Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика сплошных сред. Учебно-методическое пособие
.pdf
71
отсутствие связи между упругими модулями
11
c
и
44
c
. При
распространении волны вдоль диагонали грани куба полученные
результаты, по-прежнему, сохраняются, но выражения для
плотности энергии и фазовых скоростей следует скорректировать
в соответствии с выражениями (2.22) – (2.27).
В заключение отметим, что вектор скорости переноса
энергии (групповая скорость ) в общем случае может не совпадать
с волновым вектором, определяющим направление
распространения волны.
2.5.3. Плотность энергии и интенсивность упругих волн в
жидкостях и газах
Рассмотрим распространение плоских упругих волн в
жидкостях и газах в отсутствие потерь. Поскольку в этих средах
распространяются только продольные волны, то при вычислении
их энергии будем использовать уравнение волны в виде
0
cos( )u u t kx
.
Плотность кинетической энергии
2 2 2
0
1
sin ( )
2
кин
w u t kx
. (2.45)
В соответствии с материалом, изложенным в п. 1.5.2,
выражение для плотности потенциальной энергии волны имеет
вид:
72
2
2
3
12
1 2 3
1 2 3
2
2
1
1
11
()
22
11
22
ïîò
u
uu
w K K
x x x
u
u
KK
xx
.
Выполняя дифференцирование, получаем:
2 2 2
0
1
sin ( )
2
пот
w Kk u t kx
. (2.46)
Таким образом, учитывая, что фазовая скорость волны в
идеальной жидкости
K
v
, плотности кинетической и
потенциальной энергий равны, и полная плотность энергии волны
2 2 2 2 2 2
00
sin ( ) sin ( )
кин пот
w w w u t kx Kk u t kx
. (2.47)
При этом плотность потока энергии
2 2 2
0
sin ( )P w v u t kx
. (2.48)
При распространении волн в жидкостях и газах важной
энергетической характеристикой является интенсивность волны .
Интенсивностью волны I называется усредненный по времени
поток энергии, протекающей через единичную площадку,
перпендикулярную направлению потока. Из определения
следует, что под интенсивностью понимается усредненная по
времени плотность потока энергии, т.е.
73
2 2 2 2 2
00
0
11
sin ( )
2
T
I P v u t kx dt v u
T
. (2.49)
Рассмотрим энергетические соотношения при
распространении упругих волн в газах. При распространении волн
звуковых или ультразвуковых частот процессы, протекающие в
газе, можно считать адиабатическими, для которых
RT
Kp
M
. Поэтому плотность энергии волны, плотность
потока энергии и интенсивность определяются выражениями:
2 2 2 2 2 2
00
sin ( ) sin ( )
RT
w u t kx k u t kx
M
,
2 2 2
0
sin ( )
RT
P u t kx
M
,
22
0
1
2
RT
Iu
M
.
2.6. Отражение и преломление упругих волн
2.6.1. Общие положения
На плоской границе двух упругих сред должны выполняться
условия непрерывности смещений и механических напряжений.
Эти требования приводят к тому, что в результате отражения и
преломления характер волны в общем случае меняется: если на
поверхность раздела падает чисто продольная или чисто
поперечная волна, то отраженные и преломленные волны
содержат обе составляющие. Характер волны остается
неизменным лишь в случае нормального падения или падения
сдвиговой волны с колебаниями частиц в плоскости, параллельной
плоскости границы раздела сред.
74
Рассмотрим отражение и преломление плоских
монохроматических волн на границе раздела двух изотропных
упругих сред с использованием типичной геометрии задачи,
представленной на рис. 2.5.
Для такой геометрии общие выражения для векторов
смещения в падающей, отраженной и преломленной волн имеют
вид:
1 10 1 1 1 1
exp ( sin cos )u u i t k x k y
– падающая волна,
1 10 1 1 1 1
exp ( sin cos )u u i t k x k y
– отраженная волна (2.51)
2 20 1 1 1 1
exp ( sin cos )u u i t k x k y
– преломленная волна.
