Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика сплошных сред. Учебно-методическое пособие
.pdf
61
1)
22
22
ll
uu
K
t t x
и 2)
22
22
sy sy
uu
t t x
. (2.33)
При записи второго из этих уравнений учтено, что сдвиг не
сопровождается изменением объема. Уравнение для второй
составляющей сдвиговой волны
sz
u
такое же, что и для
sy
u
.
Рассмотрим особенности процесса распространения
колебаний частоты
, поляризованных в плоскости,
перпендикулярной направлению х. Второе из уравнений (2.33)
можно проинтегрировать по времени и привести его к виду
2
2
ss
uu
tx
.
Учтем, что
i
t
. Тогда при подстановке плоской волны
()
0
s
i t k x
ss
u u e
получаем дисперсионное уравнение (одинаковое
для каждой из составляющих сдвиговой волны
sy sz s
k k k
):
2
s
ik
. Отсюда
2
(1 )
2
i
s
i
k e i
.
Таким образом, наличие вязкости приводит к комплексности
волнового числа
s s s
k k ik
, причем
2
s
k
и
2
s
ki
. (2.32)
Комплексность
s
k
приводит к тому, что сдвиговая волна
()
0
ss
k x i t k x
ss
u u e e
является затухающей – ее амплитуда
экспоненциально уменьшается в направлении распространения. На
62
расстоянии
12
s
k
амплитуда волны уменьшается в e раз;
величина называется глубиной проникновения волны в
жидкость. Скорость распространения сдвиговой волны в жидкости
2
s
s
v
k
. (2.33)
Перейдем к рассмотрению продольных волн в вязкоупругой
жидкости. Выполнение выкладок, аналогичных приведенным
выше, обеспечивает дисперсионное уравнение
1
l
K
ki
K
, или
1
l
K
k
i
K
, (2.34)
где
l l l
k k ik
.
Как правило, жидкости практически несжимаемы и,
следовательно,
K
вплоть до частот
13
10
Гц. Поэтому
1
2
1
1
2
i
K
i
i
K
K
.
Теперь дисперсионное уравнение (2.34) можно представить в
виде:
1
2
ll
K
i k ik
K
. (2.35)
63
Приравнивая действительные и мнимые части (2.35),
l
K
k
l
K
v
2
2 2 2
ll
l
kk
v K K K
.
Величина
l
k
, определяемая полученными равенствами,
называется коэффициентом затухания , а продольная волна в
жидкости имеет вид:
()
0
l
i t k x
x
ll
u u e e
.
Еще раз отметим, что в прозрачных жидкостях затуханием
акустической волны можно пренебречь.
В качестве примера рассмотрим распространение упругих волн
в воде (Н2О), для которой при комнатной температуре
2000 МПа K
и кинематическая вязкость
62
10 м /с.
Пусть в
воде распространяется звуковая волна частотой 10 кГц. Скорость
распространения продольной волны
6
2 10 1414 (м/с).
l
v
Тогда
коэффициент затухания продольной составляющей волны
2 8 3
6
9
(2 ) 10 10
1,4 10 1/м,
2 1414 2 10
l
vK
т.е. амплитуда волны
уменьшится в e раз на расстоянии
1/ 700 кмx
от источника.
Разумеется, реальное расстояние х значительно меньше, что связано
с перепадами температур и рассеянием на неоднородностях.
Скорость распространения волны сдвига
46
2
4 10 10 0,35
s
v
(м/с).
Затухание
46
10 10 0,18
2
s
(1/м).
64
Амплитуда волны сдвига уменьшается в e раз на расстоянии
1/ 5,6
ss
x
(м).
2.4.2. Упругие волны в газах
Описание упругих волн в газах практически не отличается от
описания волн в жидкостях. Разница заключается лишь в том, что
упругость газов значительно больше, чем жидкостей, а вязкость –
значительно ниже. Кроме того, давление в газах зависит как от
температуры, так и от процессов, в которых происходят сжатие и
расширение участков газовой среды. При распространении
акустической волны звуковых или ультразвуковых частот за период
колебаний теплообменом деформированных участков с
окружающей средой можно пренебречь. Другими словами, при
распространении продольных акустических волн периодические
процессы сжатий и расширений можно рассматривать как
адиабатические. Как указывалось ранее в пункте 1.5.2, упругость газа
в адиабатном процессе
RT
Kp
M
. Поэтому скорость
распространения звуковых волн в газах
K RT
v
M
.
