Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обратные и некорректные задачи биофизики. Учебное пособие
.pdf
2 этап - параметрическая идентификация.
На первом этапе структурной идентификации определяется (или выбирается)
структура оператора A, которая зависит как от самого ОИ, так и от целей моделирования.
На этапе структурной идентификации используются фундаментальные законы
природы, изучаемые той или иной областью естественных наук, вариационные принципы, статистические закономерности, причем одному и тому же ОИ можно сопоставить целую иерархию математических моделей.
Например, при описании движения твердого тела (стрелы, ракеты) можно использовать следующие уровни моделирования и соответствующие операторы, определяющие структуру модели:
а) материальную точку, абсолютно твердое тело (модели теоретической механики);
б) стержень, балку, пластину (модели сопротивления материалов);
в) трехмерное упругое тело (модели теории упругости);
г) упругое тело с неупругими элементами (модели механики сплошной среды).
При этом наиболее часто в моделировании используются следующие основные
виды операторов:
1. Конечномерный оператор ( A−матрица, Au = f−система линейных алгебраи-
ческих уравнений).
2. Дифференциальный оператор (или матричный дифференциальный оператор).
3. Дифференциальный оператор в частных производных.
4. Более сложные операторы - интегральные, интегро-дифференциальные, интегро-
функциональные.
На втором этапе параметрической идентификации определяются числовые параметры, или функции, входящие в описание оператора A (элементы матриц, коэффициенты дифференциальных операторов и граничные условия).
В качестве примера рассмотрим проблему определения параметров модели или
функций при известной структуре оператора.
Рассмотрим уравнение движения материальной точки под действием силы F (t)
m¨x = F (t)
Обратная задача динамики состоит в определении силы F (t), если известно x(t).
Отметим, что с точки зрения соотношения «причина — следствие» все задачи математического моделирования можно разбить на два больших класса: прямые задачи
и обратные задачи. Остановимся на различиях в этих двух классах задач.
1.2 Прямые задачи
Для этого класса задач известны причины, требуется найти следствия. В качестве причин в математических моделях, описываемых при помощи наиболее общих
дифференциальных операторов в частных производных, могут фигурировать следующие факторы:
1. Начальные условия для модели.
2. Коэффициенты дифференциальных операторов, моделирующих ОИ.
3. Граничные условия для модели.
11
4. Область, занятая ОИ (геометрия области).
В качестве следствий в математической физике обычно используются компоненты
физических полей (перемещения, напряжения, деформации, температура, электрический потенциал).
Прямые задачи составляют суть современной классической математи- ческой физики, которая формировалась на протяжении более 200 последних лет благодаря
усилиям многих поколений математиков.
Для этих задач детально разработаны аналитические и численные методы решения, доказаны теоремы существования и единственности. На сегодняшний день
наиболее популярными численными методами при моделировании в математической
физике являются метод конечных разностей, методы конечных и граничных элементов, которым посвящена обширная научная литература. Эти вычислительные технологии стали в настоящее время мощным инструментом исследования различных
прикладных задач и прогнозирования поведения изучаемых ОИ.
1.3 Обратные задачи и их классификация
Для этого класса задач известны следствия, требуется найти причины и определить факторы 1–4 (либо один из них) по некоторой дополнительной информации об
ОИ. Эти задачи стали предметом исследований в математике относительно недавно,
первые работы в этом направлении относятся к началу XX в., а более интенсивно разработки в этой области математического моделирования начали проводиться
в 70–80х гг. прошлого века. В последние годы интерес к задачам подобного рода
значительно возрос, что продиктовано как потребностями практики, совершенствованием и развитием математического моделирования в новых областях знания, так
и развитием новых разделов математики.
К настоящему времени сложилась следующая условная классификация обратных
задач (ОЗ).
Ретроспективные ОЗ, или задачи с обращенным временем Задачи об определении начального состояния ОИ (начальных условий) по некоторой информации о
решении.
Пример. Задача определения начального распределения температуры в стержне
φ(x), торцы которого теплоизолированы, из следующей начально-краевой задачи:
= auxx,
u
t
u(x, 0) = φ(x),
(0,t)=0,ux(l, t)=0,u(l, t)=g(t).
u
x
Граничные ОЗ.Задачи об определении граничных условий и нагрузок. Пример Упругое тело V с границей S = S
нагрузок, которые недоступны для непосредственного измерения. На S
колеблется под действием некоторых
S
1
2
известны
1
компоненты вектора смещений и компоненты вектора напряжений
= ui0,σijnj|
u
i|S
1
= p
S
i
1
Требуется найти компоненты неизвестных полей смещений и нагрузки на S2(см. рис.
1.1).
