Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обратные и некорректные задачи биофизики. Учебное пособие
.pdf
Следовательно, условие
1
|λ| <
M
выполнено. Построим последовательность приближенных решений
(x)=2x,
φ
0
1
(x)=2x +1·
φ
n
xyφ
1
1
(y)dy, n =1, 2...
n−1
1
φ
1
(x)=2x +1··
φ
2
φ
(x)=2x +2x
n
(x)=2x +1··
1
xy2y + y
1
xy2ydy =2x +2x
1
2
dy =2x +2x
3
1
1
+
3
+
9
27
1
+ ... +
3
,
3
1
+
3
1
n−1
Так как сумма убывающей геометрической прогрессии
1
,
9
1
1
+
3
1
+
9
+ ... =
27
b
1
1 − q
=
1 − 1/3
1/3
=
1
,
2
тогда
1
φ(x)=2x +2x ·
=3x.
2
3.2.2 Построение решения уравнения Вольтерра II рода мето-
дом последовательных приближений
Будем рассматривать интегральное уравнение Вольтерра II рода
x
φ(x) − λ
Методом последовательных приближений функция φ(x) ищется в виде предела
последовательности
(x)=f(x)+λ
φ
n
т. е.
K(x, y)φ(y)dy = f(x),a≤ x. (3.2)
a
(x)=f(x),
φ
0
x
K(x, y)φ
a
φ(x) = lim
n→∞
(y)dy, n =1, 2, ...
n−1
φn(x) (3.3)
Интегральное уравнение Вольтерра (3.2) при требовании непрерывности его ядра
K(x, ) и правой части f(x) имеет единственное решение (3.3) для каждого конечного
21
значения параметра λ. Этим существенно отличается интегральное уравнение Вольтерра II рода от интегрального уравнения Фредгольма II рода, которое, как будет
показано ниже, не для каждого λ может иметь решение, а при некоторых λ,оно
может иметь даже несколько решений.
Обычно полагают φ
(x)=f(x), однако это вовсе не обязательно: удачный выбор
0
ненулевого приближения часто позволяет ускорить сходимость последовательности
(x) к точному решению.
φ
n
Методом последовательных приближений найти решение уравнения Вольтерра II
рода:
φ(x)=1−
x
(x − y)φ(y)dy
0
Решение.Положим
(x)=1,
φ
0
x
φ
φ
(x)=1−
3
(x)=1−
φ
1
(x)=1−
2
x
0
(x − y) · 1dy =1−
0
x
(x − y) ·1 −
0
(x − y) ·1 −
y
2!
2
x
=1−
2
2
y
dy =1−
2!
+
4
y
dy =1−
2
4!
2
x
.
2!
2
x
4
x
+
2!
4!
2
4
x
x
+
2!
4!
−
x
6
.
6!
Для n-ого приближения
(x)=1−
φ
n
2
4
x
x
+
2!
4!
−
x
6
6!
+ ... +(−1)
n
(2n)!
2n
x
=
n
k=0
(−1)
k
(2k)!
2k
x
.
Тогда решение уравнения
φ(x) = lim
n→∞
φn(x)=
∞
k=0
(−1)
k
(2k)!
2k
x
=cosx.
3.3 Интегральные уравнения с вырожденными яд-
рами
3.3.1 Решение уравнений Фредгольма II рода с вырожденным
ядром
Ядро K(x,y) называется вырожденным, если оно имеет вид
n
K(x, y)=
pi(x) · qi(y). (3.4)
i=1
22
Соответствующее интегральное уравнение
b
n
φ(x) − λ
a
pi(x) · qi(y)φ(y)dy = f(x) (3.5)
i=1
решается путем сведения к системе линейных алгебраических уравнений следующим
образом. Перепишем уравнение (3.5) в виде
n
φ(x) − λ
ci(x) · pi(x)=f(x), (3.6)
i=1
где неизвестные c
Умножая тождество (3.6) последовательно на q
определяются через искомое решение φ(x) равенствами
i
b
c
=
i
qi(y)φ(y)dy, i =1, 2, ..n. (3.7)
a
(x) и далее интегрируя обе части на
i
отрезке [a, b], с учетом (3.7) получим для неизвестных чисел c
линейных алгебраических уравнений
⎛
b
n
i=1
⎝
qi(x) · pj(x)dx
a
− λ
c
i
⎞
⎠
b
c
=
j
qi(x)f(x)dx, i =1, 2, ...n. (3.8)
a
Введем обозначения
b
=
α
ij
qi(x)pj(x)dx, γi=
a
b
qi(x)f(x)dx.
a
Тогда система (3.8) запишется в виде
n
c
i
− λ
αijcj= γi,i=1, 2.., n. (3.9)
j=1
следующую систему
i
Если c
ция
, ..., cn−какое-нибудь решение системы (3.9), то в соответствии с (3.6) функ-
1,c2
n
φ(x)=f(x)+λ
ci· pi(x)
i=1
будет решением исходного интегрального уравнения (3.5). Если же система (3.9)
несовместна, то и интегральное уравнение не имеет решения. Этот метод применим,
конечно, и в том частном случае, когда уравнение (3.5) однородное, т.е. f(x)=0.
