Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика сплошных сред. Учебно-методическое пособие
.pdf
41
2. Волны в упругих средах
2.1. Волновое движение. Уравнение волны и волновое
уравнение
В физике различают две формы движения материи –
движение по траектории и волновое движение. Первое связано с
представлением о дискретности (движение отдельных частиц по
траекториям), а второе – с непрерывностью среды, в которой
любое возмущение, возникшее в некоторой области,
распространяется от точки к точке среды вследствие ее упругих
свойств.
Волна – возмущение, распространяющееся без изменения
формы в среде со скоростью, определяемой свойствами этой
среды.
На рис. 2.1 схематически показано распространение
одномерного возмущения
( , )xt
в направлении х со скоростью v.
Как видно из рисунка, форма возмущения не зависит от точки
пространства х, в которой оказывается возмущение в момент
времени t. Но это значит, что возмущение в точке х в момент
времени t такое же, что и в точке
0
0x
в момент времени
x
t
v
.
Следовательно, в общем случае трехмерного возмущения,
распространяющегося в направлении х,
0
( , , , ) 0, , , , ,
xx
x y z t x y z t y z t
vv
, (2.1а)
или в эквивалентной форме
0
( , , , ) , , , 0, ( ), ,x y z t x vt y z t x vt y z
. (2.1б)
42
Рис. 2.1. Процесс распространения одномерного возмущения
( , )xt
в направлении х
Именно эти выражения (2.1а) или (2.1б) называются
уравнением волны. Другими словами, произвольная функция
аргумента (t - x/v) или (x – vt) представляет собой уравнение
волны, распространяющейся в направлении х со скоростью v.
Разумеется, форма возмущения полностью определяется его
источником, т.е. функцией
( , , , 0)x y z t
или
( 0, . , )x y z t
.
Подобно тому, как закон движения точки
()rt
по траектории
является решением дифференциального уравнения движения
mr F
, уравнение волны (2.1а, б) является решением волнового
уравнения . Нетрудно убедиться в том, что одномерное волновое
уравнение имеет вид:
22
2 2 2
1
0
x v t
. (2.2)
Действительно, при подстановке функции
x
t
v
в
уравнение (2.2) получаем:
43
( / ) 1
( / ) ( / )
t x v
x t x v x v t x v
и
22
2 2 2
1
( / )x v t x v
,
( / )
( / ) ( / )
t x v
t t x v t t x v
и
22
22
( / )t t x v
.
Следовательно, разность
22
2 2 2
1
( / )x v t x v
и
22
2 2 2 2
11
( / )v t v t x v
обращается в нуль при любом конкретном
виде функции
( / )t x v
.
Для трехмерного возмущения
( , , , )z y z t
волновое
уравнение приводится к виду:
2 2 2 2
2 2 2 2 2
1
0
x y z v t
или
2
22
1
0
vt
, (2.3)
где
2 2 2
2 2 2
x y z
– оператор Лапласа.
Если возмущение представляет собой векторную функцию с
компонентами
( ), ,
xx
x vt y z
,
( ), ,
yy
x vt y z
,
( ), ,
zz
x vt y z
, то каждая из них должна удовлетворять
волновому уравнению (2.3).
Важнейшими понятиями, характеризующими волновое
движение, являются волновая поверхность и фазовая скорость:
Волновой поверхностью или поверхностью равных фаз
называется геометрическое место точек, фаза возмущения в
которых одинакова.
К основными моделям волн относятся плоские и
сферические волны: волновой поверхностью плоских волн
является плоскость, а сферических – сфера. Плоские источники
порождают плоские волны, а точечные – сферические. В
44
дальнейшем будем рассматривать только плоские волны как
базовую модель волнового движения в физике.
На волновой поверхности фаза возмущения,
распространяющегося в направлении х, определяемая значениями
аргументов, постоянна, т.е.
, x vt const y const
и
z const
.
