Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Нелинейные волновые процессы. Учебное пособие
.pdf
2.4. Плоские нелинейные волны
31
2.4.5. Распространение нелинейных волн
после образования разрыва
После образования разрыва в области укручения фронта волны
резко возрастают градиенты давления, что приводит к значительному
увеличению потерь энергии. Поэтому для описания поведения волны в
области существования разрывов (при ) принципиально необходимо
учитывать диссипативные эффекты. Наиболее просто это сделать в предположении бесконечно малой ширины ударного фронта. В этом случае
форма волны на расстояниях находится из решения (45 ) с последу-
ющим построением ударного фронта. Положение ударного фронта определяется из условия сохранения количества движения одного периода
волны. При графическом анализе это правило носит название «правила
равенства площадей». Импульс одного периода волны пропорционален
площади профиля. Ударный фронт проводится так, чтобы площадь профиля оставалась неизменной (рис. 4). Для гармонического начального
сигнала ударный фронт неподвижен в сопровождающей системе коорди-
нат и находится в точке .
После начала образования разрыва профиль сигнала достаточно
быстро, для значений
, приобретает пилообразную форму. В этой
области профиль гармонического сигнала описывается следующим выражением:
. (47)
Энергия сигнала убывает пропорционально
. Вопросы
уменьшения энергии (затухания) и изменения гармонического состава
волны конечной амплитуды будут обсуждены далее.
Уменьшение амплитуды приводит к ослаблению нелинейных эффектов. Ударный фронт при этом постепенно расширяется до тех тор, пока
волна вновь не становится практически гармонической. За динамикой
этого процесса можно проследить только с помощью решения уравнения
Бюргерса. Профиль гармонического сигнала в области существования разрывов хорошо описывается решением уравнения Бюргерса, полученным
Хохловым:
. (48)
2. Уравнения нелинейной акустики. Распространение нелинейных волн
32
После образования разрыва наблюдается не только уменьшение ам-
плитуды сигнала, но и увеличение ширины фронта, пропорциональное
(рис. 5). Для очень мощных сигналов выражение (48) может быть
заменено более простым (47): при функция th переходит в ступенчатую. Такая замена справедлива до тех пор, пока параметр .
Для значений ширина фронта становится сравнимой с длиной
волны и в дальнейшем волну можно вновь (как и на малых расстояниях)
считать гармонической.
π
−π
0
Π
θ
σ = 2
3
5
Γ = π/24
0,2
0,5
0,8
Рис. 5. Изменение профиля волны после образования разрыва
2.4.6. Гармонический состав волн конечной амплитуды
Уже неоднократно отмечалось, что волна в нелинейной среде искажается. Это означает, что ее спектр изменяется в процессе распространения, появляются новые гармоники, которых не было в спектре исходного
сигнала. Анализ поведения различных гармоник следует проводить с помощью Фурье-анализа решения (45). Амплитуда гармоники nω тогда определяется выражением
. (49)
Решение (45) при граничных условиях , записан-
ное в виде Фурье-спектра (решение Бесселя–Фубини):
. (50)
Это решение позволяет проследить динамику отдельных гармоник
спектра для расстояний , т.е. до образования разрыва (рис. 6 до ).
2.4. Плоские нелинейные волны
33
Амплитуда первой гармоники убывает, а остальные монотонно рас-
тут. Общая энергия всех гармоник в процессе распространения сохраняется
и равна энергии начального возмущения (среда предполагается идеальной и
потери энергии соответственно отсутствуют).
0 2 3 σ
σ'р=1
0,5
1
A
n
n=1
n=2
n=3
2(n+nσ)
-1
2Jn(σ)
nσ
Рис. 6. Изменение амплитуд первых трех гармоник с ростом расстояния
в свободном пространстве (сплошные кривые) и при наличии мягкой отражающей
границы, расположенной на расстоянии (пунктирные линии)
Эксперименты подтверждают описанную закономерность. На
рис. 7 кружочками, крестиками и треугольниками отмечены семейства
экспериментальных значений, иллюстрирующих рост второй гармоники
акустического сигнала в воде в функции от расстояния σ при различных
величинах параметра εRe. Для сравнения сплошной кривой на рис. 7 показан рассчитанный по (50) график роста второй гармоники с расстоянием. Видно, что вторая гармоника волны конечной амплитуды растет с
увеличением расстояния σ от излучателя. Рост второй гармоники более
значительный при увеличении амплитуды исходного сигнала.
