Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика сплошных сред. Учебно-методическое пособие
.pdf
21
ik
c
11 12 13 14 15 16
22 23 24 25 26
33 34 35 36
44 45 46
55 56
66
c c c c c c
c c c c c
c c c c
c c c
cc
c
(1.20)
Матрица cik, симметричная часть которой не изображается,
представляется в виде (1.20); так же представима и матрица sij.
Следует отметить, что выражение (1.19) и матрицы (1.20)
лишь удобные представления. При преобразованиях координат
необходимо использовать закон Гука в форме (1.18) с тензорами
напряжений и деформаций второго ранга, а также тензором
упругости четвертого ранга с применением законов тензорной
алгебры.
1.4. Энергия деформированного тела
Т.к. упругую среду можно рассматривать как механическую
систему с бесконечным числом степеней свободы, то плотность
энергии при упругих смещениях определяется квадратичной
формой смещений. В приближении закона Гука плотность энергии
упруго деформированного тела может быть представлена
квадратичной формой деформаций
6 6 6 6 6
2
1 1 1 1
1 1 1
2 2 2
ik i k ii i ik i k
i k i i k i
U
. (1.21)
22
С другой стороны,
6
1
i ik k
k
i
U
. Сравнивая это
выражение с (1.19), получаем
1
()
2
ik ki ik
c
. Тогда плотность
энергии деформированного тела можно представить в виде
6 6 6
2
11
11
22
ii i ik i k ik i k
i i k i
U c c c
. (1.22)
При этом элементарная работа механического напряжения,
действующего на единицу объема деформированной среды, по
изменению его деформации от
i
до
ii
d
равна
ii
W dU d
(1.23)
1.5. Упругие свойства твердых материалов, жидкостей и
газов
1.5.1. Упругие свойства твердых материалов
(кубических кристаллов и изотропной среды)
Симметрия той или иной упругой среды налагает
ограничения на количество неравных нулю упругих постоянных,
а также на соотношения между ними. Симметрия твердого тела
налагает ограничение на количество отличных от нуля
независимых упругих постоянных. Чем выше симметрия тела, тем
меньшим количеством упругих постоянных определяются его
упругие свойства. Так, в кубических кристаллах поворот
кристалла относительно осей
12
, xx
или
3
x
на 180о и на 90о
совмещает его с самим собой; матрица упругих свойств не меняет
23
своего вида, что приводит к уменьшению числа не равных нулю
независимых упругих постоянных до трех (см. пример 3
пункта 1.6.1):
11 22 33
c c c
,
44 55 66
c c c
и
12 13 23
с с с
(1.24а)
Аналогичные соотношения справедливы и для упругих
податливостей:
11 22 33
s s s
,
44 55 66
s s s
и
12 13 23
s s s
(1.24б)
В изотропном твердом материале все направления
эквивалентны. Как следствие, число независимых упругих
постоянных уменьшается до двух – выполняется дополнительное
ограничение
11 12
44
2
cc
c
или
44 11 12
2( )s s s
(1.25)
В материаловедении принято упругие свойства твердых
материалов характеризовать модулем Юнга E и модулем сдвига
G
Модуль Юнга Е определяет относительное удлинение
стержня, т.е. деформацию , вызванную напряжением
(в
символьной записи
1
E
).
Модуль сдвига G определяет относительное угловое
смещение параллельных элементов поверхности,
перпендикулярных оси кручения длинного стержня (без
изменения его объема)
под действием тангенциального
напряжения
(в символьной записи
1
G
).
24
Кроме модулей Юнга и сдвига дополнительной
характеристикой упругих свойств твердых материалов является
коэффициент Пуассона .
Коэффициент Пуассона
представляет собой отношение
поперечного сжатия стержня к его продольному растяжению
(в символической записи
l
).
