Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Нелинейные волновые процессы. Учебное пособие
.pdf
3. Параметрические взаимодействия
51
Вместе с тем в накачке в соответствии с (46) образуется разрыв на
расстоянии . За этим расстоянием начинает эффективно действовать
нелинейное затухание, и для оценки будем считать, что за расстоянием разрыва накачка полностью затухает. При этом из уравнения (84) коэффициент усиления в точке образования разрыва:
, (85)
т.е. коэффициент усиления меньше единицы (более точный расчет показывает, что он близок к единице) и не зависит от амплитуды волны накачки.
Последнее объясняется тем, что рост амплитуды сигнала пропорционален
A0 и расстоянию. Повышение амплитуды накачки приводит к более быстрому росту сигнала, но одновременно и к уменьшению zp и, следовательно,
к уменьшению длины эффективного взаимодействия сигнала с накачкой.
Эта особенность иногда называется «насыщением» параметрической системы и характерна для бездисперсионных акустических параметрических
систем [1, 4, 7, 24, 25, 27, 33–35].
Параметрические системы для усиления и генерации акустических
волн, однако, все же существуют. Для этого может использоваться геометрическая дисперсия в акустических волноводах: квазидисперсия, связанная
с наличием разных типов волн (с разными скоростями) в твердых телах;
отражением от импедансных границ; сильное различие нелинейных параметров для разных типов взаимодействий волн в кристаллах с большой
анизотропией и др. Перейдем к некоторым другим особенностям взаимодействия акустических волн, которые позволяют реализовать параметрическую антенну.
4. Параметрические антенны
52
4. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ АНТЕННЫ
В предыдущем разделе были рассмотрены простые физические модели параметрических усилителей и генераторов. Причем их параметрический характер понимается в наиболее распространенном терминологическом смысле применительно к системам с распределенными параметрами.
Для них, как правило, характерно наличие одной мощной волны (накачки),
а также существование порога. В акустике понятие параметрических систем в последнее время стало применяться в более широком смысле, поскольку при нелинейном взаимодействии волны меняют параметры среды,
и с этой точки зрения процесс может рассматриваться как параметрический. Параметрические антенны являются одной из наиболее значимых областей практического использования методов нелинейной акустики [1, 7,
11–25, 27, 35].
4.1. Модель излучающей и приемной антенн. Общие сведения
Нелинейные взаимодействия волн можно использовать для создания
широкополосных излучающих и приемных антенн, обладающих рядом преимуществ по сравнению с традиционными. Роль приемного или излучающего
элемента в этих антеннах играет объем среды, заполненный звуковым полем,
поэтому параметрические антенны (ПА) называют также бестелесными.
Использование нелинейного взаимодействия звуковых волн при их
распространении в воде позволяет разделить процессы преобразования
электрической энергии в акустическую и формирования направленного излучения. Функцию устройства, формирующего диаграмму направленности ПА, выполняет протяженный (длиной в десятки, сотни и даже тысячи
метров) участок среды, в котором взаимодействуют волны.
Проясним принцип действия излучающей параметрической антенны. Параметрическая антенна в режиме излучения состоит из двух основных элементов: первичного преобразователя волн накачки и области
среды протяженностью lз (рис. 13). В простейшем случае волнами накачки
служат две волны с близкими звуковыми или ультразвуковыми частотами f1 и f2. При нелинейном взаимодействии этих волн в среде генерируются волны комбинационных частот: вторые гармоники 2f1 и 2f2, волны
4.1. Модель излучающей и приемной антенн. Общие сведения
53
суммарной и разностной
частот. Из-за квадратичной
частотной зависимости поглощения волны f1, f2, 2f1, 2f
2
,
затухают
раньше, чем волна разностной частоты (ВРЧ). Поэтому за пределами области взаимодействия первичных волн, ограниченной длиной их затухания lз, существует лишь ВРЧ. Сама же область взаимодействия, в которой
распределены нелинейные источники ВРЧ, выполняет роль объемной антенны [21].
