Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика. Задачи с примерами решения. Учебное пособие
.pdf
колец. Найти момент инерции J системы относительно оси, проходящей
R
R
R
R
J
R
R
R
B
через точку О.
1
O
m
1
2
m
2
1
m
1
2
O
m
2
а б
122. Найти момент инерции J тонкого однородного диска радиусом
10 смR
и массой
относительно оси, перпендикулярной
300 гm
диску и проходящей через его центр масс.
123. Диаметр диска
10 смd
, масса
. Найти момент инер-
150 гm
ции диска относительно оси, перпендикулярной диску, проходящей:
а) через середину одного из радиусов; б) через точку на краю диска.
124. Найти момент инерции
относительно оси, проходящей через его центр масс.
300 гm
шара радиусом
125. Снежная баба состоит из трех шаров радиусами
2
3
и
30 смR
. Плотность снега
40 смR
150 кг/м .
3
и массой
10 смR
10 см,R
1
Найти момент
инерции снежной бабы относительно оси, перпендикулярной оси симметрии снежной бабы и проходящей: а) через точку С; б) через точку В;
в) через точку А.
A
1
2
3
C
51
10. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Кинетическая энергия вращательного движения твердого тела во-
круг неподвижной оси
2
J
T
вр
– момент инерции твердого тела; – угловая скорость.
где
J
В общем случае плоского движения тела его движение можно разложить на поступательное движение со скоростью движения центра
масс
и вращательное движение вокруг оси, проходящей через центр
V
С
масс (С)
mV JT
СС
.
22
Задача 24. Найти кинетическую энергию T катящегося без скольже-
ния шара массой
0,05 кгm
движется со скоростью
и радиусом
.
2 м/сV
Дано:
0,05 кг,m
5 см 510 м,R
2 м/с.V
?T
2
Движение без скольжения означает, что
в каждый момент только одна точка шара
соприкасается с плоскостью.
,
2
22
5 смR
, если его центр масс
Кинетическая энергия тела
22
mV JT
СС
22
2
2
где
mR
J
С
– момент инерции шара относительно оси, проходящей
5
через центр масс, скорость центра масс
52
VV
С
,
V
С
ω
,
.
R
Кинетическая энергия
R
2
2
mR
22
mV mV
TmV
5
2225
0,7 5 10 2 0,14 Дж.
Ответ:
0,14 Дж.T
Задача 25. Шар массой
без скольжения с наклонной плоскости высотой
рость шара
в конце наклонной плоскости.
V
Дано:
0,05 кг,m
5 см 510 м,R
80 см 0,8 м.h
?V
2
2
V
С
R
22
0,05 кгm
m
h
радиусом
2
10,7
2
скатывается
5 смR
80 см.h
Найти ско-
Задача решается с помощью закона сохранения энергии: в началь-
ный момент шар обладал потенциальной энергией
mgh
, в конце плос-
кости у него была кинетическая энергия поступательного движения
2
mV
и кинетическая энергия вращательного движения
2
22
mgh
mV J
.
J
2
.
2
22
V
ω
Так как шар катится без скольжения, то
, момент инерции
шара относительно оси, проходящей через центр масс:
2
2
mR
J
С
,
5
0,7mgh mV
2
.
53
Скорость шара V в конце наклонной плоскости
gh
V
9,8 0,8
3, 35 м/с.
0,7 0,7
Ответ:
3, 35 м/с.V
Задачи для самостоятельного решения
126. Обруч и сплошной цилиндр, имеющие одинаковую массу
0,3 кг,m
скоростью
ного цилиндра
127. Шар катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Ки-
нетическая энергия шара
ступательного движения шара
ного движения шара
128. Полый тонкостенный цилиндр массой
скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью
налетает на вертикальную стену и отскакивает от нее со скоростью
2 м/с.V
2
129. Обруч и диск одинаковой массы катятся без скольжения по го-
ризонтальной плоскости с одинаковой скоростью. Кинетическая энергия обруча
130. Карандаш длиной
на стол. Найти линейную скорость
ния. Считать, что нижний конец карандаша не проскальзывает.
