Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Нелинейные волновые процессы. Учебное пособие
.pdf
2.6. Волны в средах с дисперсией
41
. (60)
Ниже мы увидим, что дисперсия препятствует развитию нелиней-
ных эффектов. Относительная роль дисперсии и нелинейности характеризуется числом D: при больших D определяющей является дисперсия, а
при малых – нелинейность. В качестве примера оценки D рассмотрим дебаевские тепловые волны в кристаллической решетке. Можно показать,
что для кристаллической решетки , где a – период решетки и, следовательно,
. Оценку колебательной скорости можно сде-
лать, считая, что энергия колебаний ионов
, где
– постоянная
Больцмана, Т – абсолютная температура. Тогда при массе иона
г
и К,
см/с и число Маха имеет большую величину
. Поскольку , а тепловые колебания в основном сосредоточены
вблизи предельных частот, так что , дисперсионное число . Это
достаточно малое дисперсионное число и нелинейные эффекты при тепловых колебаниях решетки играют достаточно большую роль.
2.6.2. Метод последовательных приближений для уравнения КДВ
Для слабых возмущений можно применить при решении уравнения
КДВ метод последовательных приближений. Уравнение первого приближения
(61)
с граничными условиями
имеет решение
, где
. Уравнение второго приближения:
. (62)
ω
ω
2ω
0
k
1
k
22k1
k
Рис. 9. Дисперсионная кривая линейного решения уравнения КДВ
2. Уравнения нелинейной акустики. Распространение нелинейных волн
42
Это линейное уравнение с вынуждающей силой в правой части. Следует отметить, что фаза вынуждающей силы не удовлетворяет дисперсионному уравнению, что видно на рис. 9. Общее решение (62) можно представить в виде собственных волн (общего решения однородного уравнения) –
линейной комбинации и , где частота 2ω
удовлетворяет дисперсионному уравнению
(рис. 9) и вы-
нужденной волны (частного решения (62)). Частное решение (62) легко
найти в виде , где
.
Из рис. 9 видно, что
. Общее решение (62), удо-
влетворяющее граничному условию
, имеет вид
(63)
Из (63) видно, что амплитуда второй гармоники осциллирует в пространстве (рис. 10). Период этих осцилляций
. (64)
Δ
υ
(2)
z
Рис. 10. Пространственные осцилляции амплитуды второй гармоники в
нелинейной среде с дисперсией
Как видно из этого соотношения, период осцилляций определяется
фазовой расстройкой
, происходящей из-за того, что вынужден-
ная волна второй гармоники распространяется с фазовой скоростью, отличной от скорости собственных волн второй гармоники. В пространстве соотношение фаз этих волн меняется, что приводит к осцилляциям ампли-
туды. Величина
часто называется длиной когерентности. Впервые с
2.6. Волны в средах с дисперсией
43
такого рода поведением второй гармоники столкнулись при наблюдении
оптической второй гармоники в нелинейных кристаллах. Естественно, чем
больше расстройка, тем меньше пространственный период осцилляций и
меньше максимальная амплитуда, до которой нарастает вторая гармоника.
Уже это показывает, что дисперсия ограничивает развитие таких нелинейных эффектов, как укручение фронта волны.
Здесь следует подчеркнуть, что осцилляционный характер второй
гармоники не определяется кубичностью закона дисперсии (59). Он возникает всегда при расстройке фазовых скоростей вынуждающего и вынуждаемого процессов. Эта ситуация возникает при любом законе дисперсии,
«косых» взаимодействиях в средах без дисперсии, при взаимодействии разнотипных волн в твердых телах.
2.6.3. Стационарное решение уравнения КДВ. Солитоны
Выше при рассмотрении нелинейных волн в диссипативной среде
(см. подразд. 2.4) было показано, что в области пилообразной волны конкуренция нелинейных и диссипативных эффектов приводит к относительно устойчивой по форме волне. Однако диссипативные эффекты по
своей природе не могут привести к формированию стационарной волны.
Диссипация энергии звуковой волны приводит к уменьшению ее амплитуды и все меньшей и меньшей роли нелинейных эффектов. В уравнении
КДВ в форме (57) диссипативные эффекты не учитываются. Можно предполагать, что при определенных условиях конкуренция нелинейных и диссипативных эффектов, первые из которых стремятся сформировать крутой
фронт, а вторые стремятся его размыть, создает возможность существования волны с не меняющейся при распространении формой, т.е. стационар-
ной волны. Будем искать решение (57) в виде , где c
1
– ско-
рость распространения стационарной волны, естественно отличающейся от
скорости распространения длинноволновых возмущений c0. Подставляя
в уравнение КДВ (57), получим
, (65)
где штрих означает дифференцирование функции по всему аргументу. Интегрируя это уравнение в обычных производных однократно, получим по-
сле умножения на
2. Уравнения нелинейной акустики. Распространение нелинейных волн
44
(66)
или после интегрирования:
; (67)
. (68)
Это уравнение с разделяющимися переменными. Вводя новые обо-
значения и
, получим
. (69)
Окончательно для формы стационарной волны получим
(70)
или, возвращаясь к старым обозначениям, получаем:
. (71)
Вид этой функции показан на рис. 11. Это уединенная волна, которая
носит название солитона
. Чем больше амплитуда солитона,
тем уже. Легко видеть, что скорость солитона
также зави-
сит от амплитуды: чем больше амплитуда солитона, тем больше его скорость. С этой скоростью переносится энергия.