Первичный
преобразователь
волн накачки
f
1
f
2
Электрические
сигналы
~l
д
~l
з
Область взаимодействия
F=f2−f
1
F<<f1 и f
2
Рис. 13. Схема излучающей параметрической антенны
Известно, что обычные протяженные источники (такие, как дифрак-
ционные антенны или антенны типа бегущей волны) могут формировать
узкие диаграммы направленности, угловая ширина которых θ тем меньше,
чем больше число длин волн N, укладывающихся на длине излучателя. Для
дифракционных антенн , для антенн бегущей волны
. Пара-
метрические антенны относятся к плоскому типу. Число длин Λ ВРЧ, укладывающихся на длине lз области взаимодействия, как правило, велико, и
поэтому угловая ширина диаграммы в реальных устройствах обычно не
превышает нескольких градусов.
Уникальные свойства ПИ связаны еще с тем обстоятельством, что
источники ВРЧ движутся вместе с волнами накачки со скоростью звука c0.
Это явление, как и в обычных антеннах бегущей волны, приводит к тому,
что ВРЧ излучается в основном вперед.
Среди других качеств ПИ можно отметить практически полное от-
сутствие боковых лепестков в диаграмме направленности. Ее форма определяется главным образом продольным распределением амплитуд высокочастотных (ВЧ) волн, которые уменьшаются при удалении от преобразователя накачки по экспоненциальному (из-за диссипации) или более сложному (вследствие дифракции и нелинейного затухания) закону.
4. Параметрические антенны
54
Изменяя частоты f1, f2 электрических сигналов в пределах резонансной кривой преобразователя накачки, можно добиться плавной перестройки частоты F в широких пределах (коэффициент перекрытия
может иметь значение порядка нескольких сотен).
Все эти свойства позволяют реализовать ПА, обладающие широкой
полосой рабочих частот, малыми габаритами, постоянной и плавной характеристикой направленности на различных частотах. Приведенные уровни
излучения при средних мощностях накачки порядка нескольких десятков
тысяч паскаль позволяют создать параметрические гидроакустические
приборы для активной локации и передачи информации, измерительные
приемно-излучающие комплексы и др. [11–23].
Простейшая схема нелинейного параметрического акустического
приемника (НПАП) содержит излучающий и приемный преобразователи
накачки, расположенные на расстоянии L (базе) и обычно жестко скрепленные друг с другом так, чтобы линия центров совпала с акустической
осью системы (рис. 14). Высокочастотный излучатель накачки создает в
среде пучок достаточно интенсивных волн с частотой f. Под некоторым
углом θ к оси системы распространяется волна сигнала с частотой Fc. Параметры среды меняются волной сигнала, в результате чего приемный
преобразователь (или любая другая система индикации) принимает модулированную волну накачки. Схема обработки выделяет параметры сигнала. Фактически прием сигнала осуществляется в среде на длине базы L.
Основное преимущество НПАП заключается в «бестелесности» приемной антенны [1, 7, 11–25, 27, 35].
L
f
Область взаимодействия
Излучающий
преобразователь
накачки
К схеме
обработки
f±F
c
Приемный
преобразователь
θ
F
c
волна
сигнала
Рис. 14. Схема приемной параметрической антенны
4.2. Теория излучающей параметрической антенны
55
4.2. Теория излучающей параметрической антенны
В теории параметрической антенны приходится одновременно учитывать взаимодействия волн в ближнем поле, нелинейную дифракцию, нелинейное поглощение и ряд других особенностей распространения мощных
волн. Все это вызывает большие трудности в создании универсальной теории, которая бы хорошо описывала одновременно все режимы работы ПА.
К настоящему времени имеется значительное число теоретических моделей
описания, относящихся к различным условиям работы ПА. Наиболее совершенная теория ПА базируется на решении уравнения ХЗК, позволяющем
учесть дифракцию и затухание взаимодействующих волн.
