Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Нелинейные волновые процессы. Учебное пособие
.pdf
2.2. Уравнение нелинейной акустики с точностью до квадратичных членов
21
называется акустическим числом Рейнольдса. При нелинейные
члены превалируют над диссипативными. При – диссипативные
над нелинейными. В реальных условиях эксперимента числа Рейнольдса
могут быть существенно больше единицы.
Рассмотрим далее отношение нелинейного члена mn к mi:
. (22)
Величина
называется акустическим числом
Маха (ξ0 – амплитуда колебательного смещения, p – амплитуда звукового
давления).
В акустике всегда выполняется неравенство . В воде,
например, условие справедливо вплоть до уровней излучения
280 дБ относительно 1 мкПа (давления до 103 атм) [1, 2, 4–6, 8, 10, 24–
26, 29, 30, 32–35].
2.2. Уравнение нелинейной акустики с точностью
до квадратичных членов
Будем считать, как обычно в акустике, что в среде имеются возму-
щения давления p', плотности ρ' и скорости :
, , .
Покажем, как находится уравнение для адиабатических возмущений
вязкой жидкости с точностью до квадратичных членов.
Разложим функцию ρ(p) в уравнении состояния (4) в ряд по малым
значениям p':
, (23)
где
– нелинейный параметр. Этот параметр, по дан-
ным различных измерений, для дистиллированной воды равен 3,1 (при температуре 0 °С); 3,5 (при 20 °С); 3,7 (при 40 °С). Для морской воды (соле-
ность 35 ‰) в диапазоне температур 20–30 °С величина . Имеем
2. Уравнения нелинейной акустики. Распространение нелинейных волн
22
пять уравнений (1), (2) и (23) с пятью неизвестными. Подставим (23) в урав-
нения (1), (2), считая поле скорости безвихревым и сохранив
только линейные и квадратичные слагаемые. Причем все квадратичные
слагаемые, а также малый диссипативный член перенесем в правую часть.
Тогда уравнение движения (1) приобретает вид
. (24)
При подстановке выражения (23) в уравнение (2) уравнение непре-
рывности запишется в виде
. (25)
В левых частях уравнений (24) и (25) выписаны члены первого порядка малости относительно возмущенных величин, в правой – члены второго порядка малости.
Приведем систему уравнений (24) и (25) к одному уравнению. Для
этого применим операцию к уравнению (24):
. (26)
В последнем уравнении упростим диссипативный член, воспользовавшись соотношениями, получающимися в линейном приближении из
уравнений (24) и (25):
,
. (27)
Тогда
. (28)
Продифференцируем уравнение (25) по времени:
. (29)
Вычитая из уравнения (26) уравнение (29) с учетом выражений (27 )
и (28), получаем уравнение, описывающее процессы в звуковой волне с
точностью до величин второго порядка малости:
2.2. Уравнение нелинейной акустики с точностью до квадратичных членов
23
. (30)
Через Q обозначена группа квадратичных членов:
. (31)
При решении задач нелинейной акустики широко используется
метод последовательных приближении. В методе последовательных
приближений малым параметром, как правило, является число Маха.
Этот метод позволяет привести систему нелинейных уравнений (1)–(3)
к бесконечной системе линейных неоднородных уравнений. Рассмотрим применение метода последовательных приближении к решению
уравнения (30). Представим величины р' и υ' в виде
и
, где отношение последующего члена к предыду-
щему порядка величины малого параметра. Последовательные этапы
нахождения решения таковы. Ряды для р' и υ' подставляются в решаемое
уравнение (30), и определяются порядки величин различных членов.
Считая произведения переменных первого порядка типа p
(1)2
и др. вели-
чинами второго порядка малости, группируем слагаемые одинакового
порядка малости. В результате в первом приближении получим волно-
вое уравнение в вязкой среде, следующее (из 30) при . Это урав-
нение решается с соответствующими граничными условиями и находится решение первого приближения p
(1)
(x, y, z, t), а с помощью (27) –
υ
(1)
(x, y, z, t).