Отсюда скорость перемещения волновой поверхности
dx
vdt
.
Скорость распространения волновой поверхности называется
фазовой скоростью волны.
Из уравнения плоскости
()r n const
, где n – единичный
вектор нормали к плоскости, следует, что в каждой точке волновой
поверхности фазовая скорость направлена перпендикулярно
поверхности. Это утверждение демонстрирует рис. 2.2: при
распространении плоской волны со скоростью v в направлении х
12
rn r n
и
21
( ) 0r r n
. Т.к.
21
( ) 0rr
, а точки А и В принадлежат
плоскости, то любой вектор
21
()rr
в процессе перемещения
волновой поверхности остается параллельным самому себе и
перпендикулярным направлению распространения волны.
Среди плоских волн особую роль играет процесс
распространения гармонических колебаний частоты
в
непрерывной среде со скоростью v. Уравнение такой волны,
распространяющейся в направлении х, имеет вид:
0
cos
x
t
v
. (2.4)
45
Рис. 2.2. Иллюстрация распространения плоской волновой
поверхности с фазовой скоростью
v
в направлении оси х
Если ввести понятие длины волны
21
xx
(
21
xx
) как
расстояние между двумя ближайшими точками, колеблющимися в
одинаковой фазе:
12
2
xx
tt
vv
, то
2
v
и
vT
, где Т – период колебаний.
Уравнение волны (2.4) можно записать в симметричной
форме:
0
cos t kx
. (2.5)
В этом уравнении величина k называется волновым числом.
2
k
v
(2.6)
Если волна распространяется в некотором направлении,
задаваемом единичным вектором n, то в соответствии с ранее
рассмотренными представлениями о плоской волне (см. также
рис. 2.2) уравнение волны (2.5) приобретает вид:
46
0
cos( )t kr
. (2.7)
Здесь вектор
k nk
называется волновым вектором.
В заключение приведем еще одну полезную форму записи
плоской гармонической (монохроматической) волны:
()
0
i t kr
e
. (2.8)
Такая форма позволяет, как это будет видно в дальнейшем,
переходить от дифференциальных уравнений к алгебраическим.
Разумеется, физический смысл имеет лишь действительная часть
выражения (2.8), совпадающая с уравнением волны (2.7).
2.2. Волны в изотропной упругой среде
В отсутствие равновесия проекции силы, действующей на
единицу объема со стороны окружающей среды, определяются
выражением (1.13), которое сейчас с учетом уравнения движения
мы запишем так:
xy
xx xz
x
yx yy yz
y
zy
zx
zz
z
u
x y z
u
x y z
u
x y z
или
13
11 12
1
1 2 3
23
21 22
2
1 2 3
31 32 33
3
123
u
x x x
u
x x x
u
x x x
. (2.9)
В этих уравнениях – плотность материала,
( 1,2,3)
i
ui
– компоненты вектора смещения.