4.2.1. Решение уравнения ХЗК методом
последовательных приближений
Будем рассматривать волны накачки не слишком большой интенсивно-
сти (акустические числа Рейнольдса малы, профили волн не содержат разрывов). В этом случае уравнение ХЗК (35) можно решать методом последовательных приближений. Уравнение первого приближения имеет вид
, (86)
уравнение второго приближения:
. (87)
Граничное условие для уравнения (86) в случае простейшей пара-
метрической антенны задается в виде суммы двух высокочастотных гармонических колебании с частотами ω1 и ω2 с поперечным амплитудным рас-
пределением
. Для осесимметричного пучка в цилиндрической си-
стеме координат (r, z) граничное условие в комплексной форме записывается в виде
. (88)
Амплитуды на поверхности преобразователей будем считать распре-
деленными по гауссовому закону:
. (89)
4. Параметрические антенны
56
Решение уравнения первого приближения (86) с граничными усло-
виями будем искать в виде
. (90)
Подстановка решения (90) в уравнение (86) показывает, что ком-
плексные амплитуды A
1,2
волн накачки удовлетворяют параболическому
уравнению теории дифракции:
. (91)
Для удобства записи опущены индексы. Решение уравнения (91) мо-
жет быть найдено с использованием прямого и обратного преобразований
Ханкеля. В результате это решение для гауссовых пучков имеет вид
. (92)
Здесь lд1, lд2, lз1, lз2 – соответственно характерные длины зон дифрак-
ции и затухания волн накачки, ,
.
На рис. 15 показана картина дифракции гауссова пучка одной из
волн накачки по (92) при . Увеличивается характерная ширина пучка
(штрихпунктирные кривые), амплитуда на оси пучка уменьшается (сплошные кривые) и искривляется фазовый фронт волны (штриховые кривые).
В случае близких частот накачки ω1 и ω2 общая волновая картина
распространения дифрагирующего бигармонического звукового пучка в
поглощающей среде будет сходной с описанной выше. Только амплитуды
на оси дополнительно убывают вследствие затухания.
Обратимся теперь к уравнению второго приближения (87).
Считая и известными функциями, вычислим правую
часть, сохраняя при этом только компоненту Фурье на разностной частоте:
. (93)
Подставим найденную функцию (93) в правую часть уравнения (87)
и будем искать его решение в виде
4.2. Теория излучающей параметрической антенны
57
. (94)
0 1 2 3
z/l
д
Рис. 15. Картина дифракционных изменений амплитуды (сплошные кривые),
фазового фронта (штриховые кривые) и характерной ширины (штрихпунктирные
кривые) гауссового звукового пучка
Тогда для комплексной амплитуды ВРЧ
получим параболи-
ческое уравнение
, (95)
где K – волновое число ВРЧ. Решение уравнения (95):
. (96)
Это решение пригодно для произвольных распределений комплекс-
ных амплитуд ВЧ-волн А1 и А2 на поверхности преобразователя. Подставляя в (96) любое из решений параболического уравнения первого приближения (например, для дифрагирующих квазиплоских, сфокусированных и
дефокусированных пучков), получим соответствующее решение для ВРЧ.
4. Параметрические антенны
58
Эти решения справедливы для ближней, промежуточной и дальней зон антенны. Они позволяют анализировать поведение не только амплитуды, но
и фазы ВРЧ.
Для одновременного учета дифракции и затухания волн накачки с
гауссовым поперечным распределением и ВРЧ в выражении (96) величины
А1 и А
2
*
следует взять из формулы (92). В результате амплитуду ВРЧ можно
записать следующим выражением:
, (97)
где
;
;
;
;
. Па-
раметры d и B являются основными для анализа различных режимов параметрической антенны. Видно, что звуковое давление ВРЧ в любой точке
пространства зависит от координат точки, звукового давления волн
накачки, апертурных факторов и свойств среды.