12
Рис. 1.1. Упругое тело V с границей S = S
S
1
2
Геометрические ОЗ Задачи об определении области, занятой ОИ. Пример. Требуется восстановить форму трехмерного тела по набору его ортогональных проекций на различные плоскости (задача компьютерной томографии). Задачи практической дефектоскопии об определении размеров и формы дефектов (полостей, трещин,
включений) по полю упругих смещений на поверхности упругого тела представляют
один из важнейших классов обратных геометрических задач.
Коэффициентные ОЗ. Задачи определения коэффициентов дифференциальных операторов по измеренным граничным полям физических полей.
Смешанные типы ОЗ
Неизвестными являются несколько из факторов 1–4, например коэффициенты
дифференциальных операторов и область, занятая ОИ.
Следует отметить, что вышеприведенная классификация ОЗ является весьма
условной и постановки задач легко трансформируются одна в другую. Например,
задача об определении дефекта в упругом теле в общей постановке относится к геометрическим ОЗ; в случае когда геометрия тела такова, что для описания его поведения используется упрощенная стержневая модель, такая задача сводится к коэффициентной ОЗ, а эта, в свою очередь, — в рамках линеаризованной постановки —
в задачу об определении правой части дифференциального оператора.
Отметим, что ОЗ имеют постоянно расширяющиеся области приложения в инженерной практике, среди которых выделим следующие:
1. Определение свойств материалов (механических, теплофизических), идентификация полимерных и композитных материалов, пьезокера- мик, биологических
тканей (твердых — костная ткань — и мягких — мышцы, сухожилия, кожа).
2. Задачи сейсморазведки (определение расположения и мощности за- лежей полезных ископаемых по отраженным от месторождения зву- ковым сигналам), прогнозирование землетрясений.
3. Проблемы неразрушающего контроля (определение расположения и конфигурации дефекта по измеренному полю упругих смещений на поверхности тела или по
резонансным частотам).
4. Моделирование явления акустической эмиссии и определение связи основных
характеристик эмиссии с характеристиками напряженного состояния; прогнозирование поведения тела с дефектами.
5. Задачи рентгеновской и акустической томографии, часто применяемые в технической и медицинской диагностике ОИ.
13
Заметим, что ОЗ обладают рядом неприятных с точки зрения обработки инфор-
мации свойств.
Во-первых, как правило, ОЗ являются нелинейными (линейными являются ре-
троспективные задачи и ряд граничных задач).
Во-вторых, возможна неединственность при решении ОЗ, и, соответственно, возможно восстановление нескольких различных объектов, отвечающих одной и той же
входной информации.
В-третьих, наиболее неприятным свойством ОЗ является их неустойчивость по
отношению к малым изменениям входной информации. Это означает, что погрешность, присущая всем измерениям, может оказывать очень сильное влияние на погрешность восстановления ОИ, причем снижение уровня погрешности за счет совершенствования методики проведения эксперимента и повышения чувствительности
измерительной аппаратуры не обязательно приводит к более точной реконструкции
ОИ.
Задачи, обладающие такими свойствами, принято называть некорректными. Строгое определение некорректной задачи будет приведено ниже, однако исследования
проблем, возникающих при анализе различных ситуаций при изучении ОЗ, которые сводятся к проблеме обращения некоторых линейных и нелинейных операторов,
требует напомнить некоторые сведения из функционального анализа, теории операторов, а также теории интегральных уравнений.
14
Глава 2
Сведения из функционального
анализа и теории операторов
Определение 1 Линейное пространство X над множеством вещественных чисел
R (комплексных чисел C ) называется нормированным пространством, если каждому
x ∈ X поставлено в соответствие неотрицательное число x , называемое нормой
x, так что выполнены следующие три аксиомы:
1. x =0тогда и только тогда, когда x =0.
2. λx = |λ|x ∀x ∈ X и любого вещественного (комплексного) числа λ.
3. x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X .
Так, нормированными пространствами являются пространство непре- рывных
функций на отрезке C[a, b] снормойf =max
Отметим, что в приложениях встречается понятие полунормы. Фактически под
этим понимается норма, для которой не обязательно выполнено условие 1 определения 1.
Многие понятия конечномерного анализа допускают важные обобщения на случай бесконечномерных нормированных пространств. Однако не всякое такое пространство годится для построения анализа в нем.
Главная проблема состоит в том, что не всякая сходящаяся последовательность
имеет пределом элемент этого же пространства.
Сужение возможного класса пространств до таких, которые обладают свойством
полноты, оказывается весьма плодотворным для приложений.
Определение 2 Пусть X−линейное нормированное пространство. Последова-
тельность x
N = N(),что∀n>N и для всех натуральных p выполняется неравенство
∈ X называется фундаментальной, если ∀>0 существует такое
n
t∈[a,b]
f(t).
x
Определение 3 Пространство X называется полным, если в нем всякая фунда-
ментальная последовательность сходится.
