Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обратные и некорректные задачи биофизики. Учебное пособие
.pdf
и сглаживающий функционал (функционал Тихонова) будет иметь вид
α
M
[f,φ]=||Ahφ − fδ||2+ α||φ||2.
Отметим, что в методе регуляризации Тихонова ставятся два условия: условие минимизации невязки типа (6.4), как в МНК Гаусса, и условие минимизации нормы
решения типа (6.10), как в МПОМ Мура-Пенроуза. Это - задача условной минимизации и она решается обычно методом неопределенных множителей Лагранжа, а
именно, вводится условие минимизации сглаживающего функционала
α
[f,φ]=||Ahφ − fδ||
M
2
+ α||φ||
L
2
2
−→ min . (8.5)
1
W
2
В случае, если информация о гладкости точного решения отсутствует, тогда условие
минимизации сглаживающего функционала принимает вид
α
M
[f,φ]=||Ahφ − fδ||
2
+ α||φ||
L
2
2
→ min (8.6)
L
2
и уравнение Тихонова будет иметь вид:
∗
Ah+ αE)φα= A
(A
h
∗
f, (8.7)
h
где E−единичный оператор.
8.1 Краткий анализ метода
.
Проанализируем условие (8.6) и уравнение (8.7).
1. Если α =0, то метод регуляризации Тихонова переходит в МНК Гаусса с
минимальной невязкой Aφ − f
же α решение φ
||2, но увеличивается невязка. Истина - посередине, т.е. при некотором умеренном
||φ
α
α решение φ
α
становится глаже и устойчивей, т.е. уменьшается норма решения
α
будет иметь и умеренную гладкость, и умеренную невязку.
2. Если δ, h → 0,тоα → 0 и
2
и крайне неустойчивым решением. С увеличением
φ
= lim
α
(αE + A∗A)−1A∗Af ≡ A+f
α→0
т.е. решение уа переходит в нормальное псевдорешение. Таким образом, метод регуляризации Тихонова является обобщением метода наименьших квадратов Гаусса и
метода псевдообратного оператора Мура-Пенроуза.
Метод регуляризации Тихонова устойчив, т.е. выполняется 3-й пункт корректно-
сти по Адамару, и эту устойчивость можно объяснить математически следующим
∗
образом. Оператор
поэтому все его собственные значения вещественны и неотрицательны: λ
∗
причем λ(A
A)
на α, поэтому λ(αE + A
обратимым, норма обратного оператора αE + A
A в (8.7) является симметричным положительно определенным,
(A∗A) ≥ 0,
i
=0. Наличие же слагаемого αE в (8.7) увеличивает все λi(A∗A)
min
∗
A)
= α. Вследствие этого оператор αE + A∗A становится
min
∗
A =1/α = ∞ и задача становится
устойчивой.
71
Решение уравнения (8.7) равно
φ
=(αE + A∗A)−1A∗f.
α
Важным является вопрос о выборе значения параметра регуляризации α.
Разработан ряд способов выбора а в методе регуляризации Тихонова. Приведем
два из них.
1-й способ - способ невязки Согласно нему, α выбирается из условия (при h=0):
Aφ
− f = δ
α
Если f≥δ, то решение уравнения (4.110) относительно α существует и является
единственным. При h =0способ невязки переходит в обобщенный принцип невязки.
При этом принято делить все способы выбора α, использующие погрешности δ и
h, на два типа - априорный и апостериорный. Способ невязки и обобщенный принцип
невязки относятся к последнему типу.
2- й способ - способ подбора. Согласно нему, находятся решения φ
для ряда зна-
α
чений α в "разумном"диапазоне и окончательный выбор а делается на основе не математических, а в основном физиологических критериев восприятия. Способ весьма
напоминает выбор контраста телеизображения. Действительно, при уменьшении α
повышается неустойчивость решения φ
ражением подразумевать функцию φ
гладкость решения φ
или уменьшается контраст изображения. Несмотря на про-
α
или контраст изображения, если под изоб-
α
, и наоборот, при увеличении α повышается
α
стоту способа, он весьма эффективен при решении таких задач, как реконструкция
смазанных и дефокусированных изображений, получение рентгеновских томограмм
и др.
Разработаны также следующие способы выбора параметра регуляризации α:способ квазиоптимального (квазинаилучшего), способ отношения, способ независимых
реализаций, способ перекрестной значимости, способ моделирования и др.
Ниже будет рассмотрено применение метода регуляризации Тихонова к устойчивому решению различных уравнений (интегральных уравнений, СЛАУ, дифференциальных уравнений и т.д.).
72
Глава 9
Решение вырожденных и плохо
обусловленных СЛАУ
.
