Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обратные и некорректные задачи биофизики. Учебное пособие
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
_________
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ
ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПЕТРА ВЕЛИКОГО
____________________________________________________________
К. Г. Куликов
ОБРАТНЫЕ И НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ БИОФИЗИКИ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2021
УДК 519.64, 519.683
ББК 28.071я73
К90
Р е ц е н з е н т – доктор физико-математических наук,
профессор Высшей инженерно-физической школ
Санкт
-Петербургского политехнического университета Петра
А. П. Головицкий
Куликов К. Г. Обратные и некорректные задачи биофизики : учеб. пособие /
К. Г. Куликов. – СПб. : ПОЛИТЕХ-ПРЕСС, 2021. – 99 с.
В пособии излагаются основные методы и алгоритмы решения обратных некорректных
задач. Каждый раздел содержит краткое введение в теорию с постулированием основных
положений, типовых примеров и их решений, а также серию оптимальных алгоритмов с их
программной реализацией в среде Matlab и примерами тестовых расчетов.
Пособие может быть использовано студентами инженерно-физических специальностей,
аспирантами, стажерами-исследователями и слушателями факультета повышения квалификации
преподавателей Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого.
ы
Великого
Ил. 43. Библиогр.: 28 назв.
Печатается по решению
Совета по издательско
Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого.
ISBN 978-5-7422-7354-7
doi:10.18720/SPBPU/2/id21-26
й деятельности Ученого совета
Куликов К. Г., 2021
Санкт-Петербургский политехнический
университет Петра Великого, 2021
The Ministry
____________________________________________________________
INVERSE AND INCORRECT PROBLEMS IN BIOPHYSICS
of Science and Higher Education of the Russian Federation
_________
PETER THE GREAT
ST. PETERSBURG POLYTECHNIC UNIVERSITY
K. G. Kulikov
Training manual
Saint Petersburg
2021
P e e r r e v i e w e d b y Doctor of Physics and Mathematics,
professor at the Graduate School of Engineering Physics of
Peter the Great Saint Petersburg Polytechnic University
A. P. Golovitskiy
Kulikov K. G. Inverse and incorrect problems in biophysics : training manual /
K. G. Kulikov. – St. Petersburg: POLYTECH-PRESS, 2021. – 99 p.
The manual presents the basic methods and algorithms for solving inverse incorrect problems.
Each section contains a brief introduction to the theory with postulating the main provisions, common
examples and their solutions, as well as a series of optimal algorithms with their software
implementation in the Matlab environment and examples of test calculations.
The manual can be used by students of engineering and physics majors, graduate students,
research interns, and trainees of the Faculty of Advanced Training for Teachers of Peter the Great Saint
Petersburg Polytechnic University.
Figures 43. References: 28 titles.
of Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University
ISBN 978-5-7422-7354-7
doi:10.18720/SPBPU/2/id21-26
Printed by the Publishing Council
Kulikov K. G., 2021
Peter the
University, 2021
Great St. Petersburg Polytechnic
Academic Council.
Оглавление
Введение ...................................... 7
Глава 1. Некоторые аспекты постановки задач математического мо-
делирования 9
1.1 Математические модели процессов в естествознании. Прямая и обрат-
наязадача.Классификацияобратныхзадач................ 9
1.2 Прямыезадачи................................. 11
1.3 Обратныезадачииихклассификация ................... 12
Глава 2. Сведения из функционального анализа и теории операто-
ров 15
Глава 3. Сведения из теории интегральных уравнений 18
3.1 Интегральные уравнения. Основные понятия и определения. Класси-
фикацияуравнений .............................. 18
3.2 Метод последовательных приближений решения интегральных урав-
нений ...................................... 19
3.2.1 Построение решения уравнения Фредгольма II рода при малых
значениях параметра методом последовательных приближений . 19
3.2.2 Построение решения уравнения Вольтерра II рода методом по-
следовательных приближений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Интегральные уравнения с вырожденными ядрами . . . . . . . . . . . . 22
3.3.1 Решение уравнений Фредгольма II рода с вырожденным ядром . 22
3.3.2 Решение уравнений Вольтерра II рода с вырожденным ядром . . 24
3.4 Понятие итерированного ядра и резольвенты. Решение интегрального
уравнения Фредгольма II рода с помощью резольвенты . . . . . . . . . 25
3.5 Характеристические числа и собственные функции. Теоремы Фред-
гольма...................................... 27
3.5.1 Собственное число (значение) и собственный вектор матрицы . . 27
3.5.2 Характеристические числа и собственные функции интеграль-
ногоуравнения............................. 28
3.5.3 ТеоремыФредгольма ......................... 30
3.6 Физические примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Глава 4. Численные методы решения интегральных уравнений 33
4.1 Методы решения уравнений Вольтерра II рода. Метод квадратур . . . 33
4.1.1 Методпростойитерации....................... 36
4.2 Методы решения уравнений Фредгольма II рода . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.1 Методквадратур ........................... 39
5
4.2.2 Методвырожденныхядер...................... 41
4.2.3 Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2.4 Метод Галеркина - Петрова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Глава 5. Корректность по Адамару 49
5.1 Примерынекорректныхзадач ........................ 50
Глава 6. Методы наименьших квадратов Гаусса и псевдообратной
матрицы Мура-Пенроуза 54
6.1 Плохообусловленныезадачи......................... 57
6.2 Решение СЛАУ с матрицей, близкой к вырожденной . . . . . . . . . . . 58
Глава 7. Классические методы решения интегральных уравнений
Фредгольма I рода 63
7.1 Методквадратур................................ 63
Глава 8. Метод регуляризации Тихонова 69
8.1 Краткийанализметода............................ 71
Глава 9. Решение вырожденных и плохо обусловленных СЛАУ 73
Глава 10. Вариационный метод регуляризации 75
Глава 11. Регуляризация по методу обобщенной невязки 87
Библиографический список .......................... 98
6
Введение
Обратные задачи - относительно новый раздел математического моделирования, требующий строгости математических формулировок, аккуратности при построении
дискретных схем и применении некоторых специфических приемов при численном
решении. Очень часто на практике встречаются ситуации, когда объект исследования принципиально недоступен для наблюдения или же проведение эксперимента
по его изучению либо весьма дорого, либо практически неосуществимо. Примерами
могут служить эксперименты по изучению внутреннего строения Земли, на основе которых можно было бы прогнозировать месторождения полезных ископаемых,
предсказывать время и место разрушительных землетрясений.