Определение 4 Полное линейное нормированное пространство называется банаховым. Банаховыми пространствами являются пространства C[a, b].
Определение 5 Вещественное линейное пространство называется евклидовым,
если любой паре его элементов x, y поставлено в соответствие вещественное число,
− xn <.
n+p
15
обозначаемое (x, y) и называемое скалярным произведением, так что выполняются
следующие аксиомы:
1. (x, x) ≥ 0; (x, x)=0тогда и только тогда, когда x =0.
2. (x, y)=(y, x).
3. (λx, y)=λ(x, y), λ∀R.
4. (x + y, z)=(x, z)+(y,z).
В случае евклидова пространства можно ввести норму равенством x =
(x, x).
Определение 6 Пространство H со скалярным произведением называется гиль-
бертовым, если оно является полным в этой норме. Для элементов гильбертова пространства имеет место неравенство Коши - Буняковского
|(x, y)|≤x·y.
Определение 7 Гильбертово пространство L
[a, b],p > 1 называется простран-
p
ством Лебега; элементы этого пространства (функции x(t)) называются интегрируемыми по Лебегу на отрезке [a, b], если
b
|x(t)|pdt < ∞.
a
Наиболее часто в приложениях используется пространство L
[a, b]; в нем скалярное
2
произведение имеет вид
b
(x, y)=
анорма-
x
=
L
2
Определение 8 Пространством Соболева H
x(t)y(t)dt,
a
⎡
b
⎣
x(t)2dt
a
⎤
1/2
⎦
.
1
[a, b] называется гильбертово пространство непрерывно дифференцируемых на отрезке [a, b] функций со скалярным
произведением
b
(x, y)=
[x(t)y(t)+x(t)y(t)]dt.
a
анорма-
x
⎡
b
⎣
1
=
H
x2(t)dt +
a
b
x
a
2
(t)dt
⎤
1/2
⎦
.
В современной литературе встречается следующее обозначение пространства Собо-
k
лева: W
[a, b],p,k ∈ N. Они состоят из абсолютно непрерывных функций, имеющих
p
обобщенную производную k-го порядка, суммируемую с p-й степенью. Поэтому в
теории некорректных задач эти пространства называют пространствами гладких решений. Поэтому в теории некорректных задач эти пространства называют пространствами гладких решений.
16
Определение 9 Оператор называется самосопряженным, если A∗= A,т.е.для
любой пары x
∈ D(A) выполняется равенство (Ax1,x2)=(x1,Ax2).
1,x2
Определение 10 Значение λ ∈ C называется регулярной точкой оператора A,
−1
если оператор (λI − A)
ограничен и определен на множестве, плотном в X .В
противном случае значение λ называют точкой спектра оператора A.
Определение 11 Число λ ∈ C называется собственным значением оператора A,
если существует такой элемент x ∈ D(A), x =0,чтоAx = λx. При этом элемент
x называется собственным вектором оператора A, соответствующим собственному
значению λ. Всякое собственное значение оператора является его точкой спектра,
при этом оператор A − λI необратим.
При анализе различных типов операторов весьма важным является понятие сингулярных чисел оператора.
Определение 12 Сингулярным разложением оператора A : U → F называется
его представление в виде
Au =
∞
σk(u, uk)fk,
k=1
где {u
ответственно, а величины σ
Будем считать последовательность {σ
}, {fk}−нормированные ортогональные системы в пространствах U и F со-
k
> 0 называются сингулярными числами оператора A.
k
} ограниченной. Тогда A представляет собой
k
непрерывный линейный оператор из U в F с сопряженным оператором
∞
∗
f =
A
а операторы
∗
A
Au =
∗
AA
f =
являются самосопряженными в U и F соответственно. Спектр оператора B = A
2
содержит собственные значения σ
, которым соответствуют собственные элементы u
k
σk(f,fk)uk,
k=1
∞
2
σ
k
k=1
∞
2
σ
k
k=1
(u, uk)uk,
(f,fk)fk,
∗
A
и, возможно, собственное значение 0, кратность которого может быть как конечной,
∗
так и бесконечной. То же самое справедливо для оператора A
элементами f
. При этом собственные элементы связаны соотношениями
k
∗
fk= σku
A
k
A с собственными
k
A∗uk= σkf
k
Верно и обратное: если {fk}, {uk}−нормированные системы собственных элементов
∗
операторов A
A и AA∗, то оператор A допускает сингулярное представление. В част-
ности, компактные (вполне непрерывные) операторы всегда допускают сингулярное
разложение, причем для них σ
→ 0, k →∞.
k
17
Глава 3
Сведения из теории интегральных
уравнений
3.1 Интегральные уравнения. Основные понятия и
определения. Классификация уравнений
Определение: Интегральными уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла.
