления и погонных параметров согласуемой линии.
Существенным недостатком согласования с помощью четвертьволнового трансформатора является его узкополосность, поскольку условие
l = λ / 4 строго выполняется только при соответствующем номинальном
значении частоты воздействия f = vф/4l. Если частота воздействия отличается от номинального значения, в линии будет наблюдаться рассогласование, которое будет выражено тем больше, чем сильнее отличие между значениями согласуемых сопротивлений.
3. Частотные характеристики длинной линии
62
На практике четвертьволновые трансформаторы удовлетворительно
работают, если частота воздействия отличается не более, чем на 10 % от
номинального значения частоты, соответствующей длине трансформатора
l = λ / 4. Простым способом повышения полосы частот, в которой будет
обеспечиваться удовлетворительное согласование, является создание цепочки трансформаторов одинаковой длины с монотонно изменяющимся
волновым сопротивлением, причем чем меньше отличаются волновые
сопротивления соседних трансформаторов, тем больше будет полоса частот согласующего устройства в виде цепочки трансформаторов.
Согласование с помощью реактивного шлейфа.
Метод согласования с помощью реактивного шлейфа, разработанный
В. В. Татариновым, лишен недостатка метода согласования с помощью чет-
вертьволнового трансформатора, так как в качестве реактивного шлейфа
используется отрезок линии того же типа, что и согласуемая линия.
Рассмотрим линию передачи с чисто резистивным волновым сопротивлением Rв, к которой подключена нагрузка с комплексным сопротивлением Zн. Для согласования линии с нагрузкой реактивный шлейф,
волновое сопротивление которого равно волновому сопротивлению основной линии Rв, необходимо подключать на некотором расстоянии l0 от
конца линии, как показано на рис. 3.6.
Рис. 3.6. Согласование линии с нагрузкой с помощью реактивного шлейфа
Расстояние от конца линии до места подключения шлейфа l0 выбирается так, чтобы вещественная составляющая входной проводимости
3.5. Согласование длинной линии с нагрузкой
63
линии в точках 1 – 1' была равна 1/Rв, следовательно, для определения l0
необходимо решить уравнение
вх вх
в
1
Re( )gY
R
==
, (3.29)
где
0
вх вх вх 11
1/
ll
Y g jb Y Z
=
= + = =
.
Длина шлейфа lш выбирается так, чтобы входная проводимость
шлейфа удовлетворяла следующему равенству:
ш ш вх
Y jb jb= = −
, (3.30)
где
0
вх вх
Im( ) Im(1/ )
ll
b Y Z
=
==
.
Поскольку реактивный шлейф представляет собой короткозамкну-
тый отрезок линии без потерь, то с учетом выражения (3.17) его входную
проводимость можно представить в виде
ш
к в ш в ш
11
tg tg
j
Y
Z jR l R l
= = = −
. (3.31)
Из выражений (3.30) и (3.31) нетрудно определить мнимую состав-
ляющую входного сопротивления реактивного шлейфа:
ш вх
вш
1
tg
bb
Rl
= − = −
(3.32)
и длину реактивного шлейфа
ш
в вх
11
arctg
n
l
Rb
=+
, (3.33)
где n = 0 при bвx > 0 и n = 1 при bвx < 0.
Очевидно, что при выполнении условий (3.29) и (3.30) эквивалент-
ное сопротивление нагрузки, подключенной к основной линии в точках
1 − 1', будет равно волновому сопротивлению линии Rв:
11
эк эк вх ш в
()Z Y Y Y R
−−
= = + =
.
Следует отметить, что при согласовании линии с нагрузкой с помощью реактивного шлейфа в основной линии устанавливается режим
бегущих волн. В реактивном шлейфе будет иметь место режим стоячих
волн, отрезок линии длиной l0 между нагрузкой и местом подключения
шлейфа будет находиться в режиме смешанных волн, однако вследствие
3. Частотные характеристики длинной линии
64
малой длины реактивного шлейфа lш и отрезка линии l0 потери энергии на
данных участках будут незначительны.
3.6. Коэффициент передачи по напряжению отрезка длинной линии
при произвольной внешней нагрузке
Рассмотрим отрезок длинной линии с произвольной внешней на-
грузкой (рис. 3.7).