Во втором приближении получаем линейное неоднородное волно-
вое уравнение для p
(2)
(x, y, z, t), в правой части которого стоит известная из
решения первого приближения функция Q(p
(1)
, υ
(1)
). Решение уравнения
второго приближения с соответствующими граничными условиями дает
искомую функцию p
(2)
(x, y, z). Таким же образом можно было бы найти
уравнение третьего приближения, которое также имело бы вид линейного
неоднородного волнового уравнения, и т.д.
Метод последовательных приближений эффективен в условиях, когда нелинейные эффекты развиты слабо. При сильных нелинейностях надо
учитывать высокие порядки приближений, что резко увеличивает количество решаемых линейных уравнений и соответственно усложняет расчеты
[1, 2, 4–6, 8, 10, 24–26, 29, 30, 32–35].
2. Уравнения нелинейной акустики. Распространение нелинейных волн
24
2.3. Метод медленно изменяющегося профиля. Уравнение
Хохлова – Заболотской – Кузнецова для звуковых пучков
Одна из особенностей развития нелинейных акустических эффектов
заключается в том, что нелинейные искажения нарастают очень незначительно на расстоянии порядка длины волны. С другой стороны, акустические волны всегда представляют собой достаточно быстро меняющиеся в
пространстве и во времени возмущения. Метод медленно изменяющегося
профиля позволяет исключить из рассмотрения быстроменяющиеся процессы, характерные в том числе и для линейных волн, выделяя именно медленные нелинейные искажения.
В этом методе совершается переход от обычной системы координат
к системе координат, сопровождающей волну. В этой системе координат
профиль волны по мере распространения искажается.
Формально предположение о медленности для одномерных бегущих
волн записывается так:
, (32)
где μ – малый параметр, с помощью которого «медленность» учтена с помощью зависимости формы волны от координаты z.
В реальных условиях звуковые поля многомерны, часто используются звуковые пучки. Как правило, при излучении длина акустической
волны не слишком мала по сравнению с размерами источника звука, и, следовательно, необходимо учитывать дифракционные эффекты. Математические трудности нелинейной теории дифракции возникают из-за того, что
в этих условиях нельзя воспользоваться принципом суперпозиции. Эти
трудности удается в значительной степени преодолеть с помощью «квазиоптического» приближения.
При использовании метода медленно меняющегося профиля сущность «квазиоптического» приближения сводится к следующему. В пучке
нелинейность, затухание и дифракция приводят к медленным изменениям
формы и амплитуды волны не только вдоль направления распространения,
но и поперек. Переход в область звуковой тени происходит довольно резко,
поэтому естественно предположить, что изменение переменных звукового
поля поперек пучка происходит быстрее, чем вдоль. Тогда решение уравнений гидродинамики для пучка следует искать в форме
2.3. Метод медленно изменяющегося профиля…
25
(33)
Преобразуем уравнение (30), используя (33). Переходя к новым пе-
ременным τ, x1, y1, z1, получим
(34)
Аналогичные значения можно выписать для
и
. Подстав-
ляя выражение (34) в уравнение (30) и пренебрегая членами
и более
высокого порядка малости, получаем нелинейное уравнение для пучка,
учитывающее затухание и дифракцию:
, (35)
где
– лапласиан по поперечным координатам.
Уравнение (35) было получено в 1976 г. и носит название уравне-
ния Хохлова – Заболосткой – Кузнецова (ХЗК). Для уравнения ХЗК пока
не найдено точного аналитического решения. Однако приближенные решения его могут быть найдены, о чем пойдет речь ниже. Сейчас отметим,
что уравнение ХЗК оказалось особенно полезным для расчета параметрических антенн.