Отметим, что глубина самых глубоких шахт, пробуренных при помощи самого современного оборудования, не превышает 20 км, а средний радиус Земли равен 6371
км. Таким образом, для непосредственного наблюдения колебаний Земли доступна
весьма небольшая ее приповерхностная часть. При этом необходимо дать заключение о свойствах приповерхностного слоя (например, об изменении его плотности или
упругих модулей с глубиной) по измеренным в ходе эксперимента косвенным проявлениям. Весьма похожая ситуация возникает в задачах неразрушающего контроля
изделий и конструкций, когда требуется выявить дефект (трещину или полость)
внутри работающего объекта (такого как самолет, ракета или ядерный реактор).
Аналогичные проблемы необходимо решать при проведении медицинских исследований, направленных на выявление патологий внутренних органов человека по
данным акустического зондирования или томографии. C открытием рентгеновских
лучей человечество приобрело очень мощный инструмент исследования грудной клетки, костей, пищеварительного тракта, но, в силу их неблагоприятного воздействия на
ткани, продолжались поиски менее вредного и более информативного способа изучения органов человека. Таким способом в настоящее время является ультразвуковое
исследование (УЗИ), широко применяемое в медицинской практике и позволяющее
достаточно просто выявлять патологии различных органов. В основе этого способа
лежит анализ отраженных звуковых волн от различных структур организма; в этом
случае объект исследования также недоступен для непосредственного изучения. При
этом можно судить о структуре и размерах органов лишь на основе косвенных данных измерений.
У описанных выше примеров есть нечто общее - необходимо определить причины,
если известны полученные в результате экспериментов или наблюдений следствия.
С точки зрения соотношения "причина - следствие"все задачи математического
моделирования можно условно разделить на два больших класса: прямые задачи
(известны причины, необходимо найти следствия) и обратные (известны следствия,
нужно найти причины).
К прямым задачам относятся, например, задачи расчета механических, тепловых,
электромагнитных полей для тел, свойства и конфигурация которых известны. Эти
задачи к настоящему времени достаточно хорошо изучены и составляют сущность
одного из важнейших разделов современной математики - уравнений математической
физики, или уравнений в частных производных.
К обратным задачам относятся задачи определения некоторых физических свойств
объектов, таких как плотность, коэффициент теплопроводности, упругие модули в
зависимости от координат или в виде функций других параметров. Процедура реше-
7
ния таких задач, состоящих в обращении причинно-следственных связей, связана с
преодолением серьезных математических трудностей; успех ее в значительной степени зависит как от качества и количества полученной из эксперимента информации,
так и от способа ее обработки.
Заметим, что без умения решать прямые задачи невозможно подойти к обратным.
В современном образовании достаточно времени уделяется методам исследования
прямых задач, развитию вычислительных технологий их решения, однако методы
исследования обратных задач, возникающих в различных областях, в учебной литературе освещены недостаточно.
Цель данного пособия состоит в обучении студентов методам дискретизации подобных задач и построении устойчивых вычислительных схем построения приближенных решений.
Обратные и некорректные задачи представляют собой широкий класс задач, имеющий приложения в таких областях естествознания, как геофизика и сейсморазведка, медицина и биомеханика, дефектоскопия, распознавание образов и идентификация динамических систем. Эти задачи обладают целым рядом неприятных с
вычислительной точки зрения свойств - неединственностью, неустойчивостью по отношению к погрешности входных данных, и требуют специальных алгоритмов, разработанных на основе строгих теорий, опирающихся на аппарат функционального
анализа и современных вычислительных технологий.