Рис. 3.7. Отрезок длинной линии с произвольной внешней нагрузкой
Учитывая, что сопротивление нагрузки
н 2 2
Z U I
=
первое уравне-
ние системы (3.11) можно представить в виде:
в
12
н
ch( ) sh( )
Z
U U l l
Z
= +
,
откуда нетрудно определить комплексный коэффициент передачи по
напряжению отрезка линии
2
21
в
1
н
1
()
ch( ) sh( )
U
Kj
Z
U
ll
Z
= =
+
. (3.34)
В случае линии без потерь γ = jβ, Zв = Rв, ch γl = cos βl, sh γl = j sin βl
при чисто резистивной нагрузке Zн = Rн комплексный коэффициент передачи по напряжению примет следующий вид:
21
в
1
()
cos( ) sin( )
н
Kj
R
l j l
R
=
+
. (3.35)
Учитывая, что коэффициент фазы β = 2π / λ =2πf /
vф
= ω / vф получа-
ем следующее выражение для комплексного коэффициента передачи по
напряжению отрезка линии без потерь:
3.6. Коэффициент передачи по напряжению отрезка длинной линии…
65
21
в
1
()
cos sin
ф н ф
Kj
R
ll
j
v R v
=
+
. (3.36)
Из выражения (3.36) видно, что зависимости комплексного коэф-
фициента передачи по напряжению отрезка линии без потерь от частоты
воздействия ω и от длины отрезка l будут иметь одинаковый вид.
Величина равная отношению длины линии к фазовой скорости
представляет собой время задержки (запаздывания) волны, распространяемой вдоль линии:
0 1 1
ф
l
t l L C
v
==
. (3.37)
Используя понятие времени задержки, выражение (3.36) можно
представить в компактном виде:
( ) ( )
21
в
00
1
()
cos sin
н
Kj
R
t j t
R
=
+
. (3.38)
В случае согласованной нагрузки Rн = Rн0 = Rв выражение для
K
21
(jω) существенно упрощается:
( ) ( )
0
21с
00
1
()
cos sin
jt
K j e
t j t
−
= =
+
. (3.39)
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) и фазочастотная ха-
рактеристика (ФЧХ) комплексного коэффициента передачи по напряжению отрезка линии без потерь при согласованной нагрузке имеют следующий вид
0
21с
( ) 1
jt
Ke
−
= =
;
( )
0
21с0
( ) arg
jt
et
−
= = −
. (3.40)
Таким образом, при согласованной нагрузке АЧХ коэффициента
передачи по напряжению линии без потерь остается неизменным и равным единице на любой частоте, а ФЧХ – убывает с ростом частоты по линейному закону.
В случае произвольной нагрузки (Rн ≠ Rв) АЧХ коэффициента передачи по напряжению описывается периодической функций частоты, а
ФЧХ убывает с ростом частоты по закону, отличающемуся от линейного
(рис. 3.8).
3. Частотные характеристики длинной линии
66
Рис. 3.8. АЧХ (а) и ФЧХ (а) комплексного коэффициента передачи по напряже-
нию отрезка линии без потерь при различных значениях сопротивления нагрузки
При Rн = Rн1 < Rв АЧХ принимает максимальное значение K
max
= 1
на частотах 0, 2ω0, 4ω0 и минимальное значение K
min
= Rн1 /
Rв
на частотах
ω0, 3ω0, 5ω0.
При Rн = Rн2 > Rв АЧХ принимает максимальное значение
K
max
= Rн2 /
Rв
на частотах ω0, 3ω0, 5ω0,… и минимальное значение K
min
= 1
на частотах 0, 2ω0, 4ω0.
3.7. Волновые уравнения длинной линии
67
Частота резонанса ω0 соответствует длине отрезка линии равной
четверти длины волны l = λ / 4, следовательно
фф
0
0
22
2
44
vv
lt
= = =
. (3.41)
Из рис. 3.8 следует, что, увеличивая сопротивление нагрузки, можно добиться значительного превышения напряжения на выходе линии по
сравнению с напряжением на входе. Однако при увеличении напряжения
на нагрузке, ее ток уменьшается во столько же раз, поскольку отрезок
длинной линии является пассивной цепью, в которой невозможно усиление мощности.
3.7. Волновые уравнения длинной линии
В диапазоне частот от 1 ГГц и выше, включая СВЧ диапазон
(3–30 ГГц) для описания волновых процессов вместо комплексных
напряжений и токов в начале и в конце линии используют комплексные
напряжения падающей и отраженной волн в начале и в конце линии.