Рис. 2.5. Геометрия задачи о падении, отражении и
преломлении упругих волн на границе раздела двух сред
Т.к. граничные условия должны выполняться на всей
плоскости раздела xz в любой момент времени, то фазы всех волн
должны быть равными при y = 0. Отсюда получаем
75
1 1 1 1 2 2
sin sin sinkkk
. (2.52а)
Равенство проекций волнового вектора (2.52а) можно
представить в привычном виде:
1 1 2
1 1 2
sin sin sin
vvv
(2.52б)
Заметим, что падающая волна может быть либо продольной,
либо поперечной, а отраженная и преломленная волны могут быть
двухкомпонентными. В этих случаях выражение (2.52)
необходимо будет записывать в расширенном виде, включающем
волны всех типов, возникающих в результате отражения и
преломления, что отражается условием равенства проекций всех
волновых векторов на ось х. Кроме того, угол отражения для
волны того же типа, что и падающая, равен углу падения, а
уравнения (2.52б) в расширенной форме отражают закон
Снеллиуса в теории упругих волн.
Рассмотрим отдельно процессы отражения и преломления
для различных типов падающей упругой волны.
2.6.2. Падающая сдвиговая волна с колебаниями частиц
вдоль оси z
В такой падающей волне сдвиги смещения частиц
происходят в плоскости xz в направлении z:
1 10 1 1 1 1
exp ( sin cos )
z s s
u u i t k x k y
.
При отражении ориентация вектора смещения не меняется,
т.е.
1 10 1 1 1 1
exp ( sin cos )
z s s
u u i t k x k y
.
76
Из непрерывности смещений при переходе из среды 1 в
среду 2 следует, что преломленная волна также характеризуется
вектором смещения, направленным вдоль
оси z:
2 20 2 1 2 2
exp ( sin cos )
z s s
u u i t k x k y
.
Теперь условие равенства проекций волновых векторов на
границе
0y
(2.52а) имеет вид:
1 1 1 1 2 2
sin sin sin
sss
kkk
. (2.53)
Из (2.53) следует, что в рассматриваемом случае угол
падения равен углу отражения, а также закон преломления (закон
Снеллиуса) :
11
и
11
22
sin
sin
v
v
.
Деформация сдвига связана с единственной проекцией
смещения
z
u
в падающей и отраженной волнах и обеспечивается
напряжениями
(1) (1) (1)
1
44 1 44 1€ 1 1 1 1 1
cos cos
z
yz s z
u
c ik c u i v u
y
.
Аналогичное соотношение имеет место и для волны во
второй среде:
(2)
2 2 2 2
cos
yz z
i v u
.
Из условия непрерывности механического напряжения
(1) (2)
yz yz
на границе
0y
следует соотношение между
амплитудами волновых полей
1 1 10 10 1 2 2 20 2
( )cos cosv u u v u
. (2.54а)
Из непрерывности смещений при
0y
следует, что
77
10 10 20
u u u
. (2.54б)
Введем амплитудный коэффициент отражения
10
10
u
r
u
и
амплитудный коэффициент прохождения
20
10
u
t
u
. Тогда
уравнения (2.53а, б) можно записать так:
1)
1 rt
, 2)
2 2 2
1 1 1
cos
1
cos
v
rt
v
.
Решая эту систему уравнений, находим коэффициенты
отражения и прохождения:
1 1 1
1 1 1 2 2 2
2 cos
cos cos
v
t
vv
,
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
cos cos
cos cos
vv
r
vv
. (2.55)
В технике ультразвука вводится величина
Zv
,
называемая акустическим сопротивлением (импедансом) упругой
среды. Тогда
1 1 1
1 1 2 2 1 21 2
2 cos 2cos
cos cos cos cos
Z
t
Z Z n
и
1 1 2 2 1 21 2
1 1 2 2 1 21 2
cos cos cos cos
cos cos cos cos
Z Z n
r
Z Z n
,
где величина
2
21
1
Z
n
Z
является аналогом относительного
показателя преломления в оптике.