Таким образом, в области до образования разрыва нелинейность
приводит к перекачке энергии из основной гармоники волны в ее высоко-
2. Уравнения нелинейной акустики. Распространение нелинейных волн
34
частотные составляющие. Амплитуды этих гармоник быстро растут и становятся сравнимыми с амплитудой основной гармоники. Например, при
(см. рис. 6) амплитуды первой и второй гармоник отличаются при-
мерно в два раза.
σ
n=2
0,1
0,2
0,3
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0
p
n=1/pn=2
εRe=6,2
εRe=14,7
εRe=28,3
εRe=57,5
Рис. 7. Рост амплитуды второй гармоники с расстоянием при различных
амплитудах исходной волны (εRe): сплошная кривая – расчет
для идеальной среды по формуле (50); точки – эксперимент
При распространении нескольких волн конечной амплитуды в результате нелинейного взаимодействия помимо гармоник образуются волны
комбинированных частот. В общем случае взаимодействие этих волн комбинированной частоты с исходными приводит к быстрому расширению
2.4. Плоские нелинейные волны
35
спектра. Взаимодействие монохроматической волны со случайными волнами в среде приводит к передаче энергии монохроматической волны случайными волнами, в результате чего возникает дополнительное затухание
монохроматической волны.
В области после образования разрывов (
) поведение гармо-
ник описывается следующим соотношением:
. (51)
Это соотношение получено путем Фурье-анализа решения (47). Изменение амплитуд гармоник в зависимости от безразмерного расстояния σ
в соответствии с выражением (51) приведено в правой части графиков
рис. 6. Видно, что в области существования разрывов все гармоники затухают, причем тем быстрее, чем больше номер гармоники.
Описание гармоник в области можно получить также из реше-
ния Фея:
. (52)
Решение Фея может быть получено разложением в Фурье-спектр решения Хохлова (48). Из (52) следует, что для конечных, не очень больших
значений параметра
в области разрыва наблюдается сильное за-
тухание всех гармоник.
2.4.7. Затухание волн конечной амплитуды
Нелинейность среды приводит к дополнительному поглощению
волны, которое носит название нелинейного затухания. Нелинейное затухание по-разному проявляет себя в областях до и после разрыва. Ампли-
туда первой гармоники в области до образования разрыва при
(см. левую часть графиков рис. 6) уменьшается из-за перекачки энергии
первой гармоники в более высокие гармоники. Последние поглощаются
быстрее первой. В результате общее поглощение оказывается большим,
чем поглощение линейной волны с частотой, равной частоте первой гармоники. Особенно сильно возрастает поглощение в области образования разрыва. Как следует из выражений (47)–(52), после образования разрыва амплитуды всех гармоник резко уменьшаются. Из выражения (52), например,
видно, что при затухание происходит по закону, близкому к
2. Уравнения нелинейной акустики. Распространение нелинейных волн
36
(51), где затухание значительно более сильное, чем экспоненциальное. При
закон затухания практически экспоненциальный
. Однако показатель экспоненты иной, чем в линейной
теории
, что объясняется подкачкой энергии
из первой гармоники.
Качественно можно представить себе следующую картину изменения коэффициента затухания с расстоянием. Вначале коэффициент затухания волны конечной амплитуды растет (по сравнению с обычным вязким
затуханием α), достигает максимума и стабилизируется в области формирования пилообразной волны. Когда энергия волны значительно уменьшается из-за нелинейного затухания, волна переходит в волну малой амплитуды с обычным линейным коэффициентом затухания α. Многочисленные
эксперименты подтверждают рассмотренные в разд. 2 теоретические результаты. В экспериментах наблюдается искажение фронта и формы
волны, появление гармоник, нелинейное затухание и пр.