0
υ
A
z-c1t
δ
Рис. 11. Профиль уединенной волны (солитона),
соответствующий стационарному решению уравнения КДВ
2.6. Волны в средах с дисперсией
45
2.6.4. Волны на поверхности жидкости конечной глубины
Волны на поверхности жидкости, как правило, нелинейны. При этом
число Маха в естественных условиях и в условиях эксперимента могут до-
стигать больших значений . Эти волны также имеют интересный
«набор» дисперсионных характеристик. Как известно, для капиллярно-гравитационных волн на поверхности жидкости при глубине слоя воды h закон
дисперсии имеет вид:
, (72)
где σ – поверхностное натяжение, g – ускорение силы тяжести. Для мелкой
воды и тогда:
. (73)
Длинные гравитационные волны на мелкой воде, как видно из (73),
распространяются со скоростью без дисперсии. В этой области
для нелинейных волн применимо решение Римана. В отличие от акустических для этих волн возможно опрокидывание, что легко наблюдать в прибрежной зоне моря: образование крутых фронтов, барашков и разрушение
их при опрокидывании. Для не очень длинных волн, когда ,
но на мелкой воде , закон дисперсии (73) становится кубическим, и
в этой области применимо уравнение КДВ.
Уединенную волну на поверхности воды более 100 лет тому назад
наблюдал Скотт–Рассел в виде резко ограниченного скопления воды высотой в 30–45 см и длиной около 9 м, которое после остановки баржи в
канале распространялось со скоростью 8–9 миль в час, не меня своей
формы. Оценим порядок величины дисперсионного числа в этом случае.
Из (73) ;
см/с = 10,8 км/ч;
см3/с. При скорости подъема поверхности воды см/с и
см дисперсионное число
, т.е. в этих условиях нелиней-
ность играла существенно большую роль, чем дисперсия [1, 2, 4–6, 8, 10,
24–26, 29, 30, 32–35].
Дисперсия коротких капиллярных волн
достаточно велика.
Как показывают эксперименты (рис. 12), в этих условиях при возбуждении
2. Уравнения нелинейной акустики. Распространение нелинейных волн
46
гармонической волны конечной амплитуды последняя быстро изменяет
свою форму, причем пространственная и временная формы волны неодинаковы. Временная форма в разных точках пространства различна, но с
пространственным периодом Δ2 повторяется. На рис. 12 показаны такие
изменения временной формы на разных расстояниях z от источника: сначала волна переходит в близкую к обычной «пиле» форму (см. рис. 12, а);
затем сглаживается в максимумах, но имеет резкие изменения в минимумах
(см. рис. 12, б); потом переходит в обратную «пилу» с более крутым задним
фронтом (см. рис. 12, в).
t
A
0
t
t
z
Δ
2
а в
б
Рис. 12. Осциллограммы изменения профиля сильно диспергирующей
капиллярной волны конечной амплитуды на разных расстояниях от источника
3. Параметрические взаимодействия
47
3. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Нелинейное взаимодействие волн, как это уже отмечалось в разд. 2,
приводит к передаче части энергии от одной волны к другой. Почему это
происходит и в каком направлении при существовании нескольких волн
«перекачивается» энергия – довольно сложный вопрос, который в каждом
случае нуждается в анализе. Можно только сказать, что этот процесс отражает стремление системы к равновесию. В термодинамике обычно под равновесием понимается равномерное распределение энергии по всем степеням свободы. В системе волн, особенно когерентных, такая ситуация совсем не обязательна: конечное распределение может не соответствовать
равномерному распределению энергии по всем волнам. Для когерентных
волн направление потока энергии в значительной степени определяется
взаимными фазовыми соотношениями. Далее будут рассматриваться взаимодействия только когерентных волн.