Интересно рассмотреть нормальное падение: в этом случае
78
12
12
ZZ
r
ZZ
.
Если среда 1 акустически менее плотная чем среда 2
12
ZZ
, то амплитудный коэффициент отражения отрицателен
– волна отражается в противофазе. Отражение от акустически
менее плотной среды происходит без изменения фазы падающей
волны.
Для определения доли интенсивности отраженной и
прошедшей в среду 2 волн относительно интенсивности падающей
волны при нормальном падении, используем соотношения (2.44) и
(2.49):
2
2
10
1
2
1 10
u
I
Rr
Iu
,
2
22
2 2 20
2 2 2
2
1 1 10 1 1 1
vu
vZ
T t t
v u v Z
. (2.56)
Не трудно убедиться, что
1TR
при любом угле падения.
2.6.3. Падающая сдвиговая волна с колебаниями частиц в
плоскости падения
На рис. 2.6 показаны волновые векторы и векторы смещения
падающей, отраженной и прошедшей из среды 1 в среду 2 волн.
Из рисунка видно, что в рассматриваемом случае условие
непрерывности смещений на границе может удовлетворяться
существованием наряду с поперечными волнами наличие и
продольных волн как отраженных, так и прошедших во вторую
среду. При этом волновое поле представляется волнами
1 10 1 1 1 1
exp ( sin cos )
s s s s
u u i t k x k y
– падающая волна,
1 10 1 1 1 1
1 10 1 1 1 1
exp ( sin cos )
exp ( sin cos )
s s l l l l
l l l l l l
u u i t k x k y
u u i t k x k y
– отраженные волны.
79
2 20 2 2 2 2
2 20 2 2 2 2
exp ( sin cos )
exp ( sin cos )
s s s s s s
l l l l l l
u u i t k x k y
u u i t k x k y
– волны во второй
среде. (2.57)
Рис. 2.6. Волновое поле падающей, отраженной и преломленной
монохроматических упругих волн на границе двух изотропных
твердых материалов (падающая волна – поперечная с
колебаниями частиц в плоскости падения)
Теперь условие равенства фаз на границе (2.52) принимает
вид
1 1 1 1 1 1 22 2 2 2
sin sin sin sin sin
s s l l s s l l
k k k k k
(2.58)
Т.к.
11
1s
kk
v
, то угол падения равен углу отражения для
поперечной составляющей отраженной волны.
80
Условие непрерывности смещений на границе приводит к
уравнениям (см. рис. 2.6):
10 1 10 1 10 1 20 2 20 2
cos cos sin cos sin
s s l l s s l l
u u u u u
. (2.59а)
10 1 10 1 10 1 20 2 20 2
sin sin cos sin cos
s s l l s s l l
u u u u u
(2.59б)
Если ввести коэффициенты отражения и прохождения для
сдвиговых и продольных волн
10 2 10 20
10 10 10 10
, , , ,
s s l l
s s l l
u u u u
r t r t
u u u u
(2.60)
то уравнения (2.59) принимают вид:
1 1 2 2
(1 )cos sin cos sin
s l l s s l l
r r t t
. (2.61а)
1 1 2 2
(1 )sin cos sin cos
s l l s s l l
r r t t
(2.61б)
На границе раздела сред должны быть непрерывными
напряжение
xx
, приводящее к деформациям сжатия и
расширения вдоль оси х, а также напряжение
xy
, приводящее к
деформации сдвига в плоскости хy. Эти напряжения равны
11 44
2
yy
x
xx
uu
u
cc
x y y
и
44
y
x
xy
u
u
c
yx
.
С учетом типа волн (2.57) в среде 1
(1) (1) (1)
11 44
( ) ( )
()
2
sy sy ly sy sy ly
sx sx lx
xx
u u u u u u
uuu
cc
x y y
, (2.62а)
и в среде 2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]