Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика сплошных сред. Учебно-методическое пособие
.pdf
31
1
0
2
y
z
yz
u
u
zy
,
1
0
2
x
z
xz
u
u
zx
,
1
0
2
y
x
xz
u
u
yx
. (2)
Определим составляющие векторов смещений (абсолютные
деформации)
xy
uu
и
z
u
, учитывая, что
x
xx
u
x
,
y
yy
u
y
и
z
zz
u
z
:
0
( , ) ( ) ( )
x
x
u z x g L z dx g L z x
EE
,
0
( , ) ( ) ( )
y
y
u z y g L z dy g L z y
EE
.
Полученные выражения для проекций деформации
x
u
и
y
u
будут удовлетворять условиям (2), если
0
x
zz
u
uu
g
x
z x E x
, т.е.
z
u
g
x
xE
. Аналогично
получаем
z
u
g
y
yE
. Следовательно,
( , , )
zz
u u x y z
и
z z z
z
u u u
du dx dy dz
x y z
.
Тогда, выполняя интегрирование, получаем
0 0 0
2 2 2 2
( , , ) ( )
( ) ( )
2
y
zx
z
g g g
u x y z L z dz xdx ydy
E E E
g
L z L x y
E
.
32
Пример 2. Показать, что в изотропной среде тензор
напряжений
00
0 0
0 0 0
эквивалентен напряжению чистого сдвига
00
0 0
0 0 0
Решение
В изотропной среде поворот деформированного в плоскости
xy (12) плоского элемента относительно координатной оси z (3) не
приводит к изменению его состояния. Рассмотрим преобразование
элементов тензора
00
0 0
0 0 0
ik
при повороте плоскости 12 относительно оси 3 на угол 45о.
При этом закон преобразования компонентов тензора имеет вид
ik ij kl jl
aa
, а матрица такого преобразования
1/ 2 1/ 2 0
1/ 2 1/ 2 0
0 0 1
ij kl
aa
.
Тогда
22
11 1 11 1 12 12 11 11 12 11 21 12 22
22
11 22
( ) 2
(1/ 2 1/ 2) 0
j j j
a a a a a a a
aa
.
Аналогично находим
12 13 22
, ,
и
23
(
33 33
0
).
33
12 1 2 1 21 1 22 2 11 21 11 12 22 22
()
( 1/ 2) 1/ 2
j l jl j j j
a a a a a a a a a
13 1 3 1 33 3 1 3
0
j l jl j j j j
a a a a a
23 2 3 2 33 3 2 3
0
j l jl j j j j
a a a a a
22
22 2 2 2 21 1 22 2 21 11 22 22
( ) 0
j l jl j j j
a a a a a a a
Таким образом, напряжения
11
и
22
эквивалентны напряжению чистого сдвига
12 21
(кручению плоскости 12 относительно оси 3).
Пример 3. Показать, что матрицы упругих постоянных
кубических кристаллов и изотропных материалов имеют вид:
11 12 12
12 11 12
12 12 11
44
44
44
с с с
с с с
с с с
с
с
с
и
11 12 12
12 11 12
12 12 11
44
44
44
s
ss
s s s
s s s
s
s
s
,
точками обозначены элементы, равные нулю.
Решение
В силу эквивалентности всех направлений в изотропных
твердых материалах и эквивалентности направлений вдоль ребер
кубических кристаллов повороты относительно любой – оси в
изотропном материале и относительно осей координат,
совпадающих с ребрами кубического кристалла, на угол 90о не
должны приводить к изменению упругих свойств.
34
Рассмотрим поворот плоскости xy относительно оси z на
90о. При этом x переходит в y, y переходит в –x, а координата z
остается неизменной, т.е.
, , x y y x z z
или
1 2, 2 1, 3 3
.
Для пар координат и двухиндексной формы представления
элементов тензора четвертого ранга можно записать: 11(1)
22(2), 22(2) 11(1), 33(3) 33(3), 12 = 21(6)
–21 = –12(–6), 13 = 31(5) 23 = 32(4), 23 = 32(4) –13 = –31(–5).
Для сочетания четырех координат (четырех индексов)
получаем 1111(11) 2222(22), 2222(22) 1111(11), 3333(33)
3333(33). Из этих переходов следует, что
11 22 22 11
, с с с с
и
33 33
сс
. Отсюда получаем
11 22
сс
.
