Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика. Задачи с примерами решения. Учебное пособие
.pdf
14. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
x
x
x
x
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
Преобразования Лоренца
Пространственно-временные координаты точки
движной системе отсчета
наты точки
стью
в направлении оси Х связаны соотношениями
V
(, , ,)
yzt
x
yy
zz
KK
t
K и пространственно-временные коорди-
в движущейся системе отсчета
Vt
2
V
1
2
c
,
Vx
t
2
c
2
V
1
2
c
KK
x
yy
zz
t
(, , ,)
1
t
1
yzt
Vt
V
c
Vx
2
c
V
c
со скоро-
K
2
2
2
2
в непо-
Лоренцево замедление времени
Длительность события
отсчета больше времени в той системе отсчета, где тело покоится (
в движущейся со скоростью V системе
t
–
t
0
собственное время):
t
0
,
2
V
1
2
c
где
310 м/сc
8
– скорость света.
t
71
Лоренцево сокращение длины
x
x
Длина стержня в той системе отсчета, где он покоится, называется
собственной длиной стержня
в движущейся со скоростью
и является максимальной. Длина тела
0
системе отсчета
V
2
V
1
0
.
2
c
Поперечные размеры тел не меняются.
Закон сложения скоростей
Для случая, когда система отсчета
стемы отсчета
K со скоростью
в направлении оси Х, закон сложения
V
движется относительно си-
K
скоростей имеет вид
u
x
u
y
KK
u
z
где
u
отсчета
(, , )
uuuu – скорость относительно системы отсчета
,,
uuu
– скорость материальной точки относительно системы
yz
.
K
yz
1
u
u
uV
x
Vu
x
2
c
V
1
y
c
Vu
x
1
2
c
V
1
z
c
Vu
x
1
2
c
2
2
,
KK
2
2
u
u
u
x
1
u
y
u
z
uV
x
Vu
x
2
c
V
1
y
z
1
c
Vu
x
1
2
c
V
1
c
Vu
x
2
c
2
2
,
2
2
;K
72
Задача 31. В оба конца вагона поезда, движущегося со скоростью
K
x
x
x
x
60 км/ч,V
ряют молнии. Какое время между ударами
жиры в вагоне, если длина вагона
Дано:
60 км/час 16,67 м/с,
V
20 м.
одновременно с точки зрения наблюдателя на земле уда-
зарегистрируют пасса-
t
?
20 м
Свяжем с неподвижным наблю-
3
60 10
3600
?t
дателем систему отсчета
а с вагоном поезда – систему от-
счета
.
K
,
Пусть удар молнии в начало вагона – это событие 1 (
подвижного наблюдателя,
нии в хвост вагона – событие 2 (
Разница времени для пассажиров в вагоне
– для пассажиров в вагоне), а удар мол-
,
t
11
,
t
22
и
– соответственно).
,
t
22
tt t
21
,
11
.
t
Воспользуемся преобразованиями Лоренца:
Vx
1
t
1
2
t
1
c
2
V
1
2
c
t
t
,
2
Vx
2
2
2
c
.
2
V
1
2
c
Из условия одновременности для неподвижного наблюдателя
Vx Vx
12
tt
12
22
cc
22
VV
11
22
cc
,
или
Vx Vx
12
tt
12
22
cc
.
– для не-
tt
12
73
Тогда с учетом того, что длина вагона
x
Vx x
ttt
21
Ответ:
3, 7 10 сt
21
22 2
cc
15
.
16,67 20
V
310
x
21
8
, получим
15
3, 7 10 с
.
Задача 32. Собственное время жизни некоторой нестабильной ча-
стицы
0
раторной системе отсчета, где ее время жизни
Дано:
10 нс,t
0
20 нс.t
?
. Какой путь пройдет эта частица до распада в лабо-
10 нсt
?
20 нсt
Чтобы найти расстояние
относительно неподвижного наблюдателя, необходимо знать ее скорость
, которое пройдет частица
:V
.
Vt
Скорость можно найти из формулы замедления времени:
t
t
0
;
()1 ( )
2
V
1
2
c
V
tt
2
110,75
22
ct
0,75 3 10 0, 75 2, 6 10 м/с.Vc
Тогда искомое расстояние
Ответ:
5, 2 м.