131. Полый цилиндр скатывается без скольжения с наклонной плоскости с высоты
наклонной плоскости. Чему равна скорость сплошного цилиндра
тех же условиях?
132. С наклонной плоскости, составляющей угол
скатывается без скольжения шарик. Пренебрегая трением, определить
катятся без скольжения по горизонтальной плоскости со
Найти кинетическую энергию обруча
5 м/с.V
.T
2
21 Дж.T
.
T
2
Найти кинетическую энергию по-
и кинетическую энергию вращатель-
T
1
0,3 кгm
и сплош-
T
1
катится без
5 м/с,V
1
Найти тепло Q, выделившееся при ударе .
50 Дж.T
1
Найти кинетическую энергию диска
15 см,
100 см.h
поставленный вертикально, падает
острия карандаша в момент паде-
V
Найти скорость цилиндра V в конце
.
T
2
при
V
1
30 с горизонтом,
54
время движения шарика, если известно, что высота наклонной плоско-
M
F
z
M
J
сти
133. Диск с дырками радиусом
ется без скольжения с наклонной плоскости длиной
наклона
его скорость в конце наклонной плоскости составляла
30 см.h
и массой
0,3 мR
30
к горизонту. Определить момент инерции диска, если
2 кгm
5 м
2 м/с.V
скатыва-
и углом
134. Полый тонкостенный цилиндр катится вдоль горизонтальной
плоскости без скольжения со скоростью
пути
которую он пройдет при подъеме в гору за счет своей кинети-
,
10 м/с.V
ческой энергии, если угол наклона горы к горизонту
Определить длину
30 .
11. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ
ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Момент силы
где
– радиус-вектор, проведенный от точки О к точке приложения
r
силы
Направление момента силы определяется правилом вектор-
.
ного произведения.
Момент силы относительно оси
равная проекции на эту ось момента силы, определенного относительно
произвольной точки О на оси.
Основное уравнение динамики вращательного движения твер-
дого тела
M
относительно точки О
[]
rF
,
sin ,MrF
– это скалярная величина,
M
где
– момент инерции твердого тела относительно оси z,
z
ловое ускорение тела.
ε,
J
zz
55
ddt
– уг-
Задача 26. Стержень массой
M
M
M
M
M
M
M
500 гm
и длиной
может
0,8 м
вращаться вокруг оси, проходящей через его центр масс С, перпендику-
лярно стержню. На стержень действуют силы
75 Н,F
3
200 Н
так, как показано на рисунке. Угол
ускорение вращения стержня
120 Н,F
4
120 Н,F
4
.
.
160 Н,F
5
150 Н,F
1
180 Н,F
6
. Найти угловое
30
90 Н,F
2
F
7
F
7
F
F
5
α
6
F
4
/3
/4
F
2
C
F
3
F
1
Дано:
1
3
5
7
30 ,
?
150 Н,F
75 Н,F
160 Н,F
200 Н,F
90 Н,F
2
4
6
500 г,m
0,8 м.
120 Н,F
180 Н,F
Задача решается с помощью уравне-
ния динамики вращательного движения
,
J
где
на ось вращения.
– сумма проекций моментов сил
Момент инерции стержня относи-
тельно оси, проходящей через центр масс,
2
m
J
.
12
Направления моментов сил показаны на рисунке
F
7
F
6
6
5
F
5
α
C
F
4
4
F
2
F
3
2
F
1
1
Выберем положительное направление момента силы «на нас» и за-
пишем уравнение динамики вращательного движения:
MMMMJ
24561
56
.
Момент силы
р
так как сила приложена к точке, лежащей на
0,M
3
оси вращения.
Момент силы
так как синус угла между приложенной силой
0,M
7
и радиусом-вектором равен нулю.