Найти все решения или установить неразрешимость заданных уравнений Фредгольма II рода с вырожденным ядром:
π
1
φ(x) −
sin x · sin y + yφ(y)dy = sin 2x.
π
−π
23
Решение: Ядро K(x, y)=
1
sin x · sin y + y, λ =1. Полагая
π
(x)=
p
1
q
(y) = sin y, q2(y)=y.
1
π
1
=
α
11
−π
2
xdx =1,α12=
sin
π
π
π
sin xdx =0,α21=
−π
sin x, p
π
(x)=1,
2
−π
π
π
1
x sin xdx =2,α
π
22
=
−π
1
1
=
=
γ
1
sin x · sin 2xdx =0,γ
π
−π
2
x · sin 2xdx = −π.
−π
Система (3.9) принимает вид
⇒
= C
c
1
c
= −π +2C,
2
· 0+c2· 0=0
c
1
c
· (−2) + c2· 1=−π
1
где C− произвольная постоянная. Следовательно, любая функция вида
φ(x) = sin 2x +
C
sin x − π +2C = sin 2x + C
π
1
+2− π
π
есть решение заданного уравнения и других решений это уравнение не имеет.
π
xdx =0,
3.3.2 Решение уравнений Вольтерра II рода с вырожденным
ядром
Пусть исходное интегральное уравнение при λ =1имеет вид
x
φ(x) − λ
Тогда уравнениt Вольтерра II рода с вырожденным ядром:
φ(x) − λ
Запишем его следующим образом:
φ(x)=f(x) − λ
Вводя функции
u
x
=
1
0
K(x, y)φ(y)dy = f(x),a ≤ x.
a
x
n
pi(x) · qi(y)φ(y)dy = f(x) (3.10)
i=1
a
x
n
pi(x) · qi(y)φ(y)dy. (3.11)
i=1
a
x
q1(t)φ(t)dt... un=
0
qn(t)φ(t)dt, (3.12)
24
подставляя их в (3.11), заключаем, что решение интегрального уравнения (3.10) имеет вид
φ(x)=f(x)+
n
pi(x)ui(x). (3.13)
i=1
Далее, дифференцируя соотношения (3.12) и подставляя вместо φ(x) выражение
(3.13), получаем для неизвестных функций u
нений
= q1(x)f(x)+
u
i
(x) систему дифференциальных урав-
i
n
q1(x)pi(x)ui(x),
i=1
...
n
= q1(x)f(x)+
u
n
qn(x)pi(x)ui(x),
i=1
Из (3.12) при x =0находим начальные условия: u
функции u
(x) подставив их в (3.13), получим решение φ(x) интегрального уравнения
i
(0) = ... = un(0). Определив
i
(3.10).
3.4 Понятие итерированного ядра и резольвенты. Ре-
шение интегрального уравнения Фредгольма II
рода с помощью резольвенты
Часто вместо одного уравнения рассматривают семейство уравнений
b
φ(x) − λ
a соответствующих различным значениям числового параметра λ. Предполагается,
что λ фиксировано. Будем решать уравнение (3.14) методом последовательных приближений при условии выполнения неравенства |λ| < 1/M . Взяв в качестве нулевого
приближения φ
x)=f(x), получим
(
(x)=f(x)+λ
φ
1
K(x, y)φ(y)dy = f(x),a≤ x ≤ b, (3.14)
a
b
K(x, y)f (y)dy = f (x)+λ
a
b
K1(x, y)f (y)dy, (3.15)
a
φ
(x)=f(x)+λ
2
b
K(x, y)φ1(y)dy = f(x)+λ
a
= f(x)+λ
K
b
K1(x, y)f (y)dy + λ
a
(x, y)=K(x, y);
1
b
K1(x, y)
a
b
2
K(x, y)
a
25
⎛
⎝
f(y)+λ
⎛
b
⎝
K1(x, t)f(t)dt
a
b
K1(x, t)f(t)dt
a
⎞
⎠
dy
⎞
⎠
dy =
поменяем порядок интегрирования
b
f(x)+λ
K1(x, y)f (y)dy + λ
⎛
b
b
2
⎝
K(x, y)K1(x, t)dy
⎞
⎠
f(t)dt =
a
= f(x)+λ
b
K1(x, y)f (y)dy + λ
a
a
a
b
2
K2(x, t)f(t)dt,
a
где
b
K
(x, y)=
2
K(x, t)K1(t, y)dt
a
Вообще
b
n
j−1
λ
Kj(x, y)f(y)dy, (3.16)
j=1
a
(x)=f(x)+
φ
n
n
j=1
b
j
λ
Kj(x, y)f (y)dy = f (x)+λ
a
где
b
Ядра K
(x, y)=
K
j
(x, y) называются итерированными (повторными) ядрами. Пользуясь поня-
j
K(x, t)K
a
(t, y)dt, j =2, 3,..