Для установления связи этих характеристик с упругими
постоянными кубических кристаллов и изотропного твердого тела
запишем закон Гука в двух его формах:
1 11 1 12 2 3 1 11 1 12 2 3
2 12 1 3 11 2 2 12 1 3 11 2
1) ( ) 1) ( )
2) σ =c (ε +ε )+c ε a) 2) ( ) б)
c c s s
ss
3 12 1 2 11 3 3 12 1 2 113 3
4 44 4 44 4
3) ( ) 3) ( )
4) 4)
c c s s
cs
(1.26)
Учтем, что упругие свойства материала не зависят от
приложенных напряжений. Поэтому для длинного стержня,
подвергнутого растяжению вдоль его длины (например, это
направление 1)
1 2 3
, 0
. Тогда из уравнений 1) – 3)
формул (1.26б) получаем:
1 11 1
s
или
11 22 33
1
s s s
E
, (1.27)
.
а из уравнения 2) формулы (1.26б) следует связь упругой
податливости
12
s
с модулем Юнга и коэффициентом Пуассона:
1
2 3 12 1 12
11
ss
s
, откуда
25
2
12
1
sE
и
12
s
E
. (1.28)
Модуль Юнга и коэффициент Пуассона могут быть выражены
и через упругие жесткости. Т.к. в рассматриваемом случае
23
, то
уравнение 2) в (1.26а) принимает вид:
12 1 11 1
(1 ) 0cc
или
12 11
1
cc
, а
12
11 12
c
cc
. (1.29)
Модуль Юнга, выраженный через упругие жесткости, имеет
вид:
11
(1 2 )(1 )
1
Ec
. (1.30)
При рассмотрении стержня, подвергнутого кручению
относительно оси х (1), направленной вдоль его длины
1 2 3 4
( 0, = )
, из уравнений 4) формулы (1.26а, б)
следует, что
44 55 66
c c c G
и
44 55 66
1
s s s
G
. (1.31а)
Заметим, что в кубических кристаллах непосредственная
связь между модулями Юнга и сдвига отсутствует. При этом
упругие податливости связаны с упругими жесткостями
соотношениями:
11 12
11
11 12 11 12
( )( 2 )
ss
с
s s s s
,
12
12
11 12 11 12
( )( 2 )
s
с
s s s s
,
26
44
44
1
c
s
(1.32а)
11 12
11 12
1
()
сc
ss
и
11 12
11 12
1
2
( 2 )
сc
ss
(1.32б)
Для изотропного материала, учитывая выражение (1.25),
получаем связь между модулями Юнга, сдвига и коэффициентом
Пуассона:
44
2(1 )
E
Gc
. (1.33)
Важнейшей характеристикой упругих свойств твердых
материалов является модуль всестороннего сжатия: модуль
всестороннего сжатия К определяет относительное изменение
объема
при его гидростатическом сжатии давлением р (в
символьной записи
1
p
K
).
Для нахождения связи модуля всестороннего сжатия с
модулем Юнга и коэффициентом Пуассона запишем уравнения
(1.26б) в виде:
3
1 11 12
2 11 12
11 12
1) ( 2 )
2) = ( +2s )
3) ( 2 )
p s s
ps
p s s
. (1.34)
Складывая эти уравнения, получаем:
1 2 3 11 12
( ) 3 ( 2 )p s s
. В соответствии с (1.7)
1 2 3
()
dV dV
dV
– относительное сжатие
27
элементарного объема под давлением р. Поэтому
11 12
3( 2 ) 3(1 2 )
E
p
ss
, а по определению модуля
всестороннего сжатия
11 12
1
3( 2 )
K
ss
или
3(1 2 )
E
K
. (1.35)
Модуль всестороннего сжатия, выраженный через упругие
жесткости
11 12
2
3
cc
K
(1.36)
Величина
1/K
, обратная модулю всестороннего сжатия,
называется сжимаемостью.