При повороте относительно оси
x
плоскости
yz
(2) (3), (3) ( 2)y z z y
. Поэтому
2222 22 3333 33
,с с с с
3333 33 2222 22
(с)с с с
и
22 33
сс
.
Сравнивая с предыдущим результатом, приходим к выводу,
что в изотропном материале и в кубических кристаллах
11 22 33
с с с
.
Рассмотрим преобразования диагональных элементов
44 55
,сс
и
66
с
. Повороту относительно оси z на 90о соответствуют
преобразования: 1212(66) 2121(66), 1313(55) 2323(44),
2323(44) 1313(55), откуда следует, что
44 55
сс
,
55 44
сс
и
66 66
сс
, т.е.
44 55
сс
.
Поворот плоскости yz относительно оси х приводит к
преобразованиям 1212(66) 1313(55), 1313(55) 1212(66),
2323(44) 3131(55);
66 55
cc
и наоборот, а
44 55
cc
. Объединяя
эти результаты с предыдущими, получаем
44 55 66
c c c
.
35
Рассмотрим преобразования элементов
12 13
, cc
и
23
c
,
воспользовавшись поворотом системы координат на 90о
относительно оси z: 1122(12) 2211(21), 1133(13) 2233(23),
2233(23) 1133(13), т.е.
13 23
cc
.
Поворот относительно оси y приводит к равенствам
12 13 23
с с с
. При рассмотрении преобразований упругих
постоянных
14 41 15 51 16 61 24 42 25 52 26 62
34 43 35 53 36 63 45 54 46 64 56 65
, , , , , ,
, , , , ,
с с с с с с с с с с с с
с с с с с с с с с с с с
удобно использовать эквивалентность свойств кубических
кристаллов и изотропных материалов при поворотах системы
координат относительно любой из осей на 180о.
Поворот относительно оси z приводит к преобразованиям
1(1) 11(1), 22(2) 22(2), 33(3) 33(3), 12(6) 12(6), 13(5) –
13(–5), 23(4) – 23(–4). Тогда 1123(14) 1123(–14). Поэтому
14 14
cc
, т.е.
14 14
0cc
.
Аналогично получаем 1113(15)1113(–15) и
15 15
0cc
;
2213(25) –2213(–25) и
25 25
0cc
; 2223(24) –2223(–24) и
24 24
0cc
;
3323(34) –3323(–34) и
34 34
0cc
; 3313(35) –3313(–35) и
35 35
0cc
.
Для получения преобразований элементов
16 26 36 465 56
, , , , c c c c c
используем поворот на 180о относительно
оси х, при котором
1 1, 2 2, 3 3
. В этом случае
1112(16) 1112( 16)
и
16 16
0cc
;
2212(26) 2212( 26)
и
36
26 26
0cc
;
3312(36) 3312( 36)
и
36 36
0cc
;
2312(46) 2346( 46)
и
46 46
0cc
;
2313(45) 2313( 45)
и
45 45
0cc
.
Наконец, преобразование
56
c
найдем с помощью поворота на
180о относительно оси y, при котором
1 1, 2 2
и
33
:
1312(56) 1312( 56)
и
56 56
0cc
.
Таким образом, матрица упругих жесткостей кубических
кристаллов (в том числе и изотропных материалов) содержит
отличные от нуля элементы
11 22 33
c c c
,
12 13 23
c c c
и
44 55 66
c c c
. Такой же вид имеет и матрица упругих
податливостей.
1.6.2. Задачи для аудиторного и самостоятельного
выполнения
1.1. Показать, что наличие центра симметрии (независимость
свойств материала относительно преобразования
, , x x y y z z
) приводит к уменьшению числа
независимых упругих постоянных с 21 до 3.
1.2. Показать, что напряжение, определяемое отличными от
нуля составляющими
11 33
,
в изотропном материале,
эквивалентно напряжению сдвига с компонентами
13 31
(кручение стержня относительно оси y, направленной вдоль его
длины).
37
1.3. Показать, что напряжение, определяемое отличными от
нуля составляющими
22 33
,
в изотропном материале,
эквивалентно напряжению сдвига с компонентами
23 32
(кручение стержня относительно оси x, направленной вдоль его
длины).
1.4. Показать, что в изотропном материале
44 11 12
( )/ 2c c c
.
1.5. Показать, что в изотропном материале
44 11 12
2( )s s s
.