Запишем систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в виде:
Aφ = f (9.1)
или
где -m×n-матрица, φ-n-вектор-столбец, f -mвектор-столбец. Эта система может быть
неразрешимой, т.е. не имеющей решения (когда она является переопределенной), однозначно разрешимой (когда она является определенной) и вырожденной (имеющей
бесконечно много решений, когда она является недоопределенной). Напомним некоторые определения.
Рангом r = rang(A) матрицы A называется максимальный порядок отличных от
нуля миноров. Рангом расширенной матрицы называется величина ρ = rang(A|f).
СЛАУ называется переопределенной, если m>n, точнее, число линейно незави-
симых строк в (9.2) больше n или ρ>r.
СЛАУ называется определенной, если m = n = r или ρ<r.
СЛАУ называется недоопределенной, если m<nили r<nили ρ<n. Пе-
реопределенная СЛАУ не имеет решений, определенная СЛАУ имеет единственное
решение, а недоопределенная СЛАУ имеет множество решений.
СЛАУ называется вырожденной, если ее m × n-матрица A имеет хотя бы одно нулевое сингулярное число μ. В этом случае число обусловленности cond(A)=
μ(A)
вается вырожденной, если ее определитель |A| =0.
рицы A достаточно велико, хотя и конечно.
||Aφ − f ||.
/μ(A)
max
Если же m = n, т.е. матрица системы квадратная, то в этом случае СЛАУ назы-
СЛАУ является плохо обусловленной, если число обусловленности cond(A) ее мат-
Псевдорешением СЛАУ (9.1) называют вектор φ, минимизирующий невязку
Система (9.1) может иметь не одно псевдорешение.
min
= ∞.
n
aijφj= fi,i=1, .., m, (9.2)
j=1
73
Нормальным решением СЛАУ (9.1) называется псевдорешение с минимальной
нормой ||y||.
Для любой системы вида (9.1) нормальное решение существует и единственно.
Однако нормальное решение может быть неустойчивым и оно тем неустойчивее, чем
больше число обусловленности
cond(A)=μ(A)
max
/μ(A)
min
.
Метод регуляризации Тихонова решения СЛАУ заключается в получении устойчивого приближения к ее нормальному решению. Вводится условие минимизации
сглаживающего функционала:
Aφ − f
2
+ αφ2→ min, (9.3)
где α>0−параметр регуляризации. Из условия (9.3) получается новая СЛАУ:
∗
A + αE)φα= A∗f, (9.4)
(A
где E−единичная матрица. Систему (9.4) можно записать иначе:
(αE + B)φ
= u, (9.5)
α
где
∗
B = A
A, u = A∗f
- новая матрица B (симметричная и положительно определенная) и новая правая
часть u или в случае вещественности A
B = A
T
A, u = ATf.
Более подробно СЛАУ (9.5) можно записать в виде:
n
αy
+
i
Bijyj= ui,i=1, ..., n, (9.6)
j=1
где в случае вещественности A
m
B
=
ij
u
i
AkoAkj,i,j =1, ..., n,
k=1
m
=
Akifk,i=1, ..., n.
k=1
Регуляризованное решение СЛАУ (9.4) или (9.5) имеет вид:
=(αE + A∗A)−1A∗f
φ
α
=(αE + B)−1u
φ
α
и может быть найдено численными методами путем решения СЛАУ (9.6) с учетом
того, что матрица αE + B является симметричной и положительно определенной методами Краута, Холец- кого, Воеводина и др. При этом параметр регуляризации
может быть выбран одним из ряда способов: способом невязки, обобщенным принципом невязки и др.
74
Глава 10
Вариационный метод регуляризации
Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма I рода с гладким ядром K(x, y)
b
Aφ =
Будем предполагать, что K(x, y) -действительная функция, непрерывная в прямоугольнике G =([c, d]) × [a, b]) и f(x) ∈ L
Используя схему построения регуляризующего алгоритма Тихонова А.Н., перейдем к минимизации стабилизирующего функционала
α
[f(x),φ(y)] =
M
d
c
K(x, y)φ(y)dy = f(x),x ∈ [c, d] (10.1)
a
[c, d].
2
b
K(x, y)φ(y)dy − f(x)
a
2
dx + αΩn(φ(y)) → min (10.2)
где Ω
тихоновский стабилизатор n-го порядка, определенный выражением (8.4).
