Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика. Задачи с примерами решения. Учебное пособие
.pdf
16. Камень массой
к горизонту со скоростью
300 гm
брошен с башни под углом
5 м/с,V
0
высота башни 10 м.h Найти им-
30
пульс камня в момент падения на землю и изменение импульса камня за
время движения.
2. ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ
Вектор перемещения, средняя скорость
Пусть материальная точка движется в некоторой системе отсчета.
Кривая, вдоль которой движется материальная точка, называется тра-
екторией, а длина траектории – это путь, пройденный материальной
точкой. Вектор перемещения
,r
где
r
– радиусы-векторы, характеризующие положение материаль-
2
1
ной точки в начальный и конечный момент.
Средней скоростью называется отношение вектора перемещения
к промежутку времени, за который произошло перемещение,
V
21
r
t
,rr r
.
Вектор средней скорости направлен так же, как вектор перемещения.
11
Задача 5. Материальная точка равномерно движется по окружности
А
5 см.R
радиусом
Найти вектор перемещения материальной точки
и вектор средней скорости, если она пройдет четверть окружности
2 c.t
за время
Дано:
5 см,R
2ct
?, ?rV
Нарисуем радиусы-векторы точки в начальном
(точка А) и конечном (точка В) положениях. Вектор
перемещения направлен от точки А к точке В.
r
r
1
В
r
2
Модуль вектора перемещения
22
12 1
2 2 0,05 0, 07 м.rr r r
Модуль вектора средней скорости направлен туда же, куда и вектор
перемещения,
r
Ответ:
V
0,07 м, 0,035 м/c.rV
0,07
t
0,035 м/c.
2
Задачи для самостоятельного решения
17. Материальная точка равномерно движется по окружности радиу-
сом
10 см.R
того как она пройдет четверть окружности. Решение пояснить рисунком.
18. Материальная точка равномерно движется по окружности радиу-
сом
10 см.R Найти вектор перемещения материальной точки после
того как она пройдет половину окружности. Решение пояснить рисунком.
Найти вектор перемещения материальной точки после
12
19. Материальная точка равномерно движется по окружности радиу-
x
сом
10 см.R
Найти вектор перемещения материальной точки после
того как она пройдет три четверти окружности. Решение пояснить рисунком.
20. Материальная точка равномерно движется по окружности радиусом
сле того как она пройдет три четверти окружности за время
10 см.R
Найти вектор средней скорости материальной точки по-
2 c.t
Ре-
шение пояснить рисунком.
21. В начальный момент положение материальной точки характери-
зуется радиусом-вектором
времени – радиусом-вектором
210 8см,ri jk
1
923см.rijk
2
в конечный момент
Найти длину век-
тора перемещения.
Мгновенная скорость, мгновенное ускорение
Мгновенная скорость – производная радиуса – вектора точки по
времени
Мгновенная скорость в каждый момент времени направлена по ка-
сательной к траектории движения.
Мгновенным ускорением называют производную мгновенной ско-
рости по времени (вторая производная вектора перемещения по времени):
a
dr
Vdt
dV d r
dt
dt
.
2
.
2
Вектор можно задать через его проекции на оси координат и единич-
ные орты координатных осей.
(, , ,) () () (),r x y zt xti yt j ztk
(, , ,) ,
Vxyzt Vi Vj Vk
dr x y z t
(, , ,)
dt
13
yz
() () ()
х
x
х
x
x
x
x
где
dx t dy t dz t
VVV
xyz
,,
dt dt dt
динат.
Модуль скорости
(, , ,) .
Vxyzt VVV
– проекции скорости на оси коор-
222
у z
Аналогично можно записать для ускорения:
(, , ,) ,
axyzt ai a j ak
(, , ,)
dV x y z t
dt
dV
aa a
xy z
dt dt dt
222
() () ()
dxt dyt dzt
x
=, ,
222
dt dt dt
(, , ,) .
axyzt aaa
dV
y
yz
222
у z
Задача 6. Две материальные точки движутся по законам
Bt Ct
11
5 м/c;B
2
2
и
ABtCt
222 2
1 м/c ,C
1
2
2
где
,
2
4 м/c .C
2
10 м,A
1
Определить время, когда скоро-
dV
z
,
A
11
1 м;A
2
2 м/c,B
1
сти точек будут одинаковы. Вычислить ускорения первой и второй точки
в этот момент. Вычислить скорости точек в этот момент.