47
Если учесть, что при малых деформациях выполняется закон
Гука
1
2
j
l
ik ikjl jl ikjl
lj
u
u
cc
xx
, (
, , , 1,2,3i k j l
) и, кроме того,
отличными от нуля являются лишь упругие постоянные
1111 11 2222 22 3333 33
( ) ( ) ( )c c c c c c
,
1122 12 1133 13 2233 23
( ) ( ) ( )c c c c c c
,
2323 44 1313 55 1212 66
( ) ( ) ( )c c c c c c
, причем
11 12
44
2
cc
c
, то уравнения
(2.9) можно привести к форме волновых уравнений. Рассмотрим
первое из уравнений (2.9):
11 1 12 2 12 3 44 6 44 5
2
2
2
11 12 12 44 44
2
2
2 2 2
2
11 44 12 44
2 2 2
22
x
yy
x x x
zz
y
x x x
z
u c c c c c
x y z
uu
u u u
uu
c c c c c
x x y x z y y x z z x
u
u u u
u
c с c с
x y z x y x z
Преобразуем второе из уравнений (2.9):
44 12 11
44
2 2 2
44 11 4
2 2 2
yy
xx
z
y
y
z
y y y
uu
uu
u
u ñ c c
x y x y x z y
u
u
ñ
z z y
u u u
ñ c ñ
x z y
2
2
4 12 12 44
x
z
u
u
c c ñ
x y z y
Третье из уравнений (2.9) имеет такой же вид, что и
последнее выражение. Таким образом, уравнения движения
48
проекций вектора смещения могу быть представлены в форме
обобщенных волновых уравнений:
1)
2
2 2 2 2
2
11 44 12 44
2 2 2 2
y
x x x x
z
u
u u u u
u
c с c с
t x y z x y x z
, (2.10а)
2)
2 2 2 2
2
2
44 11 44 12
2 2 2 2
y y y y
x
z
u u u u
u
u
с c с c
t x z y x y z y
, (2.10б)
3)
2
2
2 2 2 2
44 11 44 12
2 2 2 2
y
x
z z z z
u
u
u u u u
с c с c
t x y z x z y z
. (2.10в)
Пусть в упругой изотропной неограниченной среде
распространяется плоская волна в направлении х. Тогда процессы
в среде однородны в направлениях y и z, т.е. производные
0
y
и
0
z
, а уравнения движения (2.9) записываются в виде:
31
11 21
1 2 3
1 1 1
, , u u u
x x x
. (2.11)
В направлении х возникают зависящие от х напряжение
сжатия (расширения)
1
( ) ( )
xx
xx
и напряжения сдвига
12 6 13 5
( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )
xy xz
x x x x x x
. Эти напряжения,
возникающие в элементарном объеме
dV dxdydz
,
проиллюстрированы на рис. 2.3.
49
Рис. 2.3. Иллюстрация смещения элементарного объема
dV dxdydz
под действием механических напряжений,
зависящих от координаты х
Здесь показано, как в направлении х меняется
1
и
появляется составляющая силы
1x
ff
, действующей на единицу
объема среды:
11
11
11
( ) ( )
( ) ( )
x
f dV x dx x dydz
x dx x dydz dV
xx
.
Отсюда
1
xx
fu
x
; естественно, это уравнение
совпадает с соответствующим уравнением из (2.11). В
рассматриваемом случае уравнения (2.11) принимают вид
стандартных волновых уравнений:
22
22
11
0
xx
uu
x c t
,
22
22
44
0
yy
uu
x c t
и
22
22
44
0
zz
uu
x c t
. (2.12)
50
Величина
ik
c
в (2.12) имеет размерность квадрата скорости.
Поэтому в направлении х распространяются две независимые
волны с различными скоростями:
11
1
c
v
и
44
23
c
vv
. (2.13)
В одной из волн, распространяющихся со скоростью
1 l
vv
,
смещения частиц среды
x
u
происходят в направлении
распространения, в другой – распространяющейся со скоростью
23s
v v v
, вектор смещения
s
u
с компонентами
y
u
и
z
u
лежит в
плоскости, перпендикулярной направлению волны. Первая
называется продольной, а вторая – поперечной (сдвиговой). При
этом, как видно из (2.13), скорость продольных волн всегда
больше скорости поперечных, поскольку
11 44
cc
. Т.к. поперечные
волны связаны с недиагональными элементами тензора
деформаций, то величина элемента объема в поперечной волне не
меняется; продольная же волна сопровождается сжатиями и
расширениями элементов среды.
При распространении упругой волны в произвольном
направлении удобно бывает записывать волновые уравнения
(2.12) в виде:
2
2
2
0
l
ll
u
vu
t
и
2
2
2
0
s
ss
u
vu
t
. (2.14)
В монохроматической упругой волне векторы смещения
продольной и поперечной частей имеют, соответственно, вид:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]