n
Перепишем задачу (10.2) с учетом выражения (8.4) в развернутом виде:
M
α
[u]=α
n
k=0
a
b
pk(y)
d
k
φ(y)
dy
2
dy +
k
d
b
K(x, y)φ(y)dy − f(x)
c
a
2
dx → min
(10.3)
Составим для задачи (10.3) уравнения Эйлера путем приравнивания к нулю вариации левой части по φ(y):
+
b
n
α
k=0
a
d
b
d
pk(y)
K(x, η)φ(η)dη − f(x)
c
a
k
φ(y)
dy
k
d
k
2
dx
δφ(y)
dy+
k
dy
b
K(x, y)δφ(y)dy =0 (10.4)
a
Интегралы, стоящие под знаком суммы в (10.4), вычисляются последовательным
интегрированием по частям:
a
b
pk(y)
d
k
φ(y)
dy
k
d
k
δφ(y)
k
dy
dy =
k−1
r=0
(−1)rδu
(k−1−r)
(y)
d
dy
r
r
k
φ(y)
(y)
d
k
dy
p
k
y=b
y=a
+
(10.5)
75
+(−1)
k
a
b
δφ(y)
d
dy
k
k
d
p
(y)
k
k
φ(y)
dy
k
dy
Подставляя (10.5) в (10.4) и меняя порядок суммирования в двойном сумме, найдем:
k
a
f(x)dx
b
δφ(y)
k
d
k
dy
b
K(x, y)δφ(y)dy,
a
(pk(y)φk(y))dy+
α
где
n
r=1
δφr(y)
d
+
c
n
(−1)
k=r
b
dx
K(x, η)φ(η)dη
a
k−r
d
dy
k−r
k−r
(pk(y)φk(y))
b
K(x, y)δφ(y)dy =
a
k
(y) ≡
φ
y=b
y=a
d
+ α
k
φ(y)
dy
n
(−1)
k=0
d
c
.
k
Приравнивая в этом выражении коэффициенты при вариации к нулю, найдем искомое интегро-дифференциальное уравнение Эйлера
b
Q(y, η)φ(η)dη =Φ(y), (10.6)
a
α
n
k=0
(−1)
k
d
k
(pk(y)φk(y)) +
k
dy
с ядром и правой частью
Q(y, η)=
d
K(x, y)K(x, η)dx, Φ(y)=
d
K(x, y)f (x)dx
c
c
и краевыми условиями
(φ(a)) = qr(φ(b)) = 0,r =1, .., n, qr(φ)=
q
r
n
k=r
(−1)
k−r
d
k
dy
k−r
(pkφk))
Отметим, что ядро Q(y, η) симметрично и неперывно, а правая часть Φ(y) непрерывна.
Рассмотрим случай n =0, тогда имеем
b
αφ(y)+
Q(x, η)u(η)dη =Φ(y),
a
где
Q(y, η)=
d
K(x, y)K(x, η)dx, Φ(y)=
c
d
K(x, y)f (x)dx.
c
Пример Рассмотрим пример решения уравнения Фредгольма I рода
1
K(x, y)φ(y)dy = f(x)
0
76
в квадрате (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1] с ядром и првой частью вида
x+1
e
K(x, y)=e
xy
,f(x)=
− 1
.
x +1
y
Данная задача имеет аналитическое решение φ(y)=e
. Задачу решим методом регуляризации при n =0, таким образом мы будем решать интегральное уравнение
Фредгольма II рода:
Q(x, η)=
d
K(x, y)K(x, η)dx =
c
x+η
e
x + η
−
1
, Φ(y)=
x + η
1
exy· exηdx =
0
1
e
exy·
0
x+1
x +1
− 1
0
dx.
1
x(y+η)
e
dx =
Для численного решения уравнения введем равномерные сетки по переменным x, η:
1
= h(i − 1),ηj= h(j − 1),h =
x
i
N − 1
,i,j =1.2..., n
Интеграл аппроксимируем по формуле трапеций, тогда получим разностную схему:
N−1
αy
1
hQ
+
i
i,1y1
2
+
j=2
hQ
i,jyj
+
1
2
hQ
i,NyN
=Φi,
где
≈ φ(yi),Q
y
i
= Q(xi,ηj, Φi=Φ(xi),i,j=1, 2, .., n.
i,j
Приведем программу решения поставленной задачи методом регуляризации
1 function fredgolm_1
2 clear all
3 close all
4 warning(' off' ,' all' );
5 clc
6 N=101;
7 h=1. 0 /(N−1);
8 xi=0:h:1;
9 eta=0:h :1;
10 ya=exp ( xi ) ;
11 figure (1)
12 alpha=[1e−21e−33e−45e−51e−5];
13 plot (xi ,ya ,'−− ' , ' Color' ,' black' ,' LineWidth' ,5 .5 );
14 hold on
15 for s=1:length(alpha )
16 for i=1:N
17 A( i ,1)=0 .5
18 A( i ,N)=0 . 5
19 for j=2:(N−1)
20 A( i , j )=h
21 end
Q(xi( i ),eta (1));
*h*
Q(xi(i),eta(N));
*h*
Q( xi( i ) ,eta ( j ));
*
77
22 A(i , i )=A( i , i)+alpha( s );
23 b( i)=f (xi( i ));
24 end
25 y=A\b ' ;
26 for i=1:N
27 z(i)=abs(y(i)−ya ( i ) );
28 end
29 error (s)=max(z);
30 title('Численноерешение уравненияФредгольма Iрода ' )
31 legend('точноерешение ' , ' \alpha=1e−2' , ' \alpha=1e−3' , ' \alpha=3e−4' , ...