Оценим скорость звука в воздухе, полагая воздух
двухатомным газом (
7/5
) с молярной массой
3
29 10 кг/моль,M
при нормальных условиях (
273T
К):
3
7 8,31 273
331
5 29 10
v
(м/с).
Полученный результат практически не отличается от
табличного значения скорости звука в воздухе, равного 343 м/с.
65
2.5. Энергия упругих волн
2.5.1. Общие положения
Волна переносит энергию. Характеристикой процесса
переноса энергии волной является вектор плотности потока
энергии (вектор Умова-Пойнтинга) :
Вектором плотности потока энергии
P
называется
количество энергии, переносимое волной в единицу времени
через единичную площадку, перпендикулярную направлению
этого потока. Единицей плотности потока энергии Р является
Дж/(см2) = Вт/м2.
Для нахождения вектора Умова-Пойнтинга
P
воспользуемся законом сохранения энергии в отсутствие потерь:
если в некотором объеме V энергия волны W уменьшается, то
имеет место поток П вектора P через поверхность
,S
ограничивающую рассматриваемый объем. Это утверждение
записывается как
dW
dt
. Если плотность энергии волны w
представить в виде суммы кинетической и потенциальной энергий
единицы объема, то энергия объема V запишется так:
2
1
( , 1,2,3)
22
i
ij ij
V
v
W dV i j
.
Поток по определению
jj
S
P dS
.
Теперь закон сохранения энергии запишется так:
2
1
22
i
ij ij j j
VS
v
d
dV P dS
dt
(2.36)
66
где
j
dS
– элементарная площадка, нормаль к которой направлена
вдоль оси j.
Рассмотрим левую часть выражения (2.36), учитывая, что
ij ijkl kl
c
:
1
()
2
i
i iklj kl ij
V
u
u c dV
dt t t
. (2.37)
Но
11
()
22
ij
kl
iklj kl ij iklj ij iklj kl
kl kl i
iklj ij ij ij
j
c c c
t t t
u
c
t t x
.
Кроме того, учтем, что в соответствии с уравнением
движения (2.9)
ij
i
j
u
tx
. Тогда подынтегральная функция в
выражении (2.37) принимает вид:
1
()
2
ij
ii
i iklj kl ij i ij i ij
j j j
uu
u c u u
t t x x x
,
а
i ij
j
V
dW
u dV
dt x
. (2.38)
В соответствии с формулой Гаусса этот интеграл можно
перевести в поверхностный по замкнутой поверхности S,
ограничивающей объем V:
67
i ij i ij j
j
VS
dW
u dV u dS
dt x
.
Сравнивая последний результат с (2.36), получаем
выражение для проекций вектора плотности потока энергии
j i ij
Pu
. (2.39)
Если ввести скорость переноса энергии
g
U
, называемую
групповой скоростью, то из определения вектора плотности
потока энергии следует, что его можно определить так:
g
P w U e
, (2.40)
где e – единичный вектор в направлении переноса энергии.
2.5.2. Энергия плоских монохроматических волн в
изотропных твердых материалах и
в кубических кристаллах
Определим плотности кинетической и потенциальной
энергий плоской упругой волны, распространяющейся в
направлении х (1) в изотропном материале. Такая волна является
двухкомпонентной, состоящей из независимых волн – продольной
и сдвиговой, распространяющихся с различными фазовыми
скоростями. Кроме того учтем, что плотность энергии является
квадратичной функцией скорости и смещения, и поэтому
выражение для плоской волны следует записать как
11
()
0 0 1 1
Re cos( )
i t k x
u u e u t k x
.
Тогда в рассматриваемом случае
68
0 1 0 1
cos( ) cos( )
l s l l s s
u u u u t k x u t k x
, (2.41)
где
1l
uu
и
2 2 2
23s
u u u
.
