Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика сплошных сред. Учебно-методическое пособие
.pdf
51
()
0
l
i t k r
ll
u u e
и
()
0
s
i t k r
ss
u u e
, (2.15)
где
0l
u
и
0s
u
– амплитуды, а
l
k
и
s
k
– волновые векторы волн.
При подстановке решений (2.13) в уравнения (2.14) учтем,
что действие производной по времени сводится к умножению на
i
, т.е.
u
iu
t
, а
2
2
2
u
u
t
Производные по координатам:
x y z x
u
u i t kr iu k x k y k z ik u
x x x
; аналогично
y
u
ik u
y
и
z
u
ik u
z
. Тогда вторые производные
2
2
2
x
u
ku
x
,
2
2
2
y
u
ku
y
,
2
2
2
z
u
ku
z
и
222
2 2 2 2
2 2 2
x y z
uuu
u u k k k k u
x y z
. Таким образом,
подстановка решений в уравнения (2.14) в виде плоских
монохроматических волн приводит к уравнениям, связывающим
частоту колебаний с волновыми векторами (дисперсионным
уравнениям):
2 2 2
0
ll
vk
,
2 2 2
0
ss
vk
. (2.16)
Очевидно, что соотношения (2.16) приводят к значениям
скоростей продольной и поперечной волн (2.13).
Как правило, скорости упругих волн выражаются через
модули Юнга, сдвига и коэффициент Пуассона:
52
11
1
(1 )
(1 2 )(1 )
c
E
v
и
44
2 (1 )
s
c
GE
v
.
Кроме того, скорость продольной составляющей может быть
выражена и через модуль всестороннего сжатия
3 (1 )
(1 )
l
K
v
. (2.17)
2.3. Упругие волны в кристаллах
Рассмотрим упругие волны в кристаллах на примере
кубических кристаллов, матрица упругих постоянных которых в
системе координат, связанных с ребрами кубической решетки,
такая же, что и в изотропном материале. Разница заключается
лишь в том, что в кубических кристаллах величина
11 12
44
2
cc
c
.
Поэтому волна, распространяющаяся в направлении одного из
ребер кубической кристаллической решетки (направления 100,
010, 001), состоит из трех составляющих – продольной и двух
поперечных волн, распространяющихся со скоростями
11
1 l
c
vv
и
44
12s
c
v vs
. (2.18)
Принципиальное отличие от изотропной среды заключается
в том, что в кристалле в направлении 100 две поперечные волны
независимы.
Иная ситуация возникает при распространении
монохроматической волны в направлениях, отличных от простых
направлений вида 100, 010 или 001. Для примера рассмотрим
53
волну, распространяющуюся в направлении диагонали грани
кубической решетки (110).
Пусть в направлении 110 распространяется
монохроматическая плоская волна с компонентами вектора
смещения
()
1 10
i t kr
u u e
,
()
2 20
i t kr
u u e
и
()
3 30
i t kr
u u e
(2.19)
и компонентами волнового вектора
k nk
, (n – единичный
вектор в направлении 110),
1
k
и
2
k
(
2 2 2
12
k k k
). В этом случае
1 1 2 2
()
1 10
i t k x k x
u u e
,
1 1 2 2
()
2 20
i t k x k x
u u e
, и
1 1 2 2
()
3 30
i t k x k x
u u e
(2.20)
При подстановке решений (2.20) в общие уравнения
движения (2.10) учтем, что
3
0
zx
,
1
1
, ik
xx
23
23
, ik ik
y x z x
. Тогда эти уравнения движения
принимают вид:
1)
2 2 2
11 1 44 2 1 12 44 1 2 2
0ck с k u c с k k u
,
2)
2 2 2
44 12 1 2 1 44 1 11 2 2
0с c k k u с k c k u
, (2.21)
3)
2 2 2
3 44 1 2 3
0u с k k u
.
Полученные соотношения представляют собой две
независимые системы уравнений: систему двух уравнений
54
1) и 2) относительно проекций вектора смещения
12
, uu
и уравнение
3) относительно
3
.u
Рассмотрим уравнение 3) из (2.21). Т.к.