1.6. Используя тот факт, что энергия деформированного тела
представляет собой положительную квадратичную форму всех
возможных деформаций, показать, что критерием механической
устойчивости кубических кристаллов и изотропных материалов
является выполнение условий:
44
0c
,
11 12
cc
и
11 12
20cc
.
1.7. Упругие податливости кубических кристаллов каменной
соли (NaCl)
11
11
2,21 10s
м2 /Н,
11
12
0,45 10s
м2/Н и
11
44
7,83 10s
м2 /Н. Определить упругие жесткости
11 12
, cc
и
44
c
.
1.8. Упругие податливости кубических кристаллов каменной
соли (NaCl)
11
11
2,21 10s
м2 /Н,
11
12
0,45 10s
м2/Н и
11
44
7,83 10s
м2 /Н. Определить коэффициент Пуассона, модули
Юнга, сдвига и всестороннего сжатия соли.
1.9. Определить коэффициент Пуассона, модули Юнга,
сдвига и всестороннего сжатия алмаза, если известно, что его
упругие жесткости равны:
11
11
10,7 10c
Н/м2,
11
12
1,25 10c
Н/м2,
11
44
5,76 10c
Н/м2.
38
1.10. Упругие податливости кристаллического алюминия
11
11
1,59 10s
м2 /Н,
11
12
0,58 10s
м2/Н и
11
44
3,52 10s
м2 /Н.
Определить коэффициент Пуассона, модули Юнга, сдвига и
всестороннего сжатия алюминия. Кристаллическая решетка
алюминия кубическая.
1.11. Упругие податливости поликристаллического
алюминия
11
11
1,59 10s
м2 /Н ,
11
12
0,58 10s
м2/Н .
Определить коэффициент Пуассона, модули Юнга, сдвига и
всестороннего сжатия алюминия.
1.12. Модуль Юнга кристаллической меди
11 2
0,67 10 Н/м ,E
а коэффициент Пуассона
0,644
и модуль
сдвига
11
0,75 10G
Н/м2. Найти упругие податливости меди,
полагая, что ее кристаллическая решетка меди кубическая.
1.13. Коэффициент Пуассона поликристаллического
вольфрама и модуль сдвига равны соответственно
0,29
и
11
1,515 10G
Н/м2. Найти упругие податливости вольфрама.
1.14. Модуль Юнга никеля
11
1,25 10E
Н/м2, а модуль
сдвига
11
1,03 10G
Н/м2. Определить коэффициент Пуассона и
модуль всестороннего сжатия.
1.15.Упругие жесткости кубических кристаллов кремния
11
11
1,66 10c
Н/м2,
11
12
0,63 10c
Н/м2,
11 2
44
0,796 10 Н/м .c
Определить модуль Юнга, модуль сдвига и модуль всестороннего
сжатия кремния.
39
1.16. Модуль Юнга стали
11
0,6 10E
Н/м2, коэффициент
Пуассона
0,25
, модуль сдвига
11
0,5 10G
Н/м2. Является ли
такая сталь изотропным материалом?
1.17. Модуль Юнга свинца
11
0,16 10E
Н/м2, коэффициент
Пуассона
0,44
, модуль сдвига
11
0,056 10G
Н/м2. Является ли
такой свинец изотропным материалом?
1.18. При гидростатическом сжатии некоторой массы воды ее
объем уменьшился на 20%. Определить давление воды в результате
ее сжатия. Сжимаемость воды 0,5 ГПа-1.
1.19. Плотность морской воды вблизи поверхности
3
0
1,03 10
кг/м3. Определить плотность воды вблизи дна
Марианской впадины (считать глубину равной 10 км).
Для аудиторных занятий и домашних заданий
рекомендуется выполнение заданий, представленных в
примерах 1-3, а также №№ 1.16, 1.17 и 1.19.
1.6.3. Вопросы к промежуточной аттестации
по материалу раздела 1
1. Упругие деформации и тензор деформаций.
2. Тензор механические напряжения.
3. Примеры тензоров механических напряжений.
4. Закон Гука в обобщенной форме. Модули упругих
жесткостей и упругих податливостей.
40
5. Упругие жесткости и упругие податливости изотропных
твердых материалов и кубических кристаллов.
6. Модули Юнга, сдвига и всестороннего сжатия,
коэффициент Пуассона.
7. Упругие свойства жидкостей.
8. Упругость газов.
9. Плотность энергии деформированной среды.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]