В случае высокочастотных волн накачки, когда снижение по частоте
велико , а взаимодействующие волны можно считать квазиплоскими , параметр
. При этом условии
формула (97) имеет вид
, (98)
где
.
Это выражение при условии соответствует результату, полученному Вестервельтом для антенны, управляемой затуханием. При
выражение (97) приводится к виду
. (99)
Этот результат соответствует модели, рассмотренной Берктеем, когда взаимодействующие волны предполагались сферически расходящи-
мися и недифрагирующими . В практически важных случаях зна-
чения параметра B могут быть как больше, так и меньше единицы. В этих
случаях интеграл (97) не удается выразить в виде аналитических функций,
поэтому характеристики параметрических антенн исследуются численными методами с помощью ЭВМ.
4.2. Теория излучающей параметрической антенны
59
4.2.2. Осевое распределение амплитуды
и фазы волны разностной частоты
На оси подынтегральное выражение в (97) значительно
упрощается и решение может быть выражено через интегральные показатели функции:
. (100)
Выражение (100) позволяет проанализировать распределение ампли-
туды и фазы ВРЧ на оси ПА. Зафиксировав расстояние (обычно в дальней
зоне), можно рассчитать амплитудно-частотную и динамическую характеристика ПА. Отношение модуля выражения (97) к модулю выражения (100)
дает формулу для расчета характеристики направленности ПА.
Вычисленные с помощью ЭВМ зависимости нормированной ам-
плитуды Pн на оси антенны от нормированного расстояния zз приведены
на рис. 16 для различных значений параметра B. Расчет проведен в обла-
сти
.
Излучение ПА формируется в области взаимодействия волн
накачки. Поэтому осевое распределение амплитуды и фазы ВРЧ дает существенные сведения о закономерностях формирования поля ПА, энергетической связи первичного и вторичного излучений и т.п.
20 4 6
z
з
1
2
Pнz
з
B=10
0,01
0,1
0,5
1
2
5
10
Рис. 16. Расчетные кривые осевого распределения нормированной
амплитуды звукового давления сигнала разностной частоты
при различных значениях параметра B
4. Параметрические антенны
60
На рис. 17 крестиками показаны экспериментальные, а сплошными
кривыми – теоретически рассчитанные по выражению (100) осевые распре-
деления уровней звукового давления ВРЧ параметрической антенны для
разностных частот ; 5 и 7 кГц (соответственно кривые 1, 2 и 3). Цен-
тральная частота накачки f, диаметр многоэлементного исходного преобра-
зователя 2а и уровни звукового давления волн накачки
указаны
на рис. 17. В этом случае B изменяется в пределах .
1,0
1
2
3
10 100 1000
z, м
0
20
40
P−,
Па
f = 136 кГц
2a = 0,18 м
P01 = 3,98·105 Па
Рис. 17. Распределение звукового давления на оси параметрической антенны
(сплошные кривые – расчет, крестики – эксперимент)
Анализ расчетных и экспериментальных данных рис. 17 показывает,
что наблюдается не монотонный рост амплитуды ВРЧ, а с выраженным, но
достаточно пологим максимумом на расстоянии
, что свя-
зано с дифракцией ВЧ-волн. После максимума происходит спадание
уровня давления ВРЧ, и достаточно быстро, на расстоянии
волна
начинает подчиняться сферическому закону распространения.
В вопросах формирования излучения ПА играют существенную
роль фазовые соотношения в волнах накачки и ВРЧ. В нелинейном случае
эти фазы связаны. Аналитический расчет фазового распределения ВРЧ,
считая опорной фазу НЧ излучения на оси ПА вблизи источника накачки,
можно выполнить с помощью выражения (100), составив отношение мни-
мой Im к действительной Re части выражения :
. (101)
На рис. 18 показано экспериментальное и теоретическое распреде-
ление фазы (кривая 1) и амплитуды звукового давления ВРЧ (кривая 2) на
оси ПА с МГц для кГц и мм. Видно, что Δφ
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]