3
0u
и
2 2 2
12
k k k
, то
для этой поперечной волны, распространяющейся в направлении
110, получаем
22
44
сk
. Учитывая, что
v
k
, окончательно
получаем значение фазовой скорости одной из сдвиговых
составляющих волны, распространяющейся в направлении 110 и
поляризованной вдоль направления х3 001:
44
31s
c
vv
. (2.22)
Рассмотрим систему линейных однородных уравнений 1) и 2).
Эта система имеет нетривиальное решение, если детерминант,
называемый детерминантом Кристоффеля, составленный из
коэффициентов при неизвестных, равен нулю, т.е.
2 2 2
11 1 44 2 12 44 1 2
2 2 2
44 12 1 2 44 1 11 2
0
ck с k c с k k
с c k k с k c k
. (2.23).
Поскольку в рассматриваемом направлении
12
/2k k k
,
то детерминант (2.23) сводится к уравнению
22
22
2
11 44 12 44
( ) 0
22
kk
c с c с
.
Это уравнение легко преобразуется к виду:
55
2 2 2 2
11 12 11 12 44
11
( ) ( 2 ) 0
22
c с k c c с k
(2.24)
Корни уравнения (2.24) определяются выражениями
22
11 12 44 (1)
1
( 2 )
2
cc сk
и
22
11 12 (2)
1
()
2
c сk
. (2.25).
Подстановка первого из корней в уравнения 1) системы
(2.21) дает
2 (1) 2 (1)
11 12 44 11 44 (1) 1 12 44 (1) 2
1 1 1 1 1
0
2 2 2 2 2
c c c c с k u c с k u
или
(1) (1)
12 44 1 2
1
0
2
c c u u
, т.е.
(1) (1)
12
uu
.
Такой же результат дает подстановка первого корня
дисперсионного уравнения
2
(1)
k
в уравнение 2) системы (2.21).
Следовательно, одинаковые по величине компоненты смещения
(1) (1)
12
uu
определяют вектор смещения
l
u
в направлении
распространения волны k. Таким образом, корень дисперсионного
уравнения
22
(1) l
kk
определяет скорость продольной волны,
распространяющейся в направлении 110:
11 12 44
2
2
l
c c c
v
. (2.26)
Подставим корень
2
(2)
k
в уравнения 1) и 2) системы (2.21):
2 (2) 2 (2)
12 44 (2) 1 12 44 (2) 2
11
0
22
c с k u c с k u
, т.е.
(2) (2)
12
uu
.
56
Такой же результат дает подстановка второго корня и в
уравнение 2). Этим значениям
(2)
1
u
и
(2)
2
u
соответствует вектор
смещения
2s
u
, лежащий в плоскости 12 и перпендикулярный
волновому вектору ,k как показано на рис. 2.4.
Рис. 2.4. Волновой вектор
k
и векторы смещений
1
u
,
2
u
,
3
u
продольной и двух поперечных волн при распространении в
кубическом кристалле в направлении
110
Сдвиговая волна с вектором смещения
2s
u
распространяется
с фазовой скоростью
11 12
22s
cc
v
. (2.27)
Таким образом, в направлении 110 распространяются три
независимые волны – одна продольная и две поперечные с
различными скоростями. Этот результат является наиболее общим
для распространения упругих волн в кристаллах. Ситуация, при
57
которой в некоторых направлениях скорости поперечных волн
оказываются равными, называется вырождением.
Нетрудно заметить, что при
11 12 44
( ) / 2c c c
значение
2s
v
совпадает со значением сдвиговой составляющей волны в
изотропном материале.
2.4. Упругие волны в жидкостях и газах
2.4.1. Упругие волны в жидкостях
Как отмечалось ранее в п.1.5.2, при равновесии, т.е. в
отсутствие движения локальных деформаций, сдвиговые
напряжения в жидкости отсутствуют. Однако при движении
элемента объема жидкости с некоторой скоростью v в общем
случае ситуация меняется – наличие вязкости приводит к
появлению сдвиговых напряжений. Следовательно, при
рассмотрении упругих волн в жидкостях следует различать
волновые процессы в случаях, когда вязкостью можно пренебречь,
и когда этого делать нельзя. Невязкая неограниченная изотропная
жидкая среда называется идеальной жидкостью, а с учетом
вязкости – вязкоупругой жидкостью.
