Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика сплошных сред. Учебно-методическое пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
ЛУГАНСКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
ЛУГАНСКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ
«ЛУГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
С.В. Кара-Мурза
Н.В. Корчикова
А.Г. Сильчева
МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
для студентов очной и заочной форм обучения по направлениям подготовки
03.03.02 «Физика», 44.03.05 «Педагогическое образование (с двумя профилями
подготовки). Физика. Математика», 44.03.05 «Педагогическое образование (с
двумя профилями подготовки). Физика. Информатика»
Допущено Министерством образования и науки
Луганской Народной Республики
к использованию в образовательных организациях (учреждениях)
высшего образования
(приказ МОН ЛНР от 10 марта 2021 года № 171-од)
Луганск 2021
2
УДК 531/534 (076)
ББК 22.25р 3
К 21
Рекомендовано Ученым советом
ГОУ ВПО ЛНР «ЛНУ имени Тараса Шевченко»
(протокол № 6 от 31.01. 2020 г.)
Кара-Мурза С.В.
Механика сплошных сред : учебно-методическое пособие / Сост. С.В.
Кара-Мурза, Н.В. Корчикова, А.Г. Сильчева; ГОУ ВО ЛНР «ЛГПУ». –
Луганск : Книта, 2021. – 120 с.
Рецензенты:
Корсунов К.А. – заведующий кафедрой физики ГОУ ВПО ЛНР «Луганский
национальный университет имени Владимира Даля», доктор технических наук, профессор;
Калайдо А.В. – доцент кафедры технологий производства и профессионального
образования ГОУ ВПО ЛНР «Луганский национальный университет имени Тараса
Шевченко», кандидат технических наук;
Кривко Я.П. – доцент кафедры фундаментальной математики ГОУ ВПО ЛНР
«Луганский национальный университет имени Тараса Шевченко», кандидат педагогических
наук, доцент.
Механика сплошных сред занимает важное место в теоретической и
экспериментальной физике – способы описания упругих свойств изотропных и
анизотропных твердых материалов, жидкостей и газов широко используются в
физике твердого тела, физике жидкостей и газов. Пособие состоит из двух разделов.
Данное издание написано в целях оказания помощи студентам физических
специальностей в овладении элементами механики сплошных сред как части
теоретической механики.
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов очной и
заочной форм обучения по направлениям подготовки 03.03.02 «Физика»,
44.03.05 «Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки). Физика.
Математика» и 44.03.05 «Педагогическое образование (с двумя профилями
подготовки). Физика. Информатика»
УДК 531/534 (076)
ББК 22.25р 3
© Кара-Мурза С.В., Корчикова Н.В., Сильчева А.Г.
© ГОУ ВО ЛНР «ЛГПУ», 2021
3
Оглавление
Введение .............................................................................................. 5
1. Элементы теории упругости .......................................................... 8
1.1. Тензор деформаций .................................................................. 8
1.2. Тензор механических напряжений ....................................... 12
1.3. Закон Гука в обобщенной форме. Упругие постоянные..... 18
1.4. Энергия деформированного тела .......................................... 21
1.5. Упругие свойства твердых материалов, жидкостей и
газов ................................................................................................... 22
1.5.1. Упругие свойства твердых материалов ........................ 22
(кубических кристаллов и изотропной среды) .............................. 22
1.5.2. Упругие свойства жидкостей и газов ........................... 28
1.6. Практикум по решению задач ............................................... 30
1.6.1. Примеры решения задач теории упругости ................. 30
1.6.2. Задачи для аудиторного и самостоятельного
выполнения ........................................................................................ 36
1.6.3. Вопросы к промежуточной аттестации ........................ 39
2. Волны в упругих средах ............................................................... 41
2.1. Волновое движение. Уравнение волны и волновое уравнение
............................................................................................................ 41
2.2. Волны в изотропной упругой среде ...................................... 46
2.3. Упругие волны в кристаллах ................................................. 52
2.4. Упругие волны в жидкостях и газах ..................................... 57
2.4.1. Упругие волны в жидкостях .......................................... 57
2.4.2. Упругие волны в газах ................................................... 64
2.5. Энергия упругих волн ............................................................ 65
2.5.1. Общие положения ........................................................... 65
2.5.2. Энергия плоских монохроматических волн в
изотропных твердых материалах и в кубических кристаллах ..... 67
2.5.3. Плотность энергии и интенсивность упругих волн в
жидкостях и газах ............................................................................. 71
2.6. Отражение и преломление упругих волн ............................. 73
4
2.6.1. Общие положения ........................................................... 73
2.6.2. Падающая сдвиговая волна с колебаниями частиц вдоль
