Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обратные и некорректные задачи биофизики. Учебное пособие
.pdf
57 axis ([ a,b,1−0.1,1+0.1 ]);
58 xlabel ('x' );
59 ylabel ('\phi' );
60 hold off ;
61 end
Решим с помощью этой функции уравнение вида (4.13) с границами отрезка ин-
тегрирования a = −π и b = π, параметром λ =3/(10π) и ядром
1
K(x, s)=
0.64 cos
а также с правой частью f (x)=25− 16 sin
2
(x).
x+s
2
2
,
− 1
Точное решение этого уравнения φ(x)=17/2 + (128/17) cos(2x). Надо найти при-
ближенное решение этого уравнения методом квадратур, основанным на использовании формулы трапеций с равномерной сеткой с шагом h =0.1, и сравнить с точным.
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
Рис. 4.3. Результаты решения примера. Непрерывной линией обозначено точное решение, кружочками - приближенное решение
4.2.2 Метод вырожденных ядер
В главе 3 мы разбирали метод решения уравнения Фредгольма с вырожденным
ядром. Реализуем описанный в главе 3 алгоритм в виде функции на языке Matlab.
1 close all
2 clear all
41
3 clc
4 syms x y
5 a=0;
6 b=1;
7 alpha = [1 2
8 beta = [1 x] ;
9 lambda = 1;
10 f=(−x/6) − 1/2;
11 phi=degenerate_kernel_Fred_II(a , b , lambda , alpha , beta , f )
12
13 function [ phi ] = degenerate_kernel_Fred_II(a , b , lambda , alpha , beta , f )
14 syms x
15 format long
16 n = length ( alpha);
17 r = zeros(n,1);
18 M = zeros (n);
19 for i=1:n
20 r(i) = int(beta(i)
21 for j=1:n
22 M( i , j ) = −lambda
23 end
24 end
25 for i=1:n
26 M( i , i ) = 1 + M( i , i ) ;
27 end
28 c=M\r ;
29 y_x = 0;
30 for i=1:n
31 y_x = y_x + c ( i )
32 end
33 phi= y_x
34 end
x];
*
*
*
lambda + f ;
*
f, x, a, b);
*
int(beta(i)*alpha( j ) , x , a , b ) ;
alpha( i );
Решим с помощью этой функции уравнение с вырожденным ядром
1
φ(x) −
(1 + 2xs)φ(s)ds = −
0
1
6
x −
1
.
2
Результатом работы является символьное выражение точного решения исходного
уравнения:
1
φ =
+ x.
2
4.2.3 Метод наименьших квадратов
1.Описание метода.
Выражение для невязки уравнения Фредгольма II рода, имеет следующий вид:
b
Rφ(x)=φ(x) − λ
K(x, y)φ(y)dy − f(x),x ∈ [a, b]. (4.17)
a
42
Его приближенное решениеφ(x) будем искать в виде
n
φ(x)=
ciϕi(x),x∈ [a, b]. (4.18)
i=1
где c
−неизвестные константы, подлежащие определению (свободные параметры),
i
ϕ(x)−заданные линейно независимые (координатные) функции. Обозначим буквой
c вектор неизвестных коэффициентов c
, i =1,2, ..., n. Подставим (4.18) в (4.17) и
i
положим
ε(x, c)=Rφ(x).
Тогда для ненулевой невязки имеем
ε(x, c)=
Постоянные c
⎡
n
найдем из условий минимума функционала
i
i=1
⎣
c
i
(x) − λ
ϕ
i
J(c)=
b
K(x, y)ϕi(y)dy
a
b
ε2(x, c)dx, (4.20)
a
⎤
⎦
− f (x),x∈ [a, b]. (4.19)
т.е. из условий
∂J
=0,i =1, 2, ..., n.