Первое слагаемое уравнения (35) определяет изменение давления по
оси пучка, второе и третье – учитывают влияние соответственно нелиней-
ности и затухания. Поперечный лапласиан
ответственен за дифракци-
онные изменения в пучке. Опуская те или иные члены в уравнении ХЗК,
можно получать упрощенные уравнения, позволяющие анализировать в отдельности влияние нелинейности, затухания, дифракции на распространение акустических волн [1, 2, 4–6, 8, 10, 24–26, 29, 30, 32–35].
2. Уравнения нелинейной акустики. Распространение нелинейных волн
26
2.4. Плоские нелинейные волны
Основные особенности распространения мощных акустических сигналов в нелинейной диссипативной среде наиболее наглядно проявляются в
случае одномерных (плоских, цилиндрических и сферических) волн.
2.4.1. Уравнение Бюргерса
Для случая плоских нелинейных волн в поглощающей среде уравне-
ние ХЗК (35) упрощается (так как ) и принимает вид известного
уравнение Бюргерса:
. (36)
Это уравнение было предложено Бюргерсом. Оно не является точным, поскольку без упрощения не может быть получено из уравнений гидродинамики вязкой жидкости (1)–(3). В то же время оно достаточно хорошо
описывает нелинейные волны в средах с потерями.
Уравнение Бюргерса (36) более простое по сравнению с уравнением
(30). Это уравнение второго порядка (а не третьего, как (30)), оно содержит
только один нелинейный член (второе слагаемое). Уравнение Бюргерса часто используется для анализа нелинейных процессов.
Уравнение Бюргерса при малой нелинейности переходит в известное линейное уравнение для сред с диссипацией, а в отсутствие диссипации – в уравнение Римана для простых волн. Следовательно, важной особенностью Уравнения Бюргерса является отсутствие ограничения на числа
Рейнольдса.
2.4.2. Решение уравнения Бюргерса для малых чисел Рейнольдса
При малых числах Рейнольдса уравнение Бюргерса (36) пе-
реходит в линейное уравнение для среды с диссипацией:
. (37)
Уравнение (37) параболическое (типа уравнения теплопроводности).
Уравнение (37) легко решается. Например, для гармонической
волны
решение уравнения (37) будет выглядеть
весьма просто. Найдем производные
2.4. Плоские нелинейные волны
27
;
;
и подставим их в уравнение (37):
.
Интегрируя это уравнение для амплитуды, получим
,
где – амплитуда при , что окончательно дает
. (38)
Выражение (38) описывает затухающую волну малой амплитуды с
коэффициентом затухания
.
2.4.3. Решение уравнения Бюргерса. Эффект «насыщения»
Для удобства уравнение Бюргерса часто записывают в безразмерном
виде:
, (39)
где ;
;
– безразмер-
ное расстояние;
; ;
;
p – амплитуда звукового давления на излучателе.
Уравнение Бюргерса (36), (39) замечательно тем, что можно полу-
чить его точное решение. С помощь замены переменных, называемой иногда «подстановкой Хопфа–Коула»:
, (40)
после однократного интегрирования и вычисления производных уравнение
Бюргерса линеаризируется, приобретая вид параболического уравнения
.
Общее решение уравнения теплопроводности имеет вид
, (41)
где – профиль возмущения при .
2. Уравнения нелинейной акустики. Распространение нелинейных волн
28
В конкретных задачах записанное в интегральной форме точное решение (41) с учетом (40) сложно для анализа.
Следует упомянуть, что помимо этого точного решения имеется несколько удачно сконструированных приближенных решений уравнения
Бюргерса.
Проанализируем влияние нелинейных эффектов на примере распространения в диссипативной среде монохроматического сигнала
. В этом случае решение (41) можно представить в виде
ряда затухающих гармоник:
. (42)
Здесь , для всех ; – функция Бесселя.
Подставляя решение (42) в (40), найдем выражение, описывающее последовательное обогащение дополнительными гармониками (искажение
формы огибающей) первоначального монохроматического сигнала в нелинейной среде с поглощением при произвольных значениях Г.
