Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обратные и некорректные задачи биофизики. Учебное пособие
.pdf
Пример 3. Определенная СЛАУ:
− 3y2=3
2y
−1.33y
1
+2y2= −1.99
1
(5.4)
Для данной СЛАУ p = r = n =2, кроме того, m = m =2(и r = m =2),
поэтому она действительно является определенн0ой. Решение СЛАУ (5.4) существует
и единственно: y
решать СЛАУ
=3, y2=1. Однако если правые части немного изменить, а именно,
1
2y
− 3y2=3.01
−1.33y
1
+2y2= −2
1
(5.5)
т.е. внести относительные погрешности δf/f < 0.5%, то получим новое, заметно
отличное, решение:
=2(относительная погрешность δy1/y1≈33%, y2=0.33
2
(относительная погрешность = 67%), т.е. относительная погрешность решения на
два порядка превосходит относительную погрешность правой части. Это можно оценить и через число обусловленности condA. Для этого запишем характеристическое
уравнение:
2 − λ −3
−1.33 2 − λ
откуда λ
(A)=3.9975, λ2(A)=0.0025016, т.е. собственные значения матрицы A ве-
1
щественны и положительны. Значит, матрица СЛАУ (5.4) является положительно
определенной, но несимметричной. Поэтому число обусловленности следует вычис-
∗
лять с помощью матрицы A
ричной. Имеем,
Ее собственные значения равны λ
A, являющейся положительно определенной и симмет-
A
∗
A =
5.7689 −8.66
−8.66 13
(A∗A)=18.769, λ2(A∗A) =0.53996 · 10−5. Сингу-
1
лярные числа матрицы A равны
λ
(A)=
μ
1
(A∗A)=4.3323,
1
μ
(A)=
2
λ2(A∗A)=0.0023237.
Число обусловленности матрицы A равно
condA =
μ(A)
max
=1.8644 · 10
min
3
μ(A)
Видим, что решение СЛАУ (5.4) в умеренной степени неустойчиво.
На практике же СЛАУ имеют гораздо большее число обусловленности, т.е. гораздо более неустойчивы. Для таких СЛАУ целесообразно использовать термин "плохо
обусловленные СЛАУ". Если же condA = ∞ (в этом случае определитель равен
нулю), то такая СЛАУ является вырожденной и погрешность решения будет сколь
угодно большой.
Пример Адамара. Задача Коши для уравнения Лапласа. Приведем уравнение
Лапласа (дифференциальное уравнение в частных производных эллиптического типа) для двухмерного случая:
u ≡
∂
∂x
2
2
∂
u
2
+
∂y
u
2
=0,
51
с граничными условиями типа (задача Коши)
∂u
u(x, 0) = f (x),
∂y
y=0
= ψ(x).
f(x) и ψ(x)−заданные функции. Отметим, что при минимальных требованиях, на-
лагаемых на класс функций, в котором ищется решение u(x, y), оно существует и
является единственным, т.е. выполняются 1- й и 2-й пункты корректности по Адамару. Однако решение является неустойчивым. Покажем это.
Если положить f (x)=f
(x)=0, ψ(x)=ψ1(x)=a sin nx, то решением задачи
1
Коши будет функция
a
u(x, y)=u
(x, y)=
1
sin nx · sh ny,
n
где sh y−гиперболический синус.
А если положить f(x)=f
(x)=ψ(x)=ψ2(x)=0, то решением задачи Коши
2
будет функция
u(x, y)=u
(x, y)=0.
2
Для любых функциональных пространств и любых ε>0, c>0, y>0 можно
подобрать такие a и n, чтобы имели место равенство
f
− f2 =0
1
и неравенства
ψ
− ψ2 = a sin nx <ε, u1− u2 = a/n sin nx · sh ny >c
1
т.е. малым изменениям граничных условий f(x) и ψ(x) будут соответствовать сколь
угодно большие изменения решения u(x, y). Таким образом, решение задачи Коши
для уравнения Лапласа является неустойчивым (нарушается 3-й пункт корректности
по Адамару), а значит, эта задача является некорректной.
Проиллюстрируем эти теоретические выкладки демонстрацией в пакете MATLAB.
Результаты вычислений представлены на рис. 5.1 , где показаны характерные для
неустойчивых задач колебания приближенного решения.