∂c
i
Подставим (4.19) в (4.20)
J(c)=
⎡
b
⎣
a
n
i=1
⎡
⎣
ϕ
c
i
(x) − λ
i
b
K(x, y)ϕi(y)dy
a
⎤
⎦
− f (x)
⎤
2
⎦
dx
Вычислим частные производные:
∂J
∂c
⎡
b
=
i
⎣
2
a
n
j=1
⎡
⎣
ϕ
c
j
(x) − λ
j
b
K(x, y)ϕj(y)dy
a
⎤
⎦
− f (x)
⎤
⎡
⎦
⎣
·
ϕi(x) − λ
b
K(x, y)ϕi(y)dy
a
i =1, 2, .., n.
Приравняем их нулю. Получим систему линейных алгебраических уравнений с симметричной матрицей относительно неизвестных
n
aijcj= bi,i=1, 2, .., n,
j=1
где
⎡
b
⎣
=
a
ij
ϕ
(x) − λ
j
a
b
K(x, y)ϕj(y)dy
a
⎤
⎡
⎦
⎣
·
ϕi(x) − λ
b
K(x, y)ϕi(y)dy
a
⎤
⎦
dx, i, j =1, 2, .., n.
⎤
⎦
dx,
43
bi=
b
f(x)
⎡
⎣
ϕi(x) − λ
b
K(x, y)ϕi(y)dy
⎤
⎦
dx, i =1, 2, .., n.
a
a
Решим эту систему и запишем приближенное решение исходного интегрального уравнения в виде (4.18).
Напишем на языке Matlab функцию, реализующую этот метод.
1 clear all
2 close all
3 clc
4 syms x s ;
5 a=−1;
6 b=1;
7 K=@ ( x , s ) x
8 f=@(x ) x ;
9 y_exact=@(x)3
10 lambda=1;
11 n=5;
12 m=20;
13 [ y, c]=mnkcoef (a ,b,K, lambda , f , n ,m );
14 c ' ;
15 x = linspace (a,b,m);
16 figure (1)
17 plot (x,y,' ro' ,x, y_exact(x) ,'b' )
18 xlabel ('x' );
19 ylabel ('\phi' );
20
21 function [ y , c] =mnkcoef (a ,b,K,L, f , n ,m)
22 B=zeros (n,1);
23 A=zeros(n);
24 syms x s
25 format long
26 for i=1:n
27 for j=1:n
28 A( i , j )= in t (( f i i ( x , j )−L.
29 L.
30 end
31 B( i )=int ( f (x) .
32 L.
33 end
34 c=A\B ;
35 x1 = linspace(a,b,m);
36 y=0;
37 for i=1:ny=y+c(i)
38 end
39 end
40
41 function P= fii( x,n )
42 P= x.^(n−1);
43 end
int ( K(x,s) .*fii(s,i),s,a,b)), x, a, b);
*
int ( K(x,s) .*fii(s,i),s,a,b)), x, a, b);
*
s;
*
x;
*
int(K(x, s) .*fii(s,j),s,a,b)).*(fii(x,i)− ...
*
(fii(x,i)− ...
*
fii(x1,i );
*
44
Решим с помощью этой функции уравнение вида
1
φ(x)=x +
xsφ(s)ds, x ∈ [−1, 1].
−1
Точное решение этого уравнения φ(x)=3x. Приближенное решение будем искать в
виде
φ(x)=c
+ c2x,
1
т.е. положим ϕ
3
2
1
0
-1
-2
-3
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
(x)=1,ϕ2(x)=x
1
x
Рис. 4.4. Результаты решения примера. Непрерывной линией обозначено точное решение, кружочками - приближенное решение
45
4.2.4 Метод Галеркина - Петрова
1.Описание метода.