Определим плотность кинетической и потенциальной
энергий такой волны
222
1 2 3
2 2 2 2 2
0 1 0 1
1
2
1
sin ( ) sin ( )
2
кин
l l s s
w u u u
u t k x u t k x
, (2.42а)
1
2 2 2
3
2
11 44
1 1 1
2 2 2 2 2 2
11 0 1 1 44 0 1
11
22
1
2
11
sin ( ) sin ( )
22
j
k
пот iklj ik jl iklj
il
l l s s s
u
u
w c c
xx
u
u
u
cc
x x x
c k u t k x c k u t k x
. (2.42б)
Как было показано в п. 2.3,
2
11l
kc
для продольной
составляющей волны и
2
44s
kc
– для сдвиговой.
Следовательно, выражение (2.42а) представляет собой плотность
кинетической энергии продольной и поперечной составляющих
волны, а выражение (2.42б) – плотность потенциальной энергии.
Таким образом, в плоской волне плотность кинетической энергии
равна плотности потенциальной энергии, а полная плотность
энергии волны
2 2 2 2 2 2
11 0 1 44 0 1
2 2 2 2 2
0 1 0 1
sin ( ) sin ( )
sin ( ) sin ( )
кин пот l s
l l l s s s
l l s s
w w w w w
k c u t k x k c u t k x
u t k x u t k x
(2.43),
69
(здесь
l
w
– плотность энергии продольной составляющей, а
s
w
– поперечной).
Отметим, что в изотропной среде упругие жесткости
11
с
и
44
с
связаны с модулем Юнга и модулем сдвига соотношениями (2.13).
Полученное равенство плотности кинетической и
потенциальной энергий остается справедливым для плоских волн
любой природы в любых средах, в том числе в кристаллах,
жидкостях и газах.
Определим компоненты вектора плотности потока энергии.
Составляющая вектора P в направлении распространения волны
1 1 1 11 2 21 3 31
1 11 1 12 2 3 2 44 6 3 44 5
33
1 2 2 1 1
1 11 12 2 44 3 44
1 2 3 1 2 1 3
()
()
ii
P u u u u
u c c u c u c
uu
u u u u u
u c c u c u c
x x x x x x x
.
Но
22
0
xx
, поэтому
3
12
1 1 11 44 2 3
1 1 1
u
uu
P u c c u u
x x x
.
Учитывая форму записи (2.41) рассматриваемой волны,
получаем
2 2 2 2 2
1 11 0 1 44 20 30 1
2 2 2 2
11 0 1 44 0 1
sin ( ) sin ( )
sin ( ) sin ( ).
l l l s s
l l l s s s
P c k u t k x c k u u t k x
c k u t k x c k u t k x
С другой стороны, учитывая связь волнового числа с
частотой и фазовой скоростью, полученное выражение для
составляющей вектора плотности потока энергии можно
представить в виде суммы плотности потоков энергии продольной
70
и поперечной составляющих волны:
1 l l s s
P v w v w
, где
l
w
и
s
w
определяются формулами (2.42), (2.43).
Для нахождения проекций
2
P
и
3
P
рассмотрим отдельно
каждую из них для продольной и сдвиговой составляющих волны.
При определении
2l
P
и
3l
P
учтем, что в продольной
волне
23
0uu
и, по-прежнему,
22
0
xx
. Тогда
3
2
2 1 12 1 44 6 1 44
32
0
l
u
u
P u u c u c
xx
,
3
1
3 1 13 1 44 5 1 44
31
0
l
u
u
P u u c u c
xx
.
При расчете
2s
P
и
3s
P
принимаем
1
0u
,
22
0
xx
.
2 2 22 3 32 2 12 1 3 3 44 4
33
12
2 12 3 44
1 3 3 2
3
( ) 0
0
s
P u u u c u c
uu
uu
u c u c
x x x x
,
3 2 23 3 33 2 44 4 3 12 1 2 11 3
33
2 2 1
2 44 3 12 11
2 3 2 1 3
3
()
0
s
P u u u c u c c
uu
u u u
u c u c c
x x x x x
.
Следовательно, вектор плотности потока энергии
()
l l s s
P v w v w n
. (2.44)
Полученные для изотропной среды результаты справедливы
и для кубических кристаллов при распространении плоской
монохроматической волны в направлении 100. Однако, в этом
случае следует учитывать независимость двух сдвиговых волн и
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]