1 clear all
2 close all
3 disp('');
4 disp(' u"_xx+u"_yy=0, u (0 ,y)=0 , du/dx(0 , y)=sin (n
5 disp('');
6 FntNm=' Arial Cyr' ;
7 n=60;
8 y=[0:0.05 : 1 ] ;
9 x=[0:0.005 : pi ];
10 [X,Y]=meshgrid(x,y);
11 u= s i n ( n
12 figure (1);
13 mesh (Y,X, u ) ;
14 xlabel ('x' );
15 ylabel ('y' );
X) .*sinh(n*Y)/n ;
*
x))/n (0<y<1, 0<x<pi )' );
*
52
16 zlabel ('u = sin (nx)\cdot sh(ny)/n')
17 set ( gcf ,' Position' ,[232 105 560 573]);
18 hhhh=t i t l e ('Неустойчивость решениявпримереАдамара ' );
19 s e t (hhhh ,'FontName' ,FntNm) ;
20 colormap gray ;
21 map=colormap;
22 map1=1−map ;
23 colormap(map1)
24
10
1
0.5
0
-0.5
u = sin(nx) sh(ny)/n
-1
4
3
2
1
y
0
0
0.2
0.4
x
0.6
0.8
1
Рис. 5.1. Демонстрация поведения аналитического решения задачи из примера Адамара
53
Глава 6
Методы наименьших квадратов
Гаусса и псевдообратной матрицы
Мура-Пенроуза
Изложим на примере решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
и интегрального уравнения метод наименьших квадратов (МНК) Гаусса, а также метод псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза.
Переопределенная СЛАУ. Рассмотрим систему m линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ) относительно n неизвестных, причем m>nи rang(A|f) >
rang(A) или, что равнозначно, число линейно независимых строк больше n,т.е.рас-
смотрим переопределенную СЛАУ (например, 5.2):
Aφ = f, (6.1)
где A−матрица m × n, φ−искомый вектор-столбец n × 1, f −заданная правая частьвектор-столбец m × 1. Такая СЛАУ не имеет решения, т.е. не существует такого
для которого невязка равна нулю:
φ − f =0. (6.2)
A
Псевдорешение и нормальная СЛАУ. В методе наименьших квадратов (МНК)
Гаусса вместо (6.2) вводится условие
Aφ − f =min
Определение. Псевдорешением СЛАУ (6.1) называется решение φ , удовлетворяю-
щее условию (6.3), т.е. минимизирующее невязку Aφ − f. Таким образом, в МНК
условие равенства нулю невязки заменяется на условие ее минимума, а вместо точного решения
в пространстве R
Замечание. Если Aφ−f = 0, то псевдорешение φ совпадает с точным решением
φ, т.е. псевдорешение обобщает понятие точного решения.
Запишем условие (6.3) в виде:
φ рассматривается псевдорешение φ. Обычно норма Aφ − f берется
n
, поэтому метод называется методом наименьших квадратов.
2
Aφ − f
=minφ. (6.4)
. (6.3)
φ
φ,
54
Выведем новую СЛАУ из условия (6.4). Минимизация (6.4) означает равенство нулю
производной по φ (называемой производной Фреше):
∗
2A
(Aφ − f )=0⇒ A∗Aφ − A∗f =0.
В результате
∗
Aφ = A∗f. (6.5)
A
Итак, вместо переопределенной СЛАУ (6.1) получена новая СЛАУ (6.5), называемая
нормальной СЛАУ. Запишем (6.5) в виде:
Bφ = u, (6.6)
Bφ = u,
где
∗
B = A
A, u = A∗φ
или в случае вещественности
T
B = A
A, u = ATφ
Используя правило умножения двух матриц и правило умножения матрицы на вектор, запишем подробно выражения для элементов новой матрицы B и новой правой
части и нормальной СЛАУ (6.6) в случае вещественности A:
B
=
ij
φi=
m
k=1
m
k=1
A
A
T
Akj=
ik
T
fk=
ik
k=1
m
k=1
m
Akifk.
AkiA
kj
Решение СЛАУ (6.5) или (6.6) формально имеет вид:
φ =(A
∗A)−1A∗
f
а практически может быть найдено методами Крамера, Гаусса и др. МНК применительно к интегральному уравнению. Если применить МНК Гаусса к интегральному
уравнению Фредгольма I рода
b
K(x, y)φ(y)dy = f(x),x ∈ [c, d],
a
то получим новое интегральное уравнение:
b
B(t, y)φ(y)dy = u(t),a≤ t ≤ b, (6.7)
a
где
B(t, y)=B(y, t)=
d
K(x, t)K(x, y)dx, u(t)=
c
d
K(x, t)f(x)dx.
c
55
C Сформулируем основные особенности МНК Гаусса.