Пусть решение уравнения уравнения Фредгольма II рода, разыскивается в линейном пространстве со скалярным произведением. Выберем в нем две системы линейнонезависимых функций: ϕ
запишем в виде
−подлежащие определению коэффициенты. Ясно, что если невязка (4.17, для
где c
j
функцииφ(x) равна нулю (т. е.φ(x)−точное решение), то она ортогональна каждой
из функций ψ
(x)), i =1, 2, ..., n. Используем эти же условия ортогональности для
i
обеспечения малости невязки уравнения с приближенным решениемφ(x):
(x) и ψi(x), i =1, 2, ..., n. Приближенное решение уравнения
i
n
φ(x)=f(x)+
cjϕj(x), (4.21)
j=1
(Rφ, ψ
)=0,i=1, 2, .., n. (4.22)
i
Пусть скалярное произведение определено формулой
b
(f,g)=
f(x)g(x)dx.
a
Тогда равенства (4.22) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов c
n
:
j
aijcj= bi,i=1, 2, .., n, (4.23)
j=1
где
b
a
=
ij
ϕj(x)ψi(x)dx − λ
a
b
b
= λ
i
a
ψi(x)
b
ψi(x)
a
b
b
K(x, y)ϕj(y)dydx,
a
K(x, y)f (y)dydx.
a
Решив систему (4.23, найдем коэффициенты в представлении приближенного решения (4.21).
Напишем на языке Matlab функцию, реализующую метод Галеркина - Петрова.
1 close all
2 clear all
3 clc
4 syms x s ;
5 K= @( x , s ) x .
6 a=−1;
7 b=1;
8 lambda = 1;
s+x. ^2;
*
46
9 f=@(x)0
10 n=2;
11 y=kem_Fred (K, f , a , b , lambda , n );
12 x=linspace(a,b);
13 y_exact=@( x) x. ^2
14 figure (1)
15 plot (x , y_exact (x) ,' o' )
16 hold on
17 plot (x,y,' r' )
18 xlabel ('x' )
19 ylabel ('\phi' )
20
21 function [f] = fi(x,m)
22 f=x.^m;
23 end
24
25 function [f] = psi(x,m)
26 f=x. ^(m−1);
27 end
28
29 function [ y]= kem_Fred(K, f , a , b, lambda , n)
30 syms x ;
31 syms s ;
32 format long
33 B=zeros (n,1);
34 A=zeros(n);
35 for j=1:n
36 B( j )=lambda
37 K( x , s ) , s , a , b) , x , a , b ) ;
38 for i=1:n
39 A(i , j )= quadl (@(x) fi (x , i ) .
40 lambda
41 psi (x, j) ,s ,a,b),x,a,b);
42 end
43 end
44 c=A\B ;
45 x1 = linspace(a,b);
46 y= f(x1);
47 for i=1:n
48 y=y+c(i)
49 end
50 end
x+1;
*
6+1;
*
int(int(psi(x,j).*f(s).*...
*
psi(x, j ),a ,b)− ...
int(int( K(x,s).*fi(s,i).*...
*
fi(x1, i);
*
*
Решим с помощью этой программы уравнение вида
1
φ(x)=x +
(xs + s2)φ(s)ds, x ∈ [−1, 1].
−1
2
Точное решение этого уравнения φ(x)=1+6x
. Приближенное решение будем искать
в виде
где ϕ
(x)=x,ϕ2(x)=x
1
φ(x)=1+c
2
(x)+c2ϕ2(x),
1ϕ1
47
7
6
5
4
3
2
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
Рис. 4.5. Результаты решения примера методом Галеркина - Петрова. Непрерывной
линией обозначено точное решение, кружочками - приближенное решение
48
Глава 5
Корректность по Адамару
В предыдущих разделах был сформулирован ряд обратных задач (ОЗ), возникающих в математической физике при моделировании различных явлений и процессов.
Этим задачам, как правило, присуще такое свойство, как некорректность. Определения корректности и некорректности Ж. Адамар в 1902 г. ввел понятия корректности
и некорректности. Рассмотрим эти определения на примере операторного уравнения:
Aφ = f, φ ∈ Y, f ∈ F, (5.1)
где φ−искомое решение, f−заданная правая часть, Y и F −некоторые гильбертовы
пространства (например W
нелинейный, алгебраический, дифференциальный, интегральный и т.д.).