Дано:
ABtCt
111 1
ABtCt
222 2
10 м,A
1
2 м/c,B
1
1 м/c ,C
1
4 м/c ,C
2
() ().Vt Vt
12
() ?,at
?,t
1
() () ?Vt V t
12
1 м,A
2
2
2
2
2
,
5 м/c,B
2
2
,
() ?,at
По определению, мгновенная скорость – это первая производная перемещения по времени. Найдем зависимости
скоростей от времени для материальных
точек:
dx
VBCt
VBCt
1
111
dt
dx
2
222
dt
2,
.
2
14
Чтобы найти время, когда скорости равны, нужно приравнять полу-
х
ченные выражения для скоростей:
откуда выразим время
22,BCtB Ct
112 2
и подставим численные значения коэффициентов
t
BB
21
t
CC
2( ) 2(1 4)
12
52
0,3 c
.
Найдем скорости точек. Достаточно найти скорость одной точки,
у второй скорость будет такой же:
( 0,3) 2 2 2 1 0,3 2,6м/сVt B Ct
111
.
Чтобы найти ускорения точек, надо взять производные по времени
от скоростей.
dV
1
aCt
11
2,
dt
Найдем ускорения в момент
2210,30,6 м/с ,aCt
11
2240,32,4м/с .aCt
22
Ответ:
0,6 м/с ,a
1
Задача 7. Радиус-вектор материальной точки меняется со временем
по закону
0,3 c,t
2
2
23
235,rtitjtk
(0,3) (0,3)2,6м/с,Vt Vt
21
2
2,4 м/с .a
где
Вычислить скорость и ускорение в момент времени
Дано:
23
235,rtitjtk
2 c.t
() ?,at () ?Vt
Скорость материальной точки
VV V
dV
aCt
0,3 c:t
2
22
dt
2.
2
2
– орты координатных осей.
,,ijk
2 ct .
VVVV
dx dy dz
xy z
dt dt dt
222
у z
, ,
,
.
15
Вычислим проекции скорости на координатные оси:
х
2
(2 )
dx d t
Vt
x
Vt
y
=4,
dt dt
3
(3 )
dy d t
=9,
dt dt
dz d t
V
z
dt dt
(2)428м/с,
Vt
x
2
(2)9236м/с,
Vt
y
(5 )
=5м/с
.
2
Скорость в момент
(2) 8 365 138537,2 м/с
Vt V V V
222 2 22
х yz
2 ct
Ускорение материальной точки находится аналогично:
a aaa
a
x
dV
at
y
y
dt dt
2
dt
(9 )
=18
Тогда ускорение в момент
( 2) 4 36 1312 36, 2 м/с
at aaa
222 2 2 2
хуz
Ответ:
(2)37,2м/сVt
222
у z
dV
x
(4 )
dt
dt dt
(2)18236 м/с
at
,
y
dV
adt
z
z
2 ct
,
(2)36,2 м/сat
4 м/с ,
.
0
,
2
.
2
,
.
2
.
16
Задачи для самостоятельного решения
s
s
s
x
x
22. Путь, пройденный материальной точкой, описывается уравнением
23
ABtCt Dt где
Найти скорость и ускорение точки в момент
,
8 м,A
2 м/c,B
1 c.t
23. Путь, пройденный материальной точкой, описывается уравнением
2
ABtCt где
,
5 м,A
3 м/c,B
5 м/c .C Найти момент
времени, в который скорость точки будет равняться нулю. Вычислить
ускорение точки в этот момент и путь, пройденный точкой за это время.
24. Путь, пройденный материальной точкой, описывается уравнением
23
ABtCt Dt где
,
15 м ,A
12 м/c,B
Вычислить момент времени, при котором ускорение точки будет равно
нулю. Найти скорость точки в этот момент и путь, пройденный точкой
за это время.
25. Две материальные точки движутся по законам
и
ABtCt
222 2
2
5 м/c ,C
1
2
где
,
2
4 м/c .C
2
Определить момент времени, в который ско-
9 м,A
1
3 м,A
2
1
рости точек будут одинаковы. Вычислить ускорения первой и второй
точек в этот момент. Вычислить скорости точки в этот момент.