оси z .................................................................................................... 75
2.6.3. Падающая сдвиговая волна с колебаниями частиц в
плоскости падения ............................................................................ 78
2.6.4. Падающая продольная волна ......................................... 81
2.7. Практикум по решению задач ............................................... 84
2.7.1. Примеры решения задач теории упругих волн ............ 84
2.7.2. Задания для аудиторного и самостоятельного
выполнения ........................................................................................ 96
2.7.3. Вопросы к промежуточной аттестации ...................... 100
Ответы .............................................................................................. 102
Индивидуальные задания ............................................................... 105
Приложения ..................................................................................... 106
Приложение 1. Коэффициенты Ламе ......................................... 106
Приложение 2. Техника вычислений составляющих в законе
Гука и волновом уравнении в тензорной форме (изотропные
материалы и кубические кристаллы) ............................................ 108
Приложение 3. Сферические волны .......................................... 114
Заключение ...................................................................................... 116
Рекомендуемая литература ............................................................ 117
Предметный указатель ................................................................... 118
5
ВВЕДЕНИЕ
Учебно-методическое пособие предназначено для
самостоятельной работы студентов при изучении элементов
механики сплошных сред как части теоретической механики. В
свою очередь, теоретическая механика и механика сплошных сред
являются обязательной дисциплиной при подготовке
бакалавриата по направлениям подготовки 03.03.02 «Физика»,
44.03.05 «Педагогическое образование (с двумя профилями
подготовки). Физика. Математика» и 44.03.05 «Педагогическое
образование (с двумя профилями подготовки). Физика.
Информатика». В учебных планах бакалавриата по направлению
подготовки 44.03.05 «Педагогическое образование (с двумя
профилями подготовки) с указанными профилями подготовки
«Теоретическая механика и механика сплошных сред» является
одним из разделов учебной дисциплины «Основы теоретической
физики».
Механика сплошных сред занимает важное место в
теоретической и экспериментальной физике – способы описания
упругих свойств изотропных и анизотропных твердых материалов,
жидкостей и газов широко используются в физике твердого тела,
физике жидкостей и газов. Представление о материальной среде
как непрерывном континууме лежит в основе описания волновых
процессов в изотропных твердых материалах, кристаллах,
идеальных и вязкоупругих жидкостях, газах. Вся современная
гидродинамика, физика и техника ультразвука и ультразвуковых
исследований основаны на методах и приемах, разрабатываемых
механикой сплошных сред. Поэтому изучение основ механики
сплошных сред является необходимым элементом подготовки как
специалистов-физиков, так и преподавателей физики старшей
школы.
Предлагаемое учебно-методическое пособие состоит из двух
разделов. В первом разделе в сжатой форме представлен
6
теоретический материал, посвященный элементам теории
упругости. Здесь студенты могут получить первичные краткие
сведения о тензорах деформаций и механических напряжений в
изотропных и анизотропных твердых материалах, информацию об
упругих свойствах жидкостей и газов, энергии деформированной
среды. Эти сведения могут быть использованы в процессе
дальнейшего изучения профессионально ориентированных
спецкурсов бакалавриата и магистратуры, лежать в основе
исследовательской деятельности при выполнении выпускных
квалификационных работ, темы которых связаны с физикой
кристаллов, жидкостей и газов.
Второй раздел учебно-методического пособия «Механика
сплошных сред» посвящен описанию волновых процессов в
упругих средах. В этом разделе рассматриваются общие
положения о волновом движении и его описание: уравнения
плоских волн и волновые уравнения, плоские монохроматические
волны в изотропных твердых телах и кристаллах, в идеальных и
вязкоупругих жидкостях, в газах. Достаточно подробно
рассматриваются энергетические соотношения – плотность
энергии волны, вектор плотности потока энергии, интенсивность.
Особое место в материале второго раздела уделено отражению и
преломлению упругих волн на границе раздела двух сред.
Важность знаний о трансформациях падающих волн на границу
раздела двух упругих сред и умений выполнять расчеты
коэффициентов отражения и преломления всех типов волн
обусловлена большим числом прикладных задач, возникающих в
физике твердого тела и акустике. Изложенные методы расчетов
коэффициентов отражения и преломления упругих
монохроматических волн могут служить основой компьютерных
расчетов этих коэффициентов в конкретных задачах,
поставленных в рамках выполнения курсовых или
квалификационных работ.
7
Каждый из разделов учебно-методического пособия
«Механика сплошных сред» состоит из двух частей –
теоретического материала и практикума по решению задач.