Задача 33. В системе отсчета
длина которого
45
с осью
0
Х
. Стержень расположен так, что составляет угол
1 м
. Определить длину стержня и угол в системе
22
2
c
2
()
t
0
()
2,610 2010 5,2 м.Vt
88
89
покоится стержень, собственная
K
10
20
;
0
2
2
V
2
()
V
1
22
()
ct
;
74
2
t
0
;
отсчета ,K если скорость движения системы отсчета
x
X
X
К
y
y
K равна
Дано:
1 м,
0
45 ,
0,8 .V с
?,
?
0,8 .V с
Длина стержня
в системе отсчета K
22
y
Y
Y
К
x
0
0
V
0x
относительно
K
.
Согласно преобразованиям Лоренца координаты, перпендикулярные направлению движения, не меняются при переходе из одной системы отсчета в другую, тогда
00
yy
sin .
Координата в направлении движения уменьшается:
22
xx
VV
1cos1
00
22
cc
.
Тогда длина стержня
2
2
1 (cos ) 1 1 (cos 45 )
0
sin cos 1
00
222
Vc
22
cc
1 0,8 (cos 45 ) 0,82 м.
22
22
0,8
2
V
2
c
75
Угол в системе отсчета K можно найти из геометрии
X
X
К
y
y
tg
x
tg 45 1
1
sin
0
cos 1 1
0
2
(0,8 )
c
2
c
arctg1,67 59,09 .
Ответ:
0,82 м,
59,09 .
Задача 34. Частица движется под углом
стью
со скоростью
угол
,
Дано:
30 ,
0,5 ,uc
0, 2 .Vc
?
В положительном направлении оси X движется ракета
0,5 .uc
. С ракетой связана система отсчета
0, 2Vc
под которым частица движется относительно оси
Чтобы найти искомый угол в системе отсчета
воспользоваться релятивистским законом сложения скоростей.
22
VV
22
cc
tg
1, 67,
10,64
30
к оси X со скоро-
. Найти
K
в ракете.
X
,K
надо
Y
Y
u
y
К
u
u
x
Проекции скорости частицы в системе отсчета
u
u
V
u
x
K можно найти из
геометрии
, sin 30
cos30
uu
x
uu.
y
76
Проекция скорости
x
u
0,5 cos 30 0, 2 0,5 cos30 0,2
cc
1
0, 2 0, 5 cos30
cc
на ось
u
uV
x
x
Vu Vu
1
2
c
в системе отсчета
X
uV
cos30
x
2
c
10,20,5cos30
cos30
1
c
2
cc
K
0, 26 .
Проекция скорости
u
u
на ось
y
uu
1sin301
y
y
Vu V u
1
c
c
0, 2
c
0,5 sin 30 1
cc
0, 2 0, 5 cos30
1
Угол
Ответ:
в системе отсчета
arctg arctg arctg 46, 08
46,08 .
c
2
c
u
y
uc
x
в системе отсчета
Y
22
VV
22
cc
cos30
x
2
1
2
0,5 sin30 1 0,2
10,20,5cos30
можно найти из геометрии
K
c
0, 27 0, 27
0, 26 0, 26
2
c
K
2
cc
0, 27 .
.
Задачи для самостоятельного решения
167. В оба конца вагона поезда, движущегося со скоростью
60 км/час,V
ряют молнии. Какое время между ударами
движный наблюдатель, если длина вагона
одновременно с точки зрения пассажира в вагоне уда-
зарегистрирует непо-
t
?
20 м
77
168. Две нестабильные частицы движутся в K системе отсчета в од-
X
ном направлении со скоростью
системе отсчета
120 м.
В некоторый момент частицы распадаются
Расстояние между ними в этой
0,99 .Vc
одновременно в системе отсчета, связанной с ними. Какой промежуток
времени между распадами зафиксировали в
из частиц распалась раньше в
169. В системе отсчета
лельно оси
системы отсчета ,K происходит вспышка света. Пучок
света направлен вдоль оси
K системе отсчета?