26. Радиус-вектор материальной точки меняется со временем по за-
кону
32 4
10 3 2 ,rtitjtk
числить скорость и ускорение в момент
27. Радиус-вектор материальной точки меняется со временем по за-
кону
512 2,rti tjtk
23
числить скорость и ускорение в момент
где
где
– орты координатных осей. Вы-
,,ijk
3 c.t
– орты координатных осей. Вы-
,,ijk
2 c.t
2
6 м/c ,C
5 м/c .D
2
2
2 м/c ,C
ABtCt
111 1
2 м/c,B
2
1 м/c .D
2 м/c,B
3
3
2
Криволинейное движение
Нормальное и тангенциальное ускорение
В некоторых случаях при описании криволинейного движения удобно
раскладывать ускорение на
тангенциальную составляющую
направленную по касательной к траектории движения в данной точке,
17
(τ),
и на нормальную составляющую
R
ной
(),n
перпендикулярную касатель-
τ ,
aa an
τ
V
a
n
aaa
n
2
,
a
τ
ρ
22
τ
n
dV
=,
dt
,
где
– радиус кривизны траектории. При движении по окружности ра-
диус кривизны траектории равен радиусу окружности.
Задача 8. Материальная точка движется по окружности радиуса
5 м.R
В некоторый момент ее нормальное ускорение
a
n
5 м/с
2
и угол между направлением скорости и полного ускорения составляет
60 .
Найти: 1) скорость точки ;V 2) тангенциальное ускорение
n
;a
3) полное ускорение точки a.
τ
Скорость точки можно найти из известных
5 м/с ,
60 ,
5 м.R
?,V
τ
2
?,a
?a
нормального ускорения и радиуса окружности
V
a
n
2
откуда
,
VaR
n
55 5 м/с
.
точки
Дано:
a
Cкорость и тангенциальное ускорение направлены по касательной
к траектории движения, а нормальное ускорение – перпендикулярно им.
a
n
tg
Из рисунка видно, что
a
τ
a
τ
a
n
tg tg60
, откуда
5
=2,89 м/с
2
.
18
Полное ускорение точки
B
22 2 2 2
aaa
τ
Ответ:
5 м/с,V
Задача 9. Радиус-вектор материальной точки меняется со временем
по закону
10 мA
()rABtiCtj
,
0,5 м/c ,B
мальное ускорение
Дано:
(),rABtiCtj
10 м,A
0,5 м/c ,B
3 м/c,C
3 c.t
?,a
τ
a
n
2
2
?
2
2
a
и тангенциальное ускорение
n
надо знать модуль скорости точки
проекции скорости на координатные оси:
58,66 10010м/с .
n
8,66 м/сa
, где
3 м/cC
2
,
,ij
– орты координатных осей,
. Вычислить в момент
2
10 м/с .a
3 ct
a
.
τ
Чтобы найти тангенциальное ускорение,
=dVa
τ
Чтобы найти модуль скорости, надо знать
()
2
.
()
dx d A Bt
VBt
=2,
x
dt dt
dy d Ct
VC
y
dt dt
Тогда модуль скорости
VVV BtC
22 22
xy
(2 )
.
ее нор-
.
dt
Вычислим тангенциальное ускорение
dV
=42
aBt
τ
dBtC
dt dt
(2 )
22
14
22 22
tC BtC
2(2 ) (2 )
2
Bt
2
.
Подставим численные значения:
22
44(0,5)33
(3) 0,71 м/с .
at
τ
Bt
22 22
(2 ) ( 2 0,5 3) 3
Bt C
19
4, 24
2
Нормальное ускорение можно найти, если известно полное ускоре-
R
А
А
ние и тангенциальное. Тангенциальное ускорение мы нашли, найдем
полное:
aai aj i j i j Bi
xy
dV
dt dt dt dt
dV
x
y
(3)2 1 м/cat B .
(2 ) ( )
dBt dC
2
.
2
Выразим нормальное ускорение из уравнения
22
aaa
n
,
τ
222
aaa
τ n
, откуда
и, подставив численные значения, получим
22 2 2
τ
2
,
a
n
0,7 м/с
2
.
Ответ:
( 3) 1 0,71 0, 7 м/с
at a a .
n
0,71 м/сa
Задачи для самостоятельного решения
28. Движение материальной точки по окружности радиусом 2 м
происходит по закону
0,3 см/с .С Для момента
точки
3
a
.
n
23
ВtCt
4 ct
где 10 см,А
,
вычислить нормальное ускорение
29. Движение материальной точки по окружности радиусом
происходит по закону
2
5 м/с ,С
ускорение точки
4 м/с .D Для момента
a
.
n
ВtCt Dt
3
23
где
,
1 ct
вычислить нормальное
1 м,А
30. Материальная точка движется по окружности радиусом
В некоторый момент ее нормальное ускорение
a
n
9 м/с
между направлением скорости и направлением полного ускорения со-
30
ставляет
рение точки
Найти: 1) скорость точки V; 2) тангенциальное уско-
;a
3) полное ускорение точки a.
0,5 см/с ,В
2
2
3 мR
2 м/с,В
2 м.R
и угол
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]