Начнем рассмотрение упругих волн в жидкостях с идеальной
жидкости.
а) Идеальные жидкости
Т.к. сдвиговые напряжения в идеальной жидкости
отсутствуют, то смещение элементарного объема
dV dxdydz
происходит под действием гидростатического давления,
зависящего от координат и времени. Пусть давление изменяется в
направлении х. Тогда уравнение движения элемента объема
плотностью имеет вид:
58
2
2
( ) ( )
x
u
p
dxdydz p x dx p x dydz dxdydz
tx
.
Поэтому уравнение движения единицы объема идеальной
жидкости записывается как
2
2
x
u
p
tx
. (2.28)
Но давление р связано с коэффициентом всестороннего
сжатия K и деформациями соотношением
1 2 3
()
y
x
z
u
u
u
p K K
x y z
.
Тогда уравнение (2.28) можно переписать так:
2
22
2
22
0
y
xx
z
u
uu
u
x x y x z K t
. (2.29)
В рассматриваемой постановке задача однородна по
переменным y и z, т.е.
0
yz
. Поэтому уравнение (2.29)
приобретает вид обычного одномерного волнового уравнения:
22
22
0
xx
uu
x K t
.
Таким образом, в идеальной неограниченной жидкости при
появлении малой неоднородности давления возникают упругая
продольная волна, распространяющаяся со скоростью
K
v
. (2.30)
59
Этот же результат можно получить для монохроматической
волны непосредственно из уравнения (2.16) для продольной
составляющей, скорость распространения которой можно найти из
дисперсионного соотношения
v
k
(в жидкости эта скорость
определяется выражением (2.30)). Такая волна называется
акустической или звуковой.
б) Вязкоупругие жидкости
Перейдем к рассмотрению упругих свойств вязкоупругой
среды. Прежде всего, рассмотрим движение жидкости в
направлении х со скоростью
v v ( )
xx
y
, зависящей от координаты
y. Эта зависимость приводит к появлению сдвигового напряжения
yx
, величина которого определяется ньютоновским законом
вязкости
v
x
yx
y
, где – коэффициент вязкости, размерность
которого составляет Нс/м2. Тогда проекция силы
x
f
,
действующей на единицу объема жидкости и обусловленной
возникшим напряжением, в соответствии с (1.14) равна
222
2 2 2
vvv
v
xk x x x
xx
k
f
x x y z
.
С учетом гидростатического сжатия (уравнение (2.28))
уравнение движения единицы объема вязкоупругой среды под
действием удельной внешней силы
x
F
имеет вид:
v
v
x
xx
d
p
F
dt x
. (2.31а)
60
Если учесть, что
v=v( , , , )x y x t
, то
v v v v v v
v v v v v
x x x x x x
x y z x
d
dt t x y z t
и уравнение
движения принимает вид:
v
v v v
x
x x x
p
F
tx
. (2.31б)
Выражения (2.31) называются уравнениями Навье-Стокса,
которые описывают движение вязкоупругой жидкости.
В отсутствие внешних сил и в случае малых колебаний
первым слагаемым в правой части (2.31б) можно пренебречь (см.
раздел 5 4), а скорость течения жидкости v переходит в скорость
перемещения вектора смещения u уравнения Навье-Стокса для
составляющих
x
u
и
y
u
приобретает вид:
2
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
y
x x x x x
z
u
u u u u u
u
K
t x x y x z t x y z
, (2.32а)
2 2 2 2 2
2
2
2 2 2 2 2
y y y y y
x
z
u u u u u
u
u
K
t y x y y z t x y z
. (2.32б)
Пусть упругая монохроматическая плоская волна частоты
распространяется в направлении х, т.е.
xl
uu
– смещение в
продольной составляющей волны, а
y sy
uu
– одна из проекций
сдвиговой составляющей; по-прежнему, считаем для плоской волны
0
yz
. Тогда уравнения (2.32) можно записать так:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]