j−1
тием итерированных ядер, последовательным приближениям (3.15)−(3.16) можно
придать вид
b
n
j=1
j−1
λ
Kj(x, y)f(y)dy. (3.17)
(x)=f(x)+λ
φ
n
a
При |λ| < 1/M ряд
∞
j−1
λ
R(x, y, λ)=
j=1
Kj(x, y)
сходится равномерно при a ≤ x ≤ b, a ≤ y ≤ b к функции R(x, y, λ), называемой
резольвентой ядра. Следовательно, (3.17) в пределе при n →∞переходит в формулу
b
φ(x)=f(x)+λ
R(x, y, λ)f (y)dy
a
выражающую решение интегрального уравнения через резольвенту.
Пример. С помощью итерированных ядер найти резольвенту интегрального уравнения
φ(x) −
1
ln 2
0
1
1+y
x
φ(y)dy =1+x
2
2
26
Решение. В данном случае
x
K(x, y)=
1+y
2
и для итерированных ядер на основании формулы вида
b
(x, y)=
K
j
K(x, t)K
a
(t, y)dt, j =2, 3,..
j−1
получаем
(x, y)=K(x, y)=
K
1
1
K
(x, y)=
2
K(x, t)K1(t, y)dt =
0
1
(x, y)=
K
3
0
K
(x, y)=
j
K(x, t)K2(t, y)dt =
Поэтому резольвента ядра равна
∞
j=1
j−1
λ
Kj(x, y)=
R(x, y, λ)=
причем этот ряд сходится в области
∞
j=1
|λ| <
ln 2
2
0
ln 2
2
2
ln 2
1
x
1+t
j−1
λ
.
x
1+y
2
x
1+y
j−1
,
2
t
1+y
ln 2
2x1+y
,
2
x
1+y
dt =
2
2
=
ln 2
2x1+y
,
2
1 −
1
ln 2
2
λ
2
·
1+y
,
x
2
3.5 Характеристические числа и собственные функ-
ции. Теоремы Фредгольма
3.5.1 Собственное число (значение) и собственный вектор мат-
рицы
X =
где X−собственный вектор матрицы A:
A =
a
a21a
x
1
x
2
11a12
27
,
,
22
если AX = λX, т.е. если после преобразования вектора X с помощью матрицы A
получаем вектор ,Y = AX параллельный вектору A, λ−называется собственным
числом матрицы A.
AX − λX =0⇒ (A − λE)X =0
Получаем однородную систему уравнений
12
x
1
=0
x
2
(a
− λ) a
11
a
21
(a22− λ)
или
− λ)x1+ a12x2=0,
(a
11
a
+(a22− λ)x2=0. (3.18)
21x1
Для того чтобы однородная система (3.18) имела ненулевое решение необходимо
и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю
det(A − λE)=0.
Это характеристическое уравнение матрицы A. Из этого характеристического уравнения находятся собственные значения λ матрицы A. Каждому собственному значению λ соответствует собственный вектор, координаты которого определяются из
системы (3.18) при соответствующем λ.
3.5.2 Характеристические числа и собственные функции ин-
тегрального уравнения
Значение параметра λ, при которых однородное уравнение Фредгольма
b
φ(x) − λ
имеет ненулевые (нетривиальные) решения φ(x) =0, называются характеристиче-
скими числами этого уравнения или ядра K(x, ), а каждое ненулевое решение - собственной функцией, соответствующей характеристическому числу λ. Заметим, что
число λ =0не является характеристическим, т.к. при λ =0уравнение (3.19) имеет лишь нулевое решение. Если λ− характеристическое число, то число μ =1/λ
называется собственным числом интегрального уравнения. При этом μ =0.