По аналогии с системами с сосредоточенными параметрами в волновых системах может быть осуществлен параметрический усилитель и
параметрический генератор с распределенными параметрами. При параметрическом взаимодействии энергия мощной волны частоты ω3
(накачки) используется для усиления слабой волны сигнала частоты ω1
(в параметрическом усилителе) или генерации (в параметрическом генераторе) новой волны. Из законов сохранения энергии фотонов
. При этом следует, что в общем случае должна возникать
еще третья волна с частотой ω2 – так называемая холостая волна. В отличие от процессов генерации гармоник параметрический процесс яв-
ляется распадным, так как квант энергии распадается на два:
и
. Таким образом, в параметрическом взаимодействии должны
участвовать по крайней мере три волны.
Рассмотрим параметрическое взаимодействие трех волн, распространяющихся в вязкой жидкости в одном и том же направлении. Если искать решение уравнения Бюргерса (36) в виде трех волн с медленно меня-
ющимися комплексными амплитудами, т.е.
, то можно по-
лучить систему уравнений:
3. Параметрические взаимодействия
48
(74)
где знак * означает комплексно сопряженную величину;
– коэффициент поглощения i-й волны.
Если , то, умножив уравнение (74) соответственно на
,
,
и сложим их с комплексно сопряженными, можно получить:
;
;
. (75)
Из двух последних соотношений (75) при
следует за-
кон сохранения энергии:
. (76)
Представляя уравнение (75) в дифференциальной форме, получаем
. (77)
Соотношение (77), называемое правилом Менли–Роу, имеет прозрачную фононную интерпретацию: если распадается N квантов накачки,
то образуется N квантов «сигнала» и N квантов «холостой волны». Если
, то в этом случае параметрическое взаимодействие назы-
вается вырожденным; если
, то параметрическое преобразование
иногда называется преобразованием «вверх», а при
– преобразованием «вниз». Из выражения (77) видно, что преобразование «вниз» менее
эффективно.
При параметрическом усилении сигнал и холостую волну вначале
можно считать слабыми, волна накачки при этом мало меняется (последнее
уравнение (74)), и задача может рассматриваться в приближении постоян-
ного поля накачки
. Переходя к системе уравнений (74) к действи-
тельным амплитудам и фазам B1, B2, φ1, φ2, являющимися функциями рас-
стояния z, причем
,
, из первых двух уравне-
ний (74), приравнивая действительную и мнимые части, получим:
3. Параметрические взаимодействия
49
(78)
где .
Из первых двух уравнений (78) нетрудно получить
и аналогичное соотношение с заменой индексов . Подставляя эти со-
отношения в третье из уравнений (78), получим
.
В характерных для параметрического усиления условиях
из этого соотношения следует . Первые два уравнения при этом
принимают вид:
(79)
Решение уравнений (79) будем искать в виде
,
,
где c1 и c2 – постоянные, q – инкремент нарастания волны сигнала и холостой волны. Тогда получим систему двух алгебраических уравнений, решение которых отлично от нуля при
. (80)
Уравнение (80) имеет два корня q1 и q2. При этом решение (79):
(81)
Амплитуды волны сигнала и холостой волны не будут нарастать при
. В этом случае из (80) получается пороговое значение ампли-
туды накачки
3. Параметрические взаимодействия
50
. (82)
При превышении порогового значения амплитуды холостой волны и
сигнала начнут нарастать. Чем больше затухание волны, тем выше порог, при
котором начинается параметрическое усиление. Выше порога начинается
экспоненциальное нарастание сигнала и холостой волны. При достаточно
большой амплитуде последних, рассмотрение задачи в приближении постоянного поля перестает быть справедливым, поэтому необходимо рассматри-
вать систему (74) полностью. При решение (79) имеет вид:
(83)
Это решение показывает, что усиление наиболее эффективно в вы-
рожденном режиме
. Этого следовало ожидать, так как
при этом «холостая волна», в которую также перекачивается энергия, является одновременно «сигналом».
Рассмотренная выше схема трехволнового параметрического взаимодействия является в определенной мере искусственной, поскольку мы
ограничились лишь взаимодействием трех волн, не рассматривая различных побочных процессов. В акустике, как это видно из предыдущих разделов, при распространении двух волн ω3 и ω
1
, помимо
, будет
возникать волна
, а также гармоники мощной накачки 2ω3;
3ω3 и т.д. В нелинейной оптике путем подбора направлений распростране-
ния света с определенной дисперсией удается ограничить взаимодействие
тремя волнами и создать параметрический генератор и усилитель света.
В акустике из-за отсутствия дисперсии ситуация более сложная. Возникновение волны ω4 ослабляет и без того слабый сигнал, возникновение гармоник накачки приводит к формированию пилообразной волны и быстрому
ее затуханию (см. разд. 2).
Качественно коэффициент усиления при этом можно оценить следующим образом. Легко показать, что амплитуда колебательной скорости в
сигнальной волне из-за взаимодействия с волной накачки растет по закону
. (84)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]