Многие задачи математической физики сводятся к линейным интегральным уравнениям.
Определение: Интегральное уравнение называется линейным, если в него неизвестная функция входит линейно.
Пример линейного уравнения
1
φ(x) −
Пример нелинейного уравнения
φ(x) −
Решить интегральное уравнение - значит найти такую функцию, которая обращает
данное уравнение в верное тождество. Интегральные уравнения подразделяются на
уравнения первого рода и уравнения II рода. В уравнения первого рода неизвестная функция входит только под знаком интеграла. В уравнения II рода неизвестная
функция входит как под знаком интеграла, так и вне интеграла. Уравнения I и II рода с постоянными пределами интегрирования называются уравнениями Фредгольма,
а уравнения с переменным верхним пределом называются уравнениями Вольтерра.
Таким образом, линейное интегральное уравнение Фредгольма I рода имеет вид:
b
a
exyφ(y)dy = x −
0
1
xyφ(y)
1+φ2(y)
0
K(x, y)φ(y)dy = f(x),a≤ x ≤ b.
dy = f (x), 0 ≤ x ≤ 1.
x
e
, 0 ≤ x ≤ 1.
x
18
линейное интегральное уравнение Фредгольма II рода имеет вид:
b
φ(x) −
K(x, y)φ(y)dy = f(x),a≤ x ≤ b.
a
линейное интегральное уравнение Вольтерра I рода имеет вид:
x
K(x, y)φ(y)dy = f(x),a≤ x.
a
линейное интегральное уравнение Вольтерра II рода имеет вид:
x
φ(x) −
K(x, y)φ(y)dy = f(x),a≤ x.
a
Здесь φ(x)−неизвестная искомая функция; f (x)−заданная непрерывная функция,
называемая свободным членом интегрального уравнения; K(x, y)−заданная непрерывная функция, называемая ядром интегрального уравнения. Уравнения II рода
иногда записывают с параметром λ так:
b
φ(x) − λ
K(x, y)φ(y)dy = f(x),a≤ x ≤ b.
a
или
φ(x) − λ
x
K(x, y)φ(y)dy = f(x),a≤ x.
a
Тогда полученные уравнения представляют собой не одно уравнение, а семейство
уравнений, зависящее от числового параметра λ. Если f(x)=0, то интегральное
уравнение называется однородным, в противном случае оно называется неоднородным. Уравнения Вольтерра более просты, чем уравнения Фредгольма; уравнения II
рода более просты, чем уравнения первого рода. Уравнение Вольтерра можно при
некоторых ограничениях рассматривать как частный случай уравнения Фредгольма.
3.2 Метод последовательных приближений решения
интегральных уравнений
3.2.1 Построение решения уравнения Фредгольма II рода при
малых значениях параметра методом последовательных
приближений
Будем рассматривать интегральное уравнение Фредгольма II рода
b
φ(x) − λ
K(x, y)φ(y)dy = f(x),a≤ x ≤ b. (3.1)
a
19
где ядро K(x, y) и правая часть f (x)−заданные непрерывные функции переменных
x, y, φ(x)−искомая функция, λ−параметр. В случае, когда параметр λ мал, т.е. удо-
влетворяет условию
1
|λ| <
,
M
где M −положительное число, такое, что
1
⎤
2
⎦
≤ M
или
⎡
b
b
⎣
b
|K(x, y)|2dxdy
a
a
|K(x, y)|dy ≤ M, a ≤ x ≤ b.
a
решение φ(x) уравнения (3.1) существует и его можно построить методом последовательных приближений.
Суть метода: функция φ(x) ищется в виде предела последовательности
(x)=f(x),
φ
0
b
φ
(x)=f(x)+λ
n
K(x, y)φ
a
(y)dy n =1, 2, ...
n−1
т.е.
φ(x) = lim
n→∞
φn(x)
и других решений уравнение (3.1) не имеет. Методом последовательных приближений найти решение уравнения Фредгольма II рода, предварительно убедившись, что
выполнено условие
|λ| <
⎡
b
b
1
=
⎣
|K(x, y)|2dxdy
1
⎤
−
2
⎦
:
M
a
a
b
φ(x) −
xyφ(y)dy =2x, 0 ≤ x ≤ 1
a
Решение. Здесь f (x)=2x, K(x, y)=xy, λ =1. Имеем
1
⎡
b
b
⎣
|K(x, y)|2dxdy
a
a
⎤
2
⎦
= M2=
1
1
0
0
Значит
M =
1
, |λ| =1<
3
1
=3.
1/3
20
x2y2dxdy =
1
.
9
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]