Практикумы содержат примеры решения задач и задания для
аудиторного и самостоятельного выполнения, причем все эти
задания снабжены ответами. Каждый из практикумов завершается
номерами заданий, выполнение которых рекомендуется в
процессе проведения аудиторных занятий. Примеры решения
задач ко второму разделу в силу их сложности и громоздкости
рекомендуется рассматривать на семинарских занятиях.
Учебной программой дисциплины «Механика сплошных
сред» предусмотрены выполнение пяти индивидуальных заданий
и промежуточная аттестация в форме семестрового экзамена.
Поэтому в пособие включены варианты индивидуальных заданий
с указанием их номеров и вопросы к аттестации по материалу
каждого из разделов.
Предлагаемое пособие кроме основного учебного материала
включает три приложения. Первое из них (Приложение 1)
«Коэффициенты Ламе» призвано расширить представления
студентов о способах описания упругих свойств твердых
изотропных материалов; в Приложении 2 подробно описана
техника работы с тензорами деформаций и механических
напряжений, а также с волновыми уравнениями в упругих средах.
Приложение 3 посвящено описанию сферических волн,
порождаемых точечными источниками в жидкостях и газах.
Пособие завершается списком рекомендуемой литературы,
использованной составителями и рекомендуемой студентам для
освоения учебной дисциплины «Механика сплошных сред»,
предметным указателями.
8
1. Элементы теории упругости
1.1. Тензор деформаций
Действие внешних сил может приводить не только к
изменению состояния движения твердого тела, но и к его
деформации, т.е. изменению его объема (деформации сжатия или
растяжения) и формы (деформации сдвига). Деформация твердого
тела сопровождается смещением его точек из равновесных
положений.
1
r
2
r
12
r
12
r
1
u
2
u
1
2
2
r
1
r
Рис. 1.1. Векторы смещений
1
u
и
2
u
точек 1 и 2
при деформации отрезка
12
r
Пусть положение точки 1 определяется ее радиус-вектором
1 1 1 1
( , , )r x y z
. При деформации положение этой точки изменяется и
определяется радиус-вектором вектором
1 1 1 1
( , , )r x y z
. Аналогичным
образом описываются до и после деформации радиус-векторами
2
r
9
и
2
r
точка 2. При этом смещения точек 1 и 2 составляют
1
u
и
2
u
(рис. 1.1).
Очевидно, что
1 1 1
r r u
и
2 2 2
r r u
. Поэтому
12 12
r r u
.
Т.к.
12
rl
, а
12
rl
, то
2
2 2 2 2
12
( ) ( ) ( )
x y z
l r u x u y u z u
, (1.1)
причем
12
ur
.
Учитывая, что
( . , )u u x y z
, выражение (1.1) можно
представить в виде
2
2
2
2
y y y
x x x
z z z
u u u
u u u
l x x y z y x y z
x y z x y z
u u u
z x y z
x y z
В пределе бесконечно малых расстояний между точками это
выражение принимает вид:
2
2
x x x
u u u
dl dx dx dy dz
x y z
2
2
y y y
z z z
u u u
u u u
dy dx y z dz dx dy dz
x y z x y z
(1.2)
Если в выражении (1.2) ввести обозначения
1 2 3
, , x x y x z x
, раскрыть скобки, учесть, что
2 2 2 2
dx dy dz dl
и пренебречь величинами второго порядка
малости, то
10
22
2
i
ik
k
u
dl dl dx dx
x
. (1.3)
Здесь
, 1,2,3ik
и использованы «слепые» индексы
суммирования – по повторяющимся индексам подразумевается
суммирование от 1 до 3.
Соотношение (1.3) можно переписать в виде
22
+
ik
i k k i
ki
uu
dl dl dx dx dx dx
xx
(1.4)
Совокупность 9 величин
1
2
i i k
ik
k k i
u u u
x x x
образуют
симметричный тензор второго ранга, называемый тензором
деформаций. Компоненты тензора деформаций являются
безразмерными величинами и представляют собой относительные
изменения проекций вектора смещения точек упругой среды в
направлениях
1 2 3
, , x x y x z x
при ее деформации.
Тензор деформаций
ik
можно привести к диагональному
виду. В этом случае каждый из диагональных элементов тензора
(главные значения) зависит лишь от одной переменной, т.е.
(0) (0)
(0)
ii
ii
ii
u du
x dx
– деформации растяжения (сжатия). Таким
деформациям отвечают собственные направления
(0) (0)
12
, uu
и
(0)
3
u
. Это значит, что в каждом элементарном объеме деформацию
можно рассматривать как совокупность трех независимых
деформаций по трем ортогональных направлениям главных осей
тензора деформаций. Каждая из этих трех деформаций
представляет собой простое растяжение (сжатие) вдоль
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]