32 '\alpha=5e−5' , '\alpha=1e−5' )
33 plot (xi ,y,' LineWidth' ,3 .5/s );
34 ylabel ('\phi_\alpha' )
35 xlabel ('y' )
36 hold on
37 end
38 figure (2)
39 loglog (alpha , error ,'LineWidth' ,3);
40 xlabel ('\alpha' )
41 ylabel (' error=||\phi−\phi_{\ alpha } || ')
42 title('Ошибкачисленного решенияуравненияФредгольма ...
43 I рода приразличныхзначениях \alpha' )
44 end
45 function y= f i ( x , x i )
46 y=e xp ( x
47 end
48
49 function y= f ( x i )
50 y=0.005
51 for i =2:100
52 y=y+0 . 0 1
53 end
54 end
55
56 function y= f i 1 ( x , x i )
57 y=e xp ( x
58 end
59
60 function y=Q(xi , eta)
61 if ( xi==0)&(eta==0)
62 y=1;
63 else
64 y=(exp( xi+eta)−1)/( xi+eta ) ;
65 end
66 end
xi )*((exp(x+1)−1)/(x+1));
*
(fi(0,xi)+fi(1,xi));
*
fi(0.01*(i−1), xi ) ;
*
xi )*((exp(x+1)−1)/(x+1));
*
На рис. 10.1 приведены графики численного решения φαпри различных значениях регуляризирующего значения. Видно, что как слишком большие значения, так и
слишком малые значения приводят к большим отличиям от аналитического решения
x
φ = e
. Аналитическое решение - представлено на рис. 10.1 ,в виде жирной пунктирной линии. На рис. 10.2 представлена зависимость ошибки численного решения от
параметра регуляризации. Из данного рисунка отчетливо видно наличие оптимального значения параметра регуляризации, при котором ошибка достигает минимума.
Рассмотрим зависимость оптимального значения параметра регуляризации от
шага сетки h. Необходимо убедиться, что при уменьшении шага сетки оптимальное
78
3
2.8
=1e-2
=1e-3
2.6
=3e-4
=5e-5
2.4
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
y
Рис. 10.1. Численное решение некорректной задачи методом регуляризации
значение параметра регуляризации также уменьшается.
Приведем соответствующую программу решения поставленной задачи.
1 function fredgolm_2
2 warning(' off' ,' all' );
3 clear all
4 close all
5 clc
6 global Nh
7 N=21;
8 for t=1:6
9 N=N+20; h=1.0 /(N−1);
10 xi=0:h:1;
11 eta=0:h :1;
12 ya=exp ( xi ) ;
13 alph_l=1e−4; alph_r=1e − 3; alph_h=(alph_r− ...
14 alph_l )/20;
15 alpha=alph_l :alph_h :alph_r ;
16 for s=1:length(alpha )
17 for i=1:N
18 A( i ,1)=0 .5
19 A( i ,N)=0 . 5
20 for j=2:(N−1)
21 A( i , j )=h
22 end
23 A(i , i )=A( i , i)+alpha( s );
24 b( i)=f (xi( i ));
25 end
Q(xi( i ),eta (1));
*h*
Q(xi(i),eta(N));
*h*
Q( xi( i ) ,eta ( j ));
*
79
0
10
-1
10
error=|| - ||
-2
10
-3
10
10
-5
10
-4
10
-3
10
-2
Рис. 10.2. Ошибка численного решения некорректной задачи методом регуляризации
26 y=A\b ' ;
27 for i=1:N
28 z(i)=abs(y(i)−ya ( i ) );
29 end
30 error (s)=max(z);
31 end
32 ermin=min( error );
33 for s=1:length(alpha )
34 if ermin==error(s)
36 end
37 end
38 step(t)=h;
39 %legend ([ ' h=' num2str ( step ( t ) ) ])
40 title('Ошибкачисленного решенияуравненияФредгольма ...
41 I рода приразличныхзначениях h' )
42 figure (1)
43 loglog (alpha , error ,'LineWidth' ,0 .75
44 xlabel (' \alpha' )
45 ylabel (' error=||\phi−\phi_{\ alpha } || ')
46 hold on
47 end
48 figure (2)
49 plot (step , alph_opt );
50 ylabel (' \alpha_{opt}' )
51 xlabel ('h' )
52 title('Зависимость \ alpha_{optот }h' )
53
54 function y=Q(xi , eta)
*
t);
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]