На основании выражений (1.25)–(1.28) комплексные напряжения и
токи в начале и в конце линии можно выразить через комплексные напряжения падающей и отраженной волн в начале и в конце линии, подставляя
в данные выражения x = 0 и x = l соответственно
11пад 1 отр
;U U U=+
(3.42)
11пад 1 отр
в
1
( );I U U
Z
=−
(3.43)
22пад 2 отр
;U U U=+
(3.44)
22пад 2 отр
в
1
( ).I U U
Z
=−
(3.45)
Подставляя выражения (3.42)–(3.45) в основные уравнения четырехполюсника в форме А (3.2) и выбирая в качестве независимых переменных комплексные напряжения волн, распространяющихся с обеих сто-
рон по направлению к четырехполюснику
1пад 2отр
( и)UU
, получаем вол-
новые уравнения длинной линии в форме S:
3. Частотные характеристики длинной линии
68
1отр 11 1пад 12 2 отр
2 пад 21 1 пад 22 2отр
;
.
U S U S U
U S U S U
=+
=+
(3.46)
Уравнения (3.46) можно записать в матричной форме:
1отр 1пад
2 пад 2 отр
UU
S
UU
=
, (3.47)
где
11 12
21 22
SS
S
SS
=
− матрица рассеяния.
Коэффициенты, входящие в матрицу рассеяния называются
S-параметрами.
Для определения S-параметров подставим x = 0 и x = l в выраже-
ния (1.27):
пад 1пад 1 отр 1 отр 2
(0) ; (0) ;U U A U U A= = = =
(3.48)
пад 2 пад 1 отр 2 отр 2
( ) ; ( ) .
ll
U l U A e U l U A e
−
= = = =
(3.49)
Из волновых уравнений (3.46) следует
2 отр
1отр
11
1пад
0
;
U
U
S
U
=
=
1пад
1отр
12
2 отр
0
;
U
U
S
U
=
=
(3.50)
2 отр
2 пад
21
1пад
0
;
U
U
S
U
=
=
1пад
2 пад
22
2 отр
0
.
U
U
S
U
=
=
(3.51)
Подставляя выражения (3.48), (3.49) в формулы (3.50), (3.51) и учи-
тывая, что при
, при
1пад 1
00UA= =
, получаем следу-
ющие выражения для S-параметров
11
0;S =
12
;
l
Se
−
=
21
;
l
Se
−
=
22
0.S =
(3.52)
и матрицу рассеяния однородной длинной линии
0
0
l
l
e
S
e
−
−
=
. (3.53)
Следует отметить, что матрица рассеяния имеет всего два ненуле-
вых элемента, значения которых одинаковы и совпадают с комплексным
3.7. Волновые уравнения длинной линии
69
коэффициентом передачи по напряжению длинной линии при согласованной нагрузке на выходе линии (см. выражение (3.34) при Zн = Zв):
нв
12 21 21
( ) .
l
ZZ
S S K j e
−
=
= = =
Из выражений (3.50) и (3.51) видно, что элемент матрицы рассеяния
S11 представляет собой коэффициент отражения в начале линии при согла-
сованной нагрузке в конце линии, S22 – коэффициент отражения в конце
линии при согласованной нагрузке в начале линии.
Подставляя выражения (3.42)–(3.45) в основные уравнения четырехполюсника в форме А (3.2) и выбирая в качестве независимых переменных комплексные напряжения падающей и отраженной на выходе че-
тырехполюсника
2пад 2отр
( и)UU
, получаем волновые уравнения длинной
линии в форме T:
1пад 11 2 пад 12 2 отр
1отр 21 2 пад 22 2 отр
;
.
U T U T U
U T U T U
=+
=+
(3.54)
Уравнения (3.54) в матричной форме имеют вид:
1пад 2 пад
1отр 2 отр
UU
T
UU
=
, (3.55)
где
11 12
21 22
TT
T
TT
=
− волновая матрица.
С помощью алгебраических преобразований волновые уравнения в
форме S можно преобразовать к виду, соответствующему форме T:
22
1пад 2пад 2 отр
21 21
11 11 22
1отр 2пад 12 2 отр
21 21
1
;
.
S
U U U
SS
S S S
U U S U
SS
=−
= + −
Таким образом, T-параметры можно выразить через S-параметры:
22
21 21
11 11 22
12
21 21
1
S
SS
T
S S S
S
SS
−
=
−
. (3.56)
3. Частотные характеристики длинной линии
70
Подставляя полученные выше выражения S-параметров (3.52) в вы-
ражение (3.56), получаем волновую матрицу однородной длинной линии
0
0
l
l
e
T
e
−
=
. (3.57)
Широкое распространите волновых матриц в СВЧ-технике объяс-
няется наглядностью элементов этих матриц и сравнительной простотой
их экспериментального определения.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]