В заключение рассмотрим плотность энергии
деформированного кристалла и изотропных материалов. В этом
случае выражение (1.22) имеет вид:
2 2 2 2 2 2
11 44
1 2 3 4 5 6 12 1 2 1 3 2 3
( ) ( ) ( )
22
cc
Uc
. (1.37)
Как известно, любую деформацию можно представить в виде
суммы двух – всестороннего сжатия и чистого сдвига (при сдвиге
меняется форма объема без изменения его величины). Поэтому
энергию деформации удобно представить как сумму энергий
деформаций всестороннего сжатия и сдвига. При этом учтем, что
при всестороннем сжатии кубических кристаллов и изотропного
тела
1 2 3
, а относительное изменение объема
3
, и
2
/9
. Тогда
28
2 2 2 2 2 2 2 2
11 12 44 44
4 5 6 4 5 6
2
11
2 3 2 2 2
c c c c
UK
(1.38)
1.5.2. Упругие свойства жидкостей и газов
К особенностям жидкости относится тот факт, что форма
фиксированного ее объема зависит от окружающих внешних тел.
Это приводит как к отсутствию сдвиговых напряжений, так и
поперечных сжатий (растяжений).
На элемент объема со стороны окружающей жидкости
действует лишь гидростатическое давление – p. Поэтому
характеристикой упругих свойств жидкостей служит только
модуль всестороннего сжатия К. Т.к. поперечные деформации в
жидкости отсутствуют, т.е.
0
, то
1
3
K
s
или
1
3
s
K
(1.39)
Таким образом, упругость жидкости определяется
единственным модулем упругой податливости
11
/3s s K
, а
плотность энергии жидкости, подвергнутой гидростатическому
сжатию,
2
/2UK
.
В отличие от жидкости объем фиксированной массы газа и
по форме и по величине определяется размерами и формой сосуда,
в котором находится этот газ. Как известно из термодинамики,
коэффициент сжимаемости газов определяется выражением
1 V
Vp
. Нетрудно заметить, что это выражение совпадает с
определением сжимаемости
1
K
, т.е. для газов
29
11V
K V p
. (1.40)
Очевидно, что производная в выражении (1.40) зависит от
процесса, в котором газ подвергается сжатию. Так, в
изотермическом процессе для идеального газа
pV const
и
0pdV Vdp
. Поэтому
dV V
dp p
, а коэффициент сжимаемости
1 1 1
T
V
K V p p
. (1.41)
Величину K = p называют упругостью газа. С
использованием уравнения состояния упругость идеального газа в
изотермическом процессе можно представить в виде:
mRT RT
p
MV M
(1.42)
(в этом выражении R – универсальная газовая постоянная, M –
молярная масса, – плотность газа и Т – абсолютная температура).
При быстром сжатии газа процесс протекает без теплообмена с
окружающей средой (адиабатный процесс), для которого
pV const
, ( – отношение теплоемкости газа при постоянном
давлении к его теплоемкости при постоянном объеме). В этом случае
s
VV
pp
, и упругость идеального газа
RT
Kp
M
. (1.42)
30
Дополнительная энергия единицы объема, приобретаемая
газом, сжатым в изотермическом процессе,
2
2
22
p RT
U
M
,
а в адиабатном процессе
2
2
22
p RT
U
M
.
1.6. Практикум по решению задач
1.6.1. Примеры решения задач теории упругости
Пример 1. Определить деформацию однородного
изотропного стержня длиной L, стоящего вертикально, в поле
силы тяжести. Плотность материала стержня , модуль Юнга Е,
коэффициент Пуассона .
Решение
Т.к. боковые поверхности
стержня свободные, то
напряжения
12
( ) ( ) 0
xx yy
.
Сдвиговые напряжения также
отсутствуют, а напряжение
3
()
zz
на высоте определяется
выражением:
()
zz
g L z
. Поэтому диагональные
компоненты тензора деформаций
3
()
z
zz
u
g L z
zE
,
12
()
( ) ( )
y
x
xx yy
u
u
g L z
x y E
. (1)
Поскольку боковые поверхности стержня свободные, то
деформации
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]