Определение. Задача решения уравнения (5.1) называется корректной или корректно поставленной (well-posed, correct) по Адамару, если выполнены следующие
три пункта:
1) решение существует,
2) решение единственно,
3) решение устойчиво.
Если хотя бы одно из этих условий (пунктов) не выполняется, то задача называется некорректной или некорректно поставленной (ill- posed, incorrect). Более строго
определение корректности по Адамару формулируется следующим образом.
Определение. Задача решения уравнения (5.1) называется корректной по Адамару, если:
1) для любого f ∈ F существует элемент φ ∈ Y такой, что Aφ = f , т.е. область
значений оператора равна R(A)=F (существование решения),
2) элементом f решение φ определяется однозначно, т.е. существует обратный
оператор A
3) имеет место непрерывная зависимость φ от f, т.е. обратный оператор A
непрерывен (устойчивость решения).
Определение корректности по Адамару называется также классическим определением корректности.
Существует еще определение корректности по Фикера, развивающее определение
корректности по Адамару и делающее акцент на свойствах оператора A.
Определение. Задача решения уравнения (5.1) называется корректной по Фикера, если оператор A нормально разрешим (имеет замкнутую область значений).
−1
(единственность решения),
1
и L2), A−заданный непрерывный оператор (линейный,
2
−1
49
Адамар высказал утверждение, что некорректные задачи не имеют физического смысла, другими словами, если уравнение, описывающее некоторую прикладную
задачу, является некорректным, то или эта задача является искусственной (нереальной), или она описана математически неадекватно, в частности, не учтены ограничения на решение, при наличии которых задача станет корректной. Адамар привел
при меры некорректных задач, в частности, задачу Коши для уравнения Лапласа. Однако данная задача имеет широкое применение в астрономии, в геофизике, в
космонавтике и т.д., т.е. имеет реальный физический смысл. Более того, многие прикладные задачи (обработки сигналов и изображений, томографии, спектроскопии,
теории управления и т.д.) являются некорректными, как это выяснилось в последние десятилетия. Поэтому следует заключить, что утверждение Адамара явилось
необоснованным и привело к замедлению развития многих разделов как чистой, так
и прикладной математики.
5.1 Примеры некорректных задач
.
Приведем примеры уравнений или их систем, задача решения которых некорректна.
Пример 1. Переопределенная система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):
⎧
2y
⎨
⎩
− 3y2= −4
1
+2y2=3
−y
1
+4y2=15
y
1
(5.2)
Данная СЛАУ действительно является переопределенной и не имеет решения, поскольку ранг расширенной матрицы p = rang(A|f)=3, а ранг матрицы равен
r = rang(A)=2,т.е.p>r. Кроме того, число независимых строк в равно 3 и больше
n, равного 2. В том, что данная СЛАУ не имеет решения y
, y2, можно убедиться
1
непосредственно.
Действительно, если рассматривать лишь первые два уравнения, то получим решение: y
чим: y
=3.09, т.е. (единое) решение не существует - нарушен первый пункт корректности
y
2
=1, y2=2; если рассматривать второе и третье уравнения, то полу-
1
= y2=3; если же рассматривать первое и третье уравнения, то y1=2.635,
1
по Адамару.
Пример 2. Недоопределенная СЛАУ:
− 3y2= −4
2y
1
(5.3)
Для данной СЛАУ p = r =1<n=2, поэтому она является недоопределенной и
имеет множество решений.
Действительно, данная СЛАУ имеет не одно решение, например,
=1,y2=2;
1) y
1
=2,y2=8/3;
2) y
1
=0,y2=4/3 ит.д.
3) y
1
Таким образом, решение СЛАУ неединственно - нарушен 2-й пункт корректности
по Адамару.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]