2.4.8. Отражение волны конечной амплитуды от границы раздела
Особенности отражения волны конечной амплитуды от плоской гра-
ницы при нормальном падении в условиях рассмотрим на основе
уравнения (44). Если излучатель синусоидальной волны находится на расстоянии h от границы, то на границу приходит сигнал
.
При коэффициенте отражения на границе V граничное условие для
отраженной волны
. При этом граничном
условии римановское решение:
, (53)
где
– значение σ при для падающей волны, а σ – для отраженной.
Из выражения (53) видно, что в случае (отражение от абсо-
лютно жесткой границы) характер нелинейных искажений волны совпадает с рассмотренным случаем (см. рис. 4) безграничной среды.
Интересные особенности возникают при отражении от мягкой гра-
ницы (например, поверхности «вода-воздух») при . Последователь-
ные этапы изменения профиля синусоидальной волны при различных σ в
соответствии с выражением (53) показаны на рис. 8. Мягкая отражающая
2.4. Плоские нелинейные волны
37
граница расположена на расстоянии . До границы раздела
(см. рис 8, а–в) профиль синусоидальной волны искажается, приобретая
форму, близкую к пилообразной. Изменение фазы отраженной волны приводит к тому, что в отраженной волне накопившиеся нелинейные эффекты
до границы компенсируются искажениями, возникшими в волне после отражения. Это приводит не к увеличению крутизны фронта после отражения,
а наоборот, к его сглаживанию. На расстоянии
профиль волны
вновь приобретает синусоидальную форму, после чего снова начинается
укручение фронта. Фурье-анализ решения (53) позволяет проследить за поведением гармоник, первые три из которых показаны на рис. 6 штрихпунк-
тирными кривыми. До момента отражения происходит процесс ге-
нерации гармоник. После отражения происходит обратная перекачка энергии из высших гармоник в первую, ее амплитуда растет, энергия высокочастотных составляющих убывает, восстанавливается форма исходного сиг-
нала. После
опять начинают нарастать амплитуды гармоник, по-
вторно формируется ударный фронт. Такая же физическая картина наблюдается при отражении сигналов сложной формы.
θ
граница
граница
0 0 0
000
Π
Π
θ
−π −π −π
−π−π−π
π π π
πππ
а б в
Рис. 8. Изменение с расстоянием профиля синусоидальной волны при наличии
мягкой отражающей границы на расстоянии
При отражении от мягкой границы за счет обратной перекачки энер-
гии из гармоник увеличивается общее расстояние образования разрыва. Затухание волны конечной амплитуды при этом уменьшается [1, 2, 4–6, 8, 10,
24–26, 29, 30, 32–35].
2. Уравнения нелинейной акустики. Распространение нелинейных волн
38
2.5. Сферические и цилиндрические
одномерные волны конечной амплитуды
Выше были рассмотрены плоские волны конечной амплитуды. В реальных условиях часто встречаются цилиндрические и сферические волны.
В данном разделе ограничимся рассмотрением лишь одномерных волн.
Из уравнений (1)–(3) для одномерных цилиндрических и сферических волн можно получить во втором приближении следующие упрощенные уравнения
. (54)
Уравнение (54) при совпадает с уравнением (36) Бюргерса для
плоской волны, при описывает сферическую волну и при –
цилиндрическую.
Это уравнение можно записать в безразмерном виде, сходном с уравнением (39):
, (55)
где
;
;
(56)
Здесь
, где
– расстояние образования разрыва в плоской
волне,
– радиус источника.
С помощью указанной замены переменных, используя полученные
ранее решения (43), (45), (47)–(52) для плоских волн, можно получить соответствующие выражения для анализа развития нелинейных процессов,
гармонического состава, нелинейного затухания сферических и цилиндрических волн конечной амплитуды.
