Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Механика сплошных сред. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

соответствующей оси. В системе главных осей тензора деформаций квадрат элемента длины деформированного тела имеет вид:

(0)

dl dx dx dy dy dz dz

dx dy dz





     





С другой стороны,

2 2 2 2

dl dx dy dz

   

  

. Сравнивая правые

части последних двух выражений и сохраняя величины первого порядка малости, получаем:

(0) (0)

(0)

1 2 1 (1 )

du du

dx dx dx dx

dx dx







     

 

(0) (0)

(0)

1 2 1 (1 )

du du

dy dy dy dy

dy dy







     



 

, (1.5)

(0) (0)

(0)

1 2 1 (1 )

du du

dz dz dz dz

dz dz







     

 

Очевидно, что относительные удлинения

(0)

1 xx

dx dx









(0)

2 yy

dy dy









(0)

3 zz

dz dz









, а деформированный

элементарный объем

dV dx dy dz

   



. Если подставить в это

выражение значения деформированных элементов длины из (1.5) и сохранить лишь величины первого порядка малости, то

 

1 2 3

1dV dV

  



   

. (1.6)

Т.к. сумма диагональных элементов тензора является инвариантом, то в любой системе координат

 

dV dV







, т.е

1 2 3ii

   

  

. (1.7)

Сумма диагональных элементов тензора деформаций

определяет относительные деформации, возникающие при всестороннем сжатии твердого тела.

1.2. Тензор механических напряжений

Как указывалось выше, источником деформаций в упругом твердом теле являются внешние силы. В дальнейшем исключим из рассмотрения движение тела как целого и будем рассматривать лишь процессы, обусловленные тем действием внешних сил, которые приводят лишь к деформации упругой среды. В свою очередь, в деформированной среде возникают напряжения – внутренние силы, которые стремятся вернуть каждый элемент объема в исходное недеформированное состояние. При этом возникающие внутренние напряжения компенсируют действие сил на этот элемент со стороны окружающей среды. В случае внешних сил, зависящих от времени, деформации передаются от точки к точке среды, что связано с упругими взаимодействиями атомов среды.

Выделим в упруго деформированной среде объем V и рассмотрим силу, действующую на него со стороны окружающей среды. Очевидно, что

F fdV



, (1.8)

где f – сила, действующая на единицу объема.

Эта сила уравновешивается внутренними силами, которые скомпенсированы внутри рассматриваемого объема и поэтому оказывают противодействие лишь по поверхности S объема .V

Эти поверхностные силы характеризуются тензором механического напряжения

F S









. (1.9)

Механическое напряжение определяет действие

-той

составляющей упругой силы на единицу поверхности

cos

dS dS n dS





– проекция площадки

dS ndS

на

плоскость, перпендикулярную оси

(см. рис. 1.2).



Рис. 1.2. Проекция элемента поверхности dS на плоскость xy

Введение механического напряжения, измеряемого в единицах давления (Н/м2), позволяет представить силу, действующую со стороны выделенного объема на окружающую среду в виде

i uk k

F dS







(1.10)

(здесь и в дальнейшем, по-прежнему, используются «слепые»

индексы суммирования).

Из сравнения (1.8) и (1.10) следует, что

i uk k

f dV dS







. (1.11)

Но в соответствии с теоремой Гаусса

uk k

dS dV











. (1.12)

Поэтому проекция силы, действующей в единице объема упруго деформированной среды, представляется в виде.









. (1.13)

При равновесии сумма всех внутренних и внешних сил равна нулю, т.е.

()0e









. (1.14)

Очевидно, что в отсутствие внешних сил









. При этом

равен нулю и момент сил, действующих на рассматриваемый объем V со стороны окружающей упругой среды.

Рассмотрим более подробно описание момента сил

 

: как

известно, составляющие векторного произведения являются

компонентами антисимметричной части тензора произведения составляющих двух векторов. Поэтому

ik i k k i

M x F x F

Т.к. при переходе к характеристикам упругой среды

i ik





, то для составляющей момента, действующего на

единичный объем упругой среды, в соответствии с (1.11) можно записать

( ) ( )

i k k i i kj j k jk j

x f x f dV x n x n dS



  



. Применяя

теорему Гаусса, получаем

( ) ( )

i kj j k jk j i kj j k jk j

x n x n dS x n x n dV

   



  





. Если учесть, что

xx





при

ij

и равна 1 при

ij

, то

 

ik ki

ik i k k i i j ik ki

i i j

M x f x f x x

x x x









     



  



Но в отсутствие внешних сил

M 

. Следовательно

ik ki





, т.е. тензор второго ранга механических напряжений так

же, как и тензор деформаций, симметричен. Компоненты тензоров





представляются квадратными матрицами

11 12 13

12 22 23

13 23 33

  

   

  

 



  

11 12 13

12 22 23

13 23 33

  

   

  

 



  

. (1.15)

Во многих случаях бывает удобно вместо тензорных записей использовать векторные: 11  1, 22  2, 33  3, 23  4, 31  5, 12  6. При этом

11 1 22 2 33 3 23 32 4 31 13 5 12 21 6

, , , , ,

              

        

11 1 22 2 33 3 23 32 4 31 13 5 12 21 6

, , , , , .