1) Матрица B новой (нормальной) СЛАУ (6.6) является квадратной n × n,т.е.
решается новая система n уравнений относительно n неизвестных и в случае det(B) =
0 решение СЛАУ (6.6) существует и является единственным.
2) Матрица B новой СЛАУ (6.6), а также ядро B(t, y) нового интегрального
уравнения (6.7) являются симметричными положительно определенными. Поэтому
решать СЛАУ (6.6) целесообразно посредством специальных методов (Холецкого,
Краута и др.), а не общих методов (Крамера, Гаусса и т.п.). Это же относится и к
решению СЛАУ, получающейся при решении нового интегрального уравнения (6.7)
методом квадратур.
3) Если решения изначальных СЛАУ (6.1) и интегрального уравнения неустойчивы, то решения новых СЛАУ (6.6) и интегрального уравнения (4.90) также неустойчивы, т.е. МНК проблему неустойчивости не решает.
Теперь изложим метод псевдообратной матрицы (МПОМ) Мура - Пенроуза, причем, как и вышеприведенный метод МНК Гаусса, сначала рассмотрим МПОМ на
примере решения СЛАУ.
Недоопределенная СЛАУ. Рассмотрим СЛАУ
Aφ = f, (6.8)
где -m × n−матрица, φ−искомый n-вектор, f − заданная правая часть - m-вектор,
причем m<nили p<n, где p = rang(A|f )−ранг расширенной матрицы. Такая СЛАУ
является недоопределенной. Недоопределенная СЛАУ имеет множество решений
phi,
т.е. нарушается 2-й пункт корректности по Адамару. Например, СЛАУ
2y
− 3y2= −4
1
имеет следующие решения:
1)
φ1=[1, 2]T,
φ2=[2, 8/3]T,
2)
φ3=[0, 4/3]Tит.д.
3)
Для каждого из них выполняется равенство A
φ − f =0.
Нормальное решение и псевдообратная матрица. Выбор единственного решения из множества решений недоопределенной матрицы может быть осуществлен
методом псевдообратной матрицы (МПОМ) Мура-Пенроуза.
Определение. Нормальное решение - это решение с минимальной нормой среди
множества решений, т.е. удовлетворяющее условию
φ =min
, (6.9)
φ
или
2
=minφ, (6.10)
φ
Нормальное решение - это наиболее гладкое из решений. Согласно МПОМ, среди
множества решений недоопределенной СЛАУ выбирается нормальное решение. Доказано, что нормальное решение существует и является единственным и находится
по формуле:
+
φ = A
f, (6.11)
56
где A+псевдообратная n × m−матрица Мура-Пенроуза.
Матрица A
+
определяется соотношением:
A
+
= lim
(αE + A∗A)−1A
α−→ 0
∗
(6.12)
асимптотическая формула. Существует одна и только одна псевдообратная матрица,
определяемая соотношением (6.12). Однако соотношение (6.12) неудобно для прак-
+
тического нахождения A
. Практически A+может быть найдена по формуле:
+
= C∗(CC∗)−1(B∗B)−1B∗,
A
где A = BC−скелетное (неоднозначное) разложение матрицы A, причем B−некоторая
невырожденная m×r-матрица, C - r×n−матрица, равная C = B
где r
ется одна и та же псевдообратная матрица A
, rb, rc−ранги матриц A, B, C. При различных скелетных разложениях получа-
a
+
.
В случае квадратной невырожденной матрицы A имеем: A
+
переопределенной системы A
=(A∗A)−1A∗, т.е. запись (6.11) является общей для
−1
A, r = ra= rb= rc,
+
= A−1, а в случае
переопределенной, определенной и недоопределенной СЛАУ. Кроме того, решение
(6.11), которое уместно записать в виде φ
+
= A+f(где φ+−нормальное решение), дает
нулевую невязку, т.е. оно является псевдорешением. При этом среди всех псевдореше-
+
ний (которых в случае недоопределенной СЛАУ множество) решение φ
имеет, как
нормальное решение, наименьшую норму. Другими словами, нормальное решение
является одновременно и псевдорешением. Поэтому нормальное решение называют
также нормальным псевдорешением (решением, наиболее гладким среди возможного множества псевдорешений). Нормальное псевдорешение существует и является
единственным.