Из результатов п.7 "Интегральные уравнения с вырожденными ядрами"следует,
что в случае уравнения с вырожденным ядром
b
φ(x) − λ
a
K(x, y)φ(y)dy =0 (3.19)
a
n
pi(x)qi(y)φ(y)dy =0 (3.20)
i=1
всякое решение имеет вид
φ(x)=λ
n
ci(x)qi(y), (3.21)
i=1
28
где C =(c1,c2, ..., cn)T−решение однородной системы
n
c
i
− λ
αijcj=0,i =1, 2, ..., n
i=1
или в матричной форме
(E − λA)C =0 (3.22)
с матрицей A = {α
}.Поформуле
ij
α
=
ij
b
qipj(x)dx, i, j =1, 2, .., n.
a
Заметим, что если заменить λ на 1/μ, то система (3.22) принимает вид
(A − μE)C =0,μ =0. (3.23)
Отсюда следует, что собственные числа интегрального уравнения (3.20) совпадают
с собственными числами матрицы A, а собственные функции определяются соотношением (3.21), где C =(c
, ..., cn)T−соответствующие собственные векторы этой
1,c2
матрицы.
Пример. Найти характеристические числа и собственные функции уравнения
1
φ(x) − λ
Решение. Ядро K(,y)=xy − 2x
p
1
(xy − 2x2)φ(y)dy =0.
0
2
−вырожденное. Полагая
(x)=x, p2(x)=−2x2,
(y)=y, q2(y)=1.
q
1
Найдем элементы матрицы A в (3.23)
1
=
α
11
α
21
q1(x)p1(x)dx =
0
1
=
q2(x)p1(x)dx =
0
1
x2dx =
0
1
0
xdx =
1
,α
3
1
,α
2
22
12
1
=
q1(x)p2(x)dx = −2
0
1
=
q2(x)p2(x)dx = −2
0
1
x3dx = −
0
1
x2dx = −
0
1
,
2
2
.
3
Характеристическое уравнение для определения собственных чисел матрицы имеет
вид
det =
1
− μ −
3
1
2
−
2
3
1
2
− μ
= μ
μ +
1
=0
36
1
3
+
3
откуда μ = −1/6−единственное собственное число матрицы . Соответствующие собственные векторы находим из системы уравнений
−
−
1
2
1
2
1
2
1
2
c
1
c
2
=
0
0
29
общее решение которой c1= C, c2= C,гдеC−произвольная постоянная. Следова-
тельно, окончательно получаем, что заданное интегральное уравнение имеет единственное характеристическое число λ =1/μ = −6, а соответствующие собственные
функции имеют вид
φ(x)=−6(c
x − 2c2x2)=C(x − 2x2),
1
где C−произвольная постоянная.
3.5.3 Теоремы Фредгольма
Для уравнения Фредгольма II рода вида
b
φ(x) − λ
где a и b−конечные числа, а ядро K(x, y) и свободный член f(x) интегрируемы с
квадратом в области a ≤<x, y ≤ b и на отрезке [a, b] (в частности, непрерывны),
справедливы следующие теоремы Фредгольма (при формулировке которых мы ограничимся случаем действительного ядра K(x, y).
1. Однородное уравнение
φ(x) − λ
K(x, y)φ(y)dy = f(x), (3.24)
a
b
K(x, y)φ(y)dy =0 (3.25)
a
имеет либо конечное, либо счетное множество характеристических чисел; если этих
чисел счетное множество, то они стремятся к бесконечности.
2. Если λ−характеристическое число, то уравнение (3.25) и сопряженное ему од-
нородное уравнение
b
K∗(x, y)φ(y)dy =0, (3.26)
a
где K
φ(x) − λ
∗
(x, y)=K(y, x), имеют одно и то же, и при том конечное, число независимых
решений.
3. Альтернатива Фредгольма: либо неоднородное уравнение (3.24) имеет одно и
только одно решение для любой функции f (x) ∈ L
[a, b], либо соответствующее одно-
2
родное уравнение (3.25) имеет по крайней мере одно нетривиальное решение. (Другими словами, если число λ не является характеристическим, то уравнение (3.24)
имеет, и при том единственное, решение для любой функции f(x) ∈ L
[a, b].
2
4. Если λ−характеристическое число, то для того чтобы уравнение (3.24) имело
решение, необходимо и достаточно, чтобы свободный член f (x) был ортогонален
∗
любому решению φ
(x) однородного сопряженного уравнения (3.26), т.е.
b
f(x)φ∗(y)dy =0.
a
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]