Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика сплошной среды. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«ТЮМЕНСКИЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Ю. И. Казаринов, Е. А. Колосов, С. Н. Шедь
МЕХАНИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Учебное пособие
Тюмень
