Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика. Задачи с примерами решения. Учебное пособие
.pdf
31. Материальная точка движется по окружности радиусом
В некоторый момент ее скорость
10 м/сV
нием скорости и полного ускорения составляет
мальное ускорение точки
;na
2) тангенциальное ускорение точки
и угол между направле-
30
. Найти: 1) нор-
3) полное ускорение точки a.
32. Нормальное ускорение материальной точки, движущейся по
5 м,R
окружности радиусом
Найти в момент времени
ускорение
33. Радиус-вектор материальной точки меняется со временем по за-
кону
0,5 м/cB
ускорение
;a
3) полное ускорение a.
2
() ,rABtiCtj
,
0,7 м/cC . Вычислить в момент
a
и тангенциальное ускорение
n
где
2
34. Камень брошен с башни горизонтально со скоростью
2 ct
Найти в момент
циальное
a
ускорение.
τ
скорость камня V, его нормальное
35. Камень брошен с башни высотой
ростью
10 м/cV
0
. Найти в момент, равный половине времени полета,
задается уравнением
5 ct
: 1) скорость точки V; 2) тангенциальное
25 8.
att
n
,ij
– орты координатных осей,
2 ct
ее нормальное
a
.
τ
0
a
и танген-
n
10 мh горизонтально со ско-
30 м/c.V
радиус кривизны траектории.
36. Камень брошен под углом
ное ускорение
a
и тангенциальное ускорение
n
37. Камень брошен под углом
ное ускорение
a
и тангенциальное ускорение
n
45
к горизонту. Найти нормаль-
a
в момент броска.
τ
30
к горизонту. Найти нормаль-
a
в момент падения на
τ
землю.
38. Камень брошен под углом
4 м/c.V
0
ние
Найти нормальное ускорение
a
в момент, равный половине времени подъема камня до макси-
τ
30 к горизонту со скоростью
a
и тангенциальное ускоре-
n
мальной высоты.
5 мR
.
;a
2
0,1 м,A
21
3. ЦЕНТР МАСС СИСТЕМЫ
x
x
МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
Центр масс – воображаемая точка, описывая поведение которой
можно говорить о поведении системы в целом.
,
,Сy
Координаты центра масс
С
:Сz
где
N
mx
ii
1
i
x
С
m
– масса i-й материальной точки.
i
i
,
N
m
i
1
N
m у
ii
1
i
у
С
N
i
,
m
i
1
N
mz
ii
1
i
z
С
i
,
N
m
i
1
Длина радиуса-вектора, определяющего положение центра масс:
rxyz
СССС
222
.
Задача 10. Материальные точки расположены в вершинах квадрата
со стороной
а. Массы материальных точек и их расположение показаны
на рисунке.
Y
m 3m
4m
о
Выберем начало отсчета в точке
2m
Х
О. Координаты центра масс
N
mx
ii
mmamam ma
402 3 05
i
1
С
N
m
i
i
1
234 10
mmmm m
0,5 ,
a
22
N
С
my
ii
i
1
ya
С
N
m
i
1
m m ma ma ma
40203 4
mmmm m
234 10
i
0, 4 .
Расположение центра масс С показано на рисунке.
Y
m
3m
0,4a
4m
0,5a
2m
Х
Задачи для самостоятельного решения
39. Определить положение центра масс системы шаров, если рассто-
яние между центрами соседних шаров
a
a
m
2m
3m
40. Определить положение центра масс системы шаров, если рассто-
яние между центрами соседних шаров
a
2m
m
a
5m
a
20 см.a
a
a
5m
4m
20 см.a
4m
a
3m
41. Определить положение центра масс системы шаров, находя-
щихся в вершинах куба, если сторона куба
20 см.a
23
2m
m
a
5m
3m
4m
3m
m
a
2m
42. Определить положение центра масс системы шаров, находя-
щихся в вершинах равностороннего треугольника, если сторона треугольника
20 см.a
2m
a
a
3m
m
a
43. Определить положение центра масс системы шаров, находя-
щихся в вершинах прямоугольного треугольника, если катет равен
20 см.a
2m
a
3m
a
m
24
4. СИСТЕМА ЦЕНТРА ИНЕРЦИИ
В некоторых случаях важно не движение всей системы в целом,
а движение частиц внутри системы. В таком случае целесообразно пользоваться системой отсчета, где центр масс покоится, –
инерции (СЦИ). Суммарный импульс системы частиц в СЦИ равен 0.