По выражению (42) видно, что амплитуды появляющихся гармоник
уменьшаются с расстоянием тем быстрее, чем выше номер гармоники (коэффициент затухания пропорционален n2).
В области, где параметр
, основной вклад в выражение
(42) дают два первых члена ряда. В указанной области относительная амплитуда акустического сигнала:
(43)
существенно зависит от величины Г, т.е. от ее начального значения. Используя асимптотики функций I0 и I1 при больших и малых аргументах,
можно найти особенности поведения сигнала для предельных значений па-
раметра Г. При малом проявлении нелинейности, т.е. при , отношение
, амплитуда основной гармоники пропорциональна своему
начальному значению, она экспоненциально затухает с расстоянием как
обычная волна малой амплитуды:
,
.
При сильном проявлении нелинейности отношение
. В этом случае происходит «насыщение»: на расстояниях
2.4. Плоские нелинейные волны
29
амплитуда звукового давления не зависит от начального значения
амплитуды при и определяется только свойствами среды:
,
.
Важно отметить, что при этом сколько бы мы ни повышали ампли-
туду на входе нелинейной поглощающей среды, из-за сильного поглощения образовавшегося разрыва сигнал на определенном расстоянии не будет
расти. Таким образом, с помощью плоских акустических волн через среду
невозможно передать очень большую энергию.
Однако в реальных условиях в жидкостях в области частот до десят-
ков МГц, как правило, кавитация наступает раньше, чем образуется ударная волна и проявится эффект «насыщения».
2.4.4. Развитие нелинейных эффектов при больших числах Рейнольдса
Этапы развития нелинейных эффектов по мере распространения
волны удобно анализировать на примере частной задачи распространения
мощной звуковой волны, когда нелинейные эффекты играют определяю-
щую роль, т.е. параметр . В этом случае диссипативным членом в
уравнении Бюргерса можно пренебречь, и оно значительно упрощается:
. (44)
Решением квазилинейного уравнения первого порядка в частных
производных (44) является нелинейная функция
.
Это решение впервые было получено Риманом. Для гармонического
возбуждения решение имеет вид
,
или
. (45)
Проанализируем кинетику искажения профиля синусоидальной
волны в соответствии с (45). Последнее слагаемое в аргументе функции (45) показывает, что различные участки профиля волны движутся с
2. Уравнения нелинейной акустики. Распространение нелинейных волн
30
разными скоростями. Причем добавка скорости пропорциональна величине
возбуждения p'. Все это приводит к искажению фронта волны при ее распространении в нелинейной среде. Удобно проследить искажение профиля
волны в сопровождающей системе координат (рис. 4). Исходный синусои-
дальный сигнал в среде без поглощения по мере распростра-
нения ( растет) постепенно приобретает форму, близкую к пилообразной, даже при сколь угодно малых числах Маха . При участок фронта вблизи точки (в области нулевой волны) становится вер-
тикальным. Образуется локальный участок с очень крутым фронтом (скач-
ком давления). В этом месте первая производная
обращается в беско-
нечность. Из выражения (45) можно найти расстояние
, при котором
впервые образуется скачек. Это расстояние называют расстоянием разрыва:
. (46)
Параметр σ из уравнения Бюргерса (39) приобретает конкретный
физический смысл расстояния, нормированного на расстояние разрыва
.
π
−π
0
1
−1
Π
θ
σ = 0
0,4
0,3π/2
3
Рис. 4. Искажение профиля синусоидальной волны в процессе распространения в
нелинейной среде без поглощения
После образования разрыва решение (45) становится неод-
нозначным. В этом случае на одном расстоянии z имеют место три различных значения звукового давления (см. пунктирные линии рис. 4), что физически абсурдно. Отсюда следует, что решение (45) справедливо лишь до
момента образования разрыва, т.е. до значения .
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]