Ввиду этого в последнее время достаточно много внимания уделяется разработке эффективных методов и алгоритмов решения для различных классов обратных
задач.
Предметом изучения в настоящем курсе являются специфические математические задачи, объединенные общим свойством некорректности.
Задача дисциплины состоит в разработке общих способов преодоления некорректности, возникающей при решении различных типов обратных задач.
8
Глава 1
Некоторые аспекты постановки задач
математического моделирования
1.1 Математические модели процессов в естествозна-
нии. Прямая и обратная задача. Классификация
обратных задач
Окружающие нас материальные объекты устроены достаточно сложно и являются предметами исследования различных естественных наук.
Познание окружающего мира и практические потребности (мореплавание, землеустройство), стремление проникнуть в сущность окружающих явлений и предметов
привело человека к попыткам формулировать некоторые закономерности изучаемых
явлений. Эти попытки основывались на некоторой идеализации окружающих предметов и явлений, которые в реальности характеризуются множеством разнообразных
проявлений. Так, например, наблюдение повторяемости в движении небесных тел, в
смене времен года привело к формулировке некоторых выводов, которые легли в
основу первых моделей строения Солнечной системы, а история ее моделирования
претерпела несколько этапов, на каждом из которых формулировались свои гипотезы, строилась система движения звезд, планет, Солнца, Земли и Луны.
Предположим, что необходимо описать поведение некоторого процесса или явления, которые в дальнейшем будем именовать объектами исследования (ОИ). При
этом для понимания основных закономерностей поведения ОИ и прогнозирования
дальнейшего его поведения необходимо абстрагироваться от реального процесса, заменяя его упрощенным - идеальным, т. е. учитывать один или несколько факторов, в
основном определяющих его поведение. Работа не с самим ОИ, а с его моделью дает
возможность относительно быстро и без больших затрат исследовать его свойства и
поведение в любых ситуациях и для широкого спектра воздействий.
Современные вычислительные технологии позволяют проводить вычислительные
эксперименты, изучать ОИ подробно и глубоко.
Создатель модели всегда стоит перед дилеммой - использовать простейшую модель или более сложную по числу учитываемых факторов. Для простейшей модели
можно получить аналитическое решение, изучить влияние одного или нескольких
параметров, выявить некоторые качественные характеристики поведения ОИ. Для
9
более сложной модели часто аналитическое исследование невозможно, ее необходимо анализировать численно; кроме того, в описание более сложной модели входит
достаточно большое количество параметров, требующих определения на основе наблюдений или экспериментов. При этом во внимание принимаются различные соображения; главное же правило математического моделирования - это адекватность
модели изучаемому процессу.
Основными источниками информации, на основании которых формулируются содержательные гипотезы о влиянии того или иного фактора на поведение ОИ и предлагается некоторое упрощенное его описание, являются наблюдение и эксперимент,
статистический анализ влияния факторов. Если при наблюдении просто фиксируются некоторые характеристики поведения ОИ, то в эксперименте можно активно
воздействовать на ОИ при помощи некоторых полей (вход) и регистрировать его
отклик на это воздействие (выход).
Так, первые модели Солнечной системы опирались на результаты многогодовых
астрономических наблюдений. В современной практике познания эксперименту принадлежит решающее значение на пути оценки адекватности различных математических моделей, отличающихся степенью детализации. Установление связи между
входом и выходом ОИ и прогнозирование поведения ОИ при изменении внешних
факторов составляет главную задачу математического моделирования.
Технические, экологические, экономические и другие системы, изучаемые различными отраслями знаний, не поддаются с необходимой полнотой и точностью исследованиям обычными теоретическими методами.
Прямой натурный эксперимент либо долог, либо дорог, либо вообще невозможен. Цена ошибок в управлении такими системами очень высока. Поэтому математическое моделирование является важнейшей составляющей современного научнотехнического прогресса.
Математической моделью ОИ называется абстрактное средство его приближенного отображения при помощи математического описания существенных факторов
ОИ с сохранением взаимосвязей между ними.
Наиболее часто модели естествознания описываются при помощи функциональных или дифференциальных уравнений (часто дифференциальных уравнений в частных производных или интегро-дифференциальных).
Постановка вопроса о математическом моделировании порождает следующую последовательность действий, условно состоящую из трех этапов: модель - алгоритм программа.
Для построения математической модели ОИ на основании установления связи
между входом и выходом необходимо выбрать вид этой связи или определить структуру оператора, осуществляющего отображение входа u(t) на выход f(t). Фактически
исследователь всегда при составлении модели решает проблему "черного ящика", на
который можно действовать, регистрируя отклик на различного типа воздействия.
При этом отметим, что одному ОИ может быть поставлено в соответствие несколько
математических моделей, отличающихся числом и степенью учета различных факторов и порождающих некоторую иерархию моделей.
Пусть Au = f− математическая модель ОИ, где A : U → F - некото- рый оператор, U , F - функциональные пространства. Задача определения оператора A (идентификация ОИ) может быть разделена на два этапа:
1 этап - структурная идентификация,
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]