Скорость центра масс
системой цетра
VmVMm
С ii i
Скорости частиц в СЦИ можно найти из закона сложения скоростей
VVV
С
системе отсчета;
,
где
V
– скорость частицы в неподвижной (лабораторной)
V
– скорость частицы в СЦИ.
NN
1
M
ii
;.
11
Задача 11. В лабораторной системе отсчета (ЛСО – система отсчета
2m
неподвижного наблюдателя) шары массой m и
ной прямой. Скорости шаров
шаров в системе центра инерции
V
2V
и
соответственно. Найти скорости
1
и 2,V
если шары движутся в одну
V
движутся вдоль од-
сторону.
Дано:
1
1
?,V
1
,mm
,VV
2,mm
2
2.VV
2
?V
2
Рисунок для ЛСО
V
m
2m
2V
X
Скорости шаров в системе центра инерции можно найти из закона
сложения скоростей:
VVV
11,С
VVV
22,С
V
где
– скорость центра масс.
C
В проекциях на ось Х скорость центра масс
22 5 5
mV m V mV
VV
C
233
mm m
25
.
Теперь можно найти скорости шаров в системе центра инерции:
X
VVV V V V
11
С
52
,
33
VVV V V V
22
С
2
51
.
33
Проверим, правильно ли мы нашли скорости: в системе центра масс
сумма импульсов должна равняться нулю:
11 2 2
0mV m V
,
подставим найденные значения скоростей
21
Vm V m
20
.
33
В СЦИ шары движутся, как показано на рисунке (шар массой m движется в противоположную оси Х сторону, потому что его скорость отрицательна):
2
V
3
m
2m
1
V
3
Задачи для самостоятельного решения
44. В лабораторной системе отсчета (ЛСО) шар массой
налетает на покоящийся шар такой же массы. Скорость шара
10 м/с.V Найти скорости шаров в системе центра инерции до удара.
45. В лабораторной системе отсчета (ЛСО) шар массой
200 гm
налетает на покоящийся шар массой
5 м/сV
1
. Найти скорости шаров в системе центра инерции до удара.
2
. Скорость первого шара
46. В лабораторной системе отсчета (ЛСО) шары массой
300 гm
и
2
5 м/сV
1
движутся в одном направлении. Скорость первого шара
. Скорость второго шара
10 м/сV
2
. Найти скорости шаров
в системе центра инерции.
100 гm
100 гm
1
100 гm
1
26
47. В лабораторной системе отсчета (ЛСО) шары массой
200 гm
и
2
15 м/сV
1
движутся навстречу друг другу. Скорость первого шара
. Скорость второго шара
10 м/сV
2
. Найти скорости шаров
400 гm
1
в системе центра инерции до удара.
48. В лабораторной системе отсчета (ЛСО) шары массой
200 гm
2
вого шара
тьего шара
и
3
5 м/сV
1
15 м/с.V
3
движутся в одном направлении. Скорость пер-
300 гm
. Скорость второго шара
10 м/сV
2
. Скорость тре-
Найти скорости шаров в системе центра инерции.
49. В лабораторной системе отсчета (ЛСО) шары массой m и
жутся перпендикулярно друг другу. Скорости шаров по модулю одина-
.V
ковы и равны
Найти скорости шаров в системе центра инерции
100 гm
1
2m дви-
V
V
и
.
2
V
VV
1
и
1
2m
V
2
50. В лабораторной системе отсчета (ЛСО) шары массой m и
движутся перпендикулярно друг другу. Скорости шаров
и
2.VV
2
Найти скорости шаров в системе центра инерции
если вдоль оси Х двигался первый шар.
,
1
,
5. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы сохраня-
ется (не меняется с течением времени):
dP
dt
Задача 12. Два шара массой
навстречу друг другу со скоростями
рости шаров после удара и направление их движения. Удар считать цен-
тральным, абсолютно неупругим.
P
0, const.
2 кг m
1
6 м/с V
1
27
и
и
5 кг m
2
3 м/с .V
2
движутся
Найти ско-
Дано:
X
1
2
6 м/с,V
1
2
?V
2 кг,m
5 кг,m
3 м/с.V
До удара шары двигались так:
V
1
m
1
V
2
m
2
После удара шары слипаются и движутся вместе, но в какую сторону,
мы точно не знаем. Поэтому направление движения можно выбрать произвольно, и если при решении получим минус, значит, слипшиеся шары
будут двигаться в противоположную сторону.