Вычислим моменты сил для каждой силы:
MF F
11 1
MF F
21 2
MF F
44 4
MF
MF
sin 90 150 60 Нм,
222
23 6 6
sin 90 90 12 Нм,
sin 90 120 24 Нм,
444
55
66
sin 30 160 16 Нм,
442
sin 90 180 72 Нм
22
0,8
0,8
0,8
0,8 1
0,8
Момент инерции
22
0,5 0,8
0,027 кг м .
m
J
12 12
Угловое ускорение
MMMMM
24561
J
12 24 16 72 60
0,027
.
2
1185,19
2
ад/с .
Ответ:
1185,19 рад/с .
2
Задача 27. Через блок, имеющий форму диска, перекинут легкий не-
растяжимый шнур, на котором подвешены грузики массой
и
массой
2
если масса блока
С каким ускорением a будут двигаться грузики,
100 г.m
?
500 гm
57
1
150 гm
Дано:
M
M
M
R
R
1
2
500 г.m
?a
150 г,m
100 г,m
Поскольку масса первого грузика больше, блок будет вращаться
по часовой стрелке и грузики будут
двигаться с ускорением
так, как
a
показано на рисунке.
T
2
a
T
2
m
2
mg
2
Второй закон Ньютона для первого грузика
111
,ma mg T
ma mg T
111
.
Аналогично для второго грузика
222
,ma mg T
222
.ma mg T
Для блока необходимо записать основное уравнение динамики вра-
щательного движения
,
J
m
T
1
a
T
1
m
1
где
на блок
где
– сумма проекций на ось вращения моментов сил, действующих
сиилыTT
12
TTR
12
,
– радиус блока.
Шнур не растягивается, поэтому
11
,TT
TT
22
, и основное уравне-
ние динамики вращательного движения для блока примет вид
()TT J
12
.
Линейное ускорение движения грузов a и угловое ускорение вра-
a
щения блока
2
mR
J
. Тогда
связаны соотношением
, момент инерции диска
2
58
2
R
F
F
TTR
() ,
12
mR a
2
TT
12
ma
2
,
ma
,
2
9,8 0,98 м/с
500
2
.
Ответ:
mg a m g a
()()
12
mm
ag
12
mm
12
0,98 м/с .a
m
22
2
150 100
150 100
Задачи для самостоятельного решения
135. Тонкий стержень длиной
проходящей через центр масс перпендикулярно стержню. Найти момент силы, действующий на стержень относительно оси, проходящей
через центр масс, если на стержень действует сила
С
136. Тонкий стержень длиной
проходящей через центр масс перпендикулярно стержню. Найти момент силы, действующий на стержень относительно оси, проходящей
через центр масс, если на стержень действует сила
30 .
может вращаться вокруг оси,
0,8 м
200 Н.F
может вращаться вокруг оси,
0,5 м
300 НF
, угол
С
137. Тонкий стержень массой
500 гm
и длиной
может
0,8 м
вращаться вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно
стержню. На стержень действуют силы
1
15 Н,F
2
9 Н,F
3
8 Н,F
59
12 Н,F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
4
сунке. Угол
5
16 Н,F
45
6
. Найти угловое ускорение вращения стержня .
7
F
6
18 Н,F
α
7
/4
5
F
4
так, как показано на ри-
20 НF
F
2
C
O
3
/3
F
1
138. Тонкий стержень массой
500 гm
и длиной
может
0,8 м
вращаться вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно
стержню. На стержень действуют силы
12 Н,F
4
сунке. Углы
стержня
.
5
16 Н,F
45 ,
7
6
6
18 Н,F
30 .
7
Найти угловое ускорение вращения
/4
5
α
C
4
1
20 НF
3
2
15 Н,F
2
9 Н,F
8 Н,F
3
так, как показано на ри-
O
1
/3
139. Через блок, имеющий форму диска, перекинут легкий нерастя-
жимый шнур, на котором подвешены грузики массой
С каким ускорением a будут двигаться грузики, если масса
100 г.m
2
блока
?
400 гm
1
и
50 гm
m
m
m
2
1
140. Через блок, имеющий форму диска, перекинут легкий нерастя-
жимый шнур, на котором подвешены грузики массой
1
500 гm
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]