В правой части уравнения (55) коэффициент помимо зависи-
мости от вязкости (напомним, что
,) теперь становится зависи-
мым от координаты распространения z. Последнее обстоятельство может
быть интерпретировано для расходящихся волн как экспоненциальный
рост «вязкости», в случае сферических волн и линейный рост ее для цилиндрических волн. Появление такой дополнительной вязкости существенно
2.6. Волны в средах с дисперсией
39
подавляет развитие нелинейных эффектов в расходящихся волнах.
И наоборот, в сходящихся волнах резкое «уменьшение вязкости» приводит к более быстрому развитию нелинейных эффектов. Следует отметить,
что в отличие от плоских для сферических и цилиндрических волн не может быть введено не зависящее от расстояния число Рейнольдса. Отметим
также, что в средах без диссипации разрыв сформируется даже в расходящихся волнах; в сферических волнах он образуется на расстоянии
, цилиндрических –
.
Вопрос развития нелинейных эффектов в сходящихся и расходя-
щихся волнах возникает при рассмотрении физических явлений в ультразвуковых фокусирующих системах, при схлопывании кавитационного пузырька, при работе слабовыпуклых и слабовогнутых преобразователей
накачки параметрических антенн. Кроме того, при определенных условиях
распространения звука в океане или атмосфере возникает фокусировка
звука, образование каустик, где локальные повышения интенсивности
звука сопровождаются ростом нелинейных эффектов. Нелинейные эффекты приходится учитывать и в случае сферического расхождения мощного звука, например шума реактивного самолета. На малых расстояниях
из-за взаимодействия внутри спектра шум «нелинейно перемешивается», а
на далеких расстояниях такое «перемешивание» значительно ослабляется
[1, 2, 4–6, 8, 10, 24–26, 29, 30, 32–35].
2.6. Волны в средах с дисперсией
Дисперсия приводит к достаточно сложному процессу распространения волны уже в линейном случае. Монохроматические волны малой
амплитуды распространяются, не меняя своей формы. Форма немонохроматических сигналов в диспергирующей среде может изменяться значительно. Разница в фазовых скоростях отдельных компонент немонохроматического сигнала определяет постепенное расплывание волнового пакета. Поэтому фазовая скорость уже не характеризует скорость переноса
энергии волной. Для узкого волнового пакета скорость распространения
энергии определяется групповой скоростью:
. Еще более
2. Уравнения нелинейной акустики. Распространение нелинейных волн
40
многообразными становятся возможности трансформации формы сигналов в нелинейном случае. В настоящее время имеется ряд модельных
уравнений для нелинейных волн в диспергирующих средах.
2.6.1. Уравнение Кортевега – де Вриза
Одним из очень важных и во многих отношениях замечательным яв-
ляется уравнение, полученное Кортевегом и де Вризом в 1895 г.:
, (57)
где
– постоянная, имеющая размерность квадрата длины;
–
характерная длина дисперсии (см. далее).
Уравнение Кортевега – де Вриза (КДВ) может быть получено из римановского уравнения для простой волны (44) добавлением дисперсионного члена. Линеаризация уравнения КДВ приводит к уравнению
. (58)
Волна вида
удовлетворяет уравнению (58), если вы-
полняется закон дисперсии:
, (59)
где с0 – фазовая скорость для длинных (или низкочастотных) волн. Фазо-
вая скорость
, и на характерной «длине диспер-
сии» изменение ее порядка самой этой скорости. Видно, что закон дис-
персии (59) соответствует разложению более общего закона в
ряд по нечетным степеням k, что обусловлено тем, что в КДВ не учитывается затухание. Этот тип дисперсии охватывает значительное число
случаев распространения волн, например распространение высокочастотных волн в кристаллической решетке, распространение звука в тонком
стержне, распространение капиллярно-гравитационных волн на мелкой
воде. В этих случаях уравнение КДВ должно давать хорошие результаты
для нелинейных волн. Однако универсальность КДВ, как модельного
уравнения для диспергируюших сред, естественно, ограничена видом
дисперсионного уравнения (59).
Перейдем к анализу уравнения КДВ (57). В нем дисперсионный член
в правой части имеет порядок
, в то время как нелинейный –
. Дисперсионное число:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]