Пусть после удара шары двигались вправо со скоростью
V
m
m
2
1
X
.V
Закон сохранения импульса в проекциях на ось Х
11 2 2 1 2
(),mV m V m m V
второе слагаемое взято с минусом, потому что шар
m
движется в про-
2
тивоположную положительному направлению оси Х сторону.
Ответ:
mV m V
11 2 2
V
mm
12
0,375 м/сV
26 53 3
0,375 м/с.
88
, после удара шары движутся в противопо-
ложную положительному направлению оси Х сторону.
Задача 13. Снаряд массой
вылетевший из орудия, в верх-
5 кг ,m
ней точке траектории разорвался на два осколка. Скорость снаряда
в верхней точке траектории
3 кгm
1
полетел в обратном направлении со скоростью
Найти скорость второго осколка
300 м/с.V Больший осколок массой
100 м/с.V
1
V
.
2
28
Дано:
5 кг,m
1
300 м/с,V
100 м/с.V
1
2
3 кг,m
?V
В верхней точке траектории скорость снаряда
направлена горизонтально.
V
m
V
1
m
V
2
Закон сохранения импульса в проекциях на ось Х
m
1
2
X
mV m V m V
11 2 2
.
Импульс первого осколка взят с минусом, потому что он полетел в
противоположную положительному направлению оси Х сторону.
Направление скорости второго осколка мы не знаем; если в результате вычислений получим отрицательное число, значит, искомая скорость направлена в противоположную сторону оси Х.
Масса второго осколка
21
532 кг.mmm
Скорость второго осколка
Ответ:
mV m V
V
2
900 м/с,V
2
11
m
2
полетит в положительном направлении оси Х.
5300 3100
2
900 м/с
Задачи для самостоятельного решения
51. Снаряд массой
150 м/с,V
5 кг m
1
разорвался на два осколка. Больший осколок массой
получил скорость
Найти направление и величину скорости полета второго осколка
52. Снаряд массой
200 м/с,V
4 кг m
1
разорвался на два осколка. Меньший осколок массой
полетел со скоростью
направлении. Найти направление и величину скорости полета второго
осколка
V
.
2
8 кг,m
летящий горизонтально со скоростью
100 м/сV
1
10 кг,m
летящий горизонтально со скоростью
в направлении полета снаряда.
300 м/сV
1
в противоположном
V
.
2
29
53. Снаряд массой
M
30 м/с,V
4 кг m
1
под углом
разорвался на два осколка. Больший осколок массой
получил скорость
30
1
к первоначальному направлению полета снаряда.
Найти скорость полета второго осколка
ному направлению полета
54. Снаряд массой
200 м/с,V
10 кг m
1
лении под углом
разорвался на два осколка. Больший осколок массой
получил скорость
45
1
ряда. Найти скорость полета второго осколка
ному направлению полета
55. Снаряд массой
250 м/с,V
12 кг m
1
разорвался на два осколка. Больший осколок массой
получил скорость
местом разрыва. Найти скорость полета второго осколка
к первоначальному направлению полета
56. Снаряд массой
100 кг,m
тально со скоростью
летящий горизонтально со скоростью
6 кг,m
35 м/сV
1
,
под которым он отлетел.
2
16 кг,m
летящий горизонтально со скоростью
1
в направлении полета снаряда
V
и его угол к первоначаль-
2
350 м/сV
в противоположном направ-
к первоначальному направлению полета сна-
V
и угол к первоначаль-
2
, под которым он отлетел.
2
20 кг,m
летящий горизонтально со скоростью
350 м/сV
1
летевший на высоте
250 м/с,V
и упал на землю точно под
V
и угол
2
,
под которым он отлетел.
2
50 мh
горизон-
разорвался на два одинаковых
осколка. Первый осколок падает на землю точно под местом взрыва че-
2 сt
рез
. Определить скорость второго осколка сразу же после взрыва
и изменение импульса каждого из осколков.
57. На железнодорожной платформе массой
орудие. Снаряд вылетает из орудия под углом
2 т
установлено
30 к горизонту.
С какой скоростью покатится платформа вследствие отдачи, если масса
снаряда
200 кг,m
58. Снаряд массой
зонту со скоростью
а его скорость 250 м/сV ?
50 кг,m
летящий под углом
300 м/с,V
1
попадает в стоящую платформу с пес-
20
к гори-
ком и застревает в нем. С какой скоростью покатится платформа, если
ее масса
5 т?M
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]