              

        

На рис. 1.3 схематически представлены напряжения

растяжения (сжатия) а)

11 1 22 2 33 3

, ,

     

  

и сдвига

б)

23 4 13 5 12 6

, ,

     

  



а)

б)



Рис. 1.3. Механические напряжения

растяжения (сжатия) (а) и сдвига (б)

Тензор деформаций может быть приведен к диагональному виду:

11 12 13 1

12 22 23 2

13 23 33 3

0 0

           

       



           

, (1.16)

где



– главные значения тензора напряжений. Когда

координаты выбраны так, что они совпадают с главными направлениями тензора напряжений, сдвиговые компоненты напряжений исчезают.

Рассмотрим некоторые частные формы тензора напряжений.

1. Линейно однородное напряжение –

0 0 0



  

 

возникает в длинном вертикально подвешенном стержне, нагруженном грузом на конце.

2. Плоское напряженное состояние (двуосное

напряжение)

–

0 0

0 0 0



  

 

возникает в тонкой однородной и изотропной пластине, нагруженной силами и моментами сил, приложенными к ее периметру.

3. Объемно распределенное напряжение (трехосное

напряжение) , форма которого определяется выражением (1.16).

4. Гидростатическое давление приводит к всестороннему

сжатию –

00 00 00



 



 





5. Напряжение чистого сдвига. В частном случае двуосного

напряжения

0 0

0 0 0





  

 

. Силы, действующие на элемент

поверхности, представлены на рис. 1.4а. Если систему координат повернуть относительно оси на 45о, то нормальные напряжения исчезают (рис. 1.4 б, в),

а тензор напряжений принимает вид –

0 0

0 0 0



  

 

а) б) в)

Рис. 1.4. Образование напряжения чистого сдвига в изотропной

среде (кручение длинного стержня относительно оси

направленной вдоль длины стержня): а) – сжатие





растяжения





; б) – поворот системы координат на 45о;

в) – разложение сил с образованием напряжения

сдвига

12 21

  



При этом ось х3 называется осью сдвига (длинный стержень,

подвергнутый кручению относительно оси, направленной вдоль его длины).

1.3. Закон Гука в обобщенной форме. Упругие постоянные

Вследствие деформаций в упругой среде возникают

механические напряжения, т.е.

()

ik jl





. В случае малых

деформаций

()

ik jl



можно разложить в ряд по степеням малости



вблизи положения равновесия





(0) ...

ik ik jl





  







  



(1.17)

Т.к. в недеформированной среде механические напряжения

отсутствуют, то

(0) 0





, и выражение (1.17) в линейном

приближении можно представить в форме закона Гука:

ik ikjl jl





, где

ikjl















. (1.18а)

Коэффициенты

ijkl

называются упругими жесткостями.

Размерность упругих жесткостей, как это видно из (1.18), совпадает с размерностью механического напряжения.

Очевидно, что закон Гука можно записать и в виде:

ik ikjl jl





, где

ikjl















. (1.18б)

Коэффициенты

ikjl

называются упругими податливостями,

единицей их измерения является Н-1м2. Упругие жесткости и упругие податливости называются упругими постоянными и представляют собой материальные константы, т.е. являются индивидуальными характеристиками того или иного материала.

Упругие постоянные

ijkl

образуют 34 = 81 элементов

тензора четвертого ранга. Рассмотрим более подробно тензор упругих постоянных

ijkl

. В силу симметричности тензоров

деформаций (

jl lj





) и тензора напряжений

ik ki





тензоры

ijkl

симметричен по индексам i,k и j,l. Кроме того, тензоры

ijkl

симметричны относительно перестановки пар индексов i,j и

k,l. Непосредственным подсчетом можно убедиться в том, что из

81 элементов отличаются лишь 21 элемент. Эти 21 элементов удобно представить симметричной квадратной матрицей из 36 элементов (см. 1.16), если принять 11  1, 22  2, 33  3, 23 =32

 4, 31=13  5, 12=21  6. Тогда закон Гука можно записать в

матричной форме

i ik k





или

k ik i





, (1.19)

где

, 1,2,3,4,5,6ik

, причем квадратные матрицы cik и ski

симметричны, т.е.:

12 21 13 31 14 41 15 51 16 61

23 32 24 42 25 52 26 62

34 43 35 53 36 63

45 54 46 64

56 65

, , , =c , =c ,

, , =c , =c ,

, , ,

, ,

c c c c c c c c c c c c c c

c c c c c c c c c c cc





    

Аналогичные соотношения справедливы и для матрицы

упругих податливостей, которая является обратной матрице упругих жесткостей.

Таким образом, общее количество в общем случае не равных

нулю упругих постоянных не превышает 6 диагональных

11 22

, ,cc

33 44

, cc

55 66

, cc

и 15 недиагональных элементов.

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]