,K
движущейся со скоростью
. Отразившись от зеркала, пучок возвраща-
Y
K системе отсчета? Какая
парал-
0,6Vc
ется в исходную точку через 5 мкс. Полагая, что испускание света – событие А, возвращение света в исходную точку – событие В, найти время
и расстояние между этими событиями в системе отсчета
170. В системе отсчета
K происходит событие А, через
.K
в дру-
5 ct
гой точке этой же системы отсчета происходит событие В. На каком рас-
стоянии в системе отсчета
в системе отсчета
они были одновременны? Система отсчета
K
жется со скоростью
K должны происходить эти события, чтобы
параллельно оси X системы отсчета .K
0, 2Vc
K
дви-
171. Найти, во сколько раз увеличится время жизни нестабильной ча-
стицы по часам неподвижного наблюдателя, если скорость движения
частицы
0,6 .Vc
172. На космическом корабле находятся часы, синхронизирован-
ные до старта с часами на Земле. Сколько времени пройдет на ракете,
когда на Земле пройдет 1 год? Скорость движения ракеты
0,5 .Vc
Сколько времени пройдет на ракете, если она движется со скоростью
7,9 км/сV
?
173. Собственное время жизни некоторой нестабильной частицы
Какой путь пройдет эта частица до распада в лабораторной
5 нc.t
0
системе отсчета, если в этой системе отсчета жизни частицы
174. В лабораторной системе отсчета
до момента распада пролетел расстояние
-мезона
0,99999 .Vc
Определить собственное время жизни -ме-
-мезон с момента рождения
. Скорость движения
100 м
10 нc?t
зона.
175. Собственное время жизни
ния до места распада
расстояние
6 км.
-мезон пролетел в лабораторной системе отсчета
С какой скоростью двигался -мезон?
-мезона
2 мкc.t
0
От места рожде-
78
175. С какой скоростью должно двигаться тело, чтобы его продоль-
X
X
ный размер сократился в два раза?
176. Определить собственную длину стержня, если в лабораторной
системе отсчета скорость стержня
между ним и направлением его движения
177. В системе отсчета
торого
30
0
отсчета
K равна
0
с осью
K , если скорость движения системы отсчета
Стержень расположен так, что составляет угол
5 м.
. Определить длину стержня и угол в системе
X
.
0, 2Vc
178. В системе отсчета
параллельны оси
,
гуры в системе отсчета
относительно
K равна
179. В системе отсчета
параллельны оси
,
диагоналями фигуры в системе отсчета
стемы отсчета
относительно K равна
K
180. В системе отсчета
покоится стержень, собственная длина ко-
K
покоится квадрат, две стороны которого
K
длина стороны
если скорость движения системы отсчета
,K
.
0, 2Vc
покоится квадрат, две стороны которого
K
длина стороны
K , если скорость движения си-
K покоится равнобедренный прямоугольный
треугольник, один из катетов которого параллелен оси
Определить: 1) площадь треугольника в системе отсчета
2 м.a
2) угол между одним из катетов и гипотенузой в системе отсчета
если скорость движения системы отсчета
и направлена вдоль оси X.
0,5Vc
181. Две релятивистские частицы движутся со скоростями
и
2
вдоль одной прямой. Определить скорость одной из частиц
0,8Vc
длина
0, 2 ,Vc
.
30
Определить площадь фи-
1 м.a
Определить угол между
2 м.a
0,5 .Vc
относительно K равна
K
2 м,
относительно
K
длина катета
,X
а угол
K
0,5Vc
1
относительно другой, если: 1) они движутся друг за другом, 2) они движутся навстречу друг другу.
182. Ион, вылетев из ускорителя, испустил фотон в направлении своего движения. Определить скорость фотона относительно ускорителя,
если скорость иона относительно ускорителя равна
183. Космический корабль улетает с Земли со скоростью
0,5 .Vc
0,5 ,Vc
1
с корабля стартует ракета в направлении от Земли со скоростью
;K
,K
79
относительно корабля. Найти скорость ракеты относительно
E
0,8Vc
2
Земли.
184. Частица движется в системе отсчета
60
под углом
стеме отсчета
рость системы отсчета
и равна
0, 2Vc
к оси .X Найти скорость движения частицы в си-
и угол
K
под которым она движется к оси
,
относительно K направлена вдоль оси X
K
.
185. Частица движется в системе отсчета
60
под углом
стеме отсчета
K и угол
к оси
рость системы отсчета
и равна
0, 2 .Vc
. Найти скорость движения частицы в си-
X
, под которым она движется к оси X. Ско-
относительно Kнаправлена вдоль оси
K
15. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА
Релятивистский импульс
mV
0
1
V
c
P
K
со скоростью
X
со скоростью 0, 5uc
K
,
2
2
0,5uc
. Ско-
где
– масса покоя частицы.
m
0
Энергия и масса связаны соотношением
2
mc ,
m
где
m
0
1
.
2
V
2
c
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]