Рассмотрим метод псевдообратной матрицы применительно к другим уравнениям. Если под записью (6.8) подразумевать не только СЛАУ, но и другие уравнения,
а именно, интегральное уравнение Фредгольма I рода, и др., то изложенный метод псевдообратной матрицы также может быть применен. В этом случае в качестве
решения интегрального, дифференциального, операторного и др. уравнения выбирается нормальное решение φ, удовлетворяющее условию (6.9) и находимое по формуле
(6.11), где A
+
− псевдообратный оператор, определяемый посредством (6.12)
6.1 Плохо обусловленные задачи
Прежде чем излагать устойчивые (регулярные) методы решения некорректных
задач, остановимся на некоторых классических методах, причем для большей убедительности сделаем это применительно к решению:
1. систем линейных алгебраических уравнений с матрицей близкой к вырожден-
ной;
2. интегрального уравнения Фредгольма I рода как наиболее неустойчивому урав-
нению.
57
6.2 Решение СЛАУ с матрицей, близкой к вырож-
денной
Существует класс обратных задач типа
Aφ = f,
которые формально являются корректно поставленными, однако, при их численном
решении проявляется неустойчивость решения. Особенно наглядно свойства задач
такого рода можно проиллюстрировать на примерах решения СЛАУ с матрицей
близко к вырожденной. Рассмотрим решение СЛАУ с матрицами A размерности b×n
с одним и тем же модальным решением z =(1,.., 1)
Гильберта и матрица Теплица порядка n =25:
A
hilb
1
=
i + j − 1
1
A
=
tepl
i + |i − j|
Для обеих систем правая часть вычисляется по точной матрице и модельному решению. Затем правые части систем возмущаются случайной ошибкой так, чтобы
относительный среднеквадратичный уровень их возмущения был равен δ. Матрицы
задаются с машинной точностью. Полученные системы с возмущенными данными
решаются для различных уровней ошибки δ двумя методами: с помощью обращения матрицы и с помощью применения МНК. Типичные результаты даны на рис.
6.1 для двух значений уровня возмущения правой части δ. Вертикальные линии на
графиках-это следы пилообразного решения системы, которое получается при обращении матрицы. Зависимости точности получаемых приближенных решений от δ
показаны на рис. 6.2. Очевидна гораздо более высокая точность приближенных решений для системы с матрицей Теплица. Система с матрицей Гильберта вообще не
может быть решена указанными методами с приемлимой точностью.
i,j=1,...,n
i,j=1,...,n
T
∈ Rn. Исследуются матрица
58
20
10
-10
-20
=1
=A-1f
0
5 10152025
1.0000000002
1.0000000001
1
0.9999999999
0.9999999998
5 10152025
=1
=A-1f
Рис. 6.1. Решение СЛАУ с матрицами Гильберта и Теплица, где (∗−)−точное
решение, (−)−приближенное решение с помощью обратной матрицы,
(0−)−приближенное решение с помощью МНК данных
59
10
10
10
10
10
10
10
35
30
25
20
15
10
5
10
10
10
10
10
10
10
10
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
10
0
10
-10
10
-8
10
-6
10
-4
10
-2
10
-10
10
-10
10
-8
10
-6
10
-4
10
-2
Рис. 6.2. Зависимость точности решений от δ для матриц Гильберта и Теплица соот-
ветственно; кривая (−)−обращение матрицы, кривая(0−)−-МНК
1 warning(' off' ,' all' );
2 clear all
3 close all
4 warning(' off' ,' all' );
5 FntNm=' Arial Cyr' ;
6 N=25;
7 disp('');
8 disp('Пример плохообусловленнойзадачилинейнойалгебры .' );
9 disp('');
10 disp(' РешениеСЛАУсматрицейГильберта A=[1/(i+j −1)]' );
11 disp('Для сравнениярешаетсяСЛАУсматрицейТёплица A=[1/(1+| i−j|/N)]' );
12 disp('−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−' );
13 A=hilb(N);
14 ca=cond(A);
15 B=toeplitz ([1 . /(1+([0:N− 1]))]);
16 cb=cond (B);
17 disp ([' ЧислообусловленностиматрицыГильберта = ' num2str ( ca )] ); disp ('')
18 disp ([' ЧислообусловленностиматрицыТёплица = ' num2str ( cb ) ] ) ; disp ('');
19 z=ones( size (A,1) , 1 );
20 u=A
21 u1=B
22 rr=randn ( s i z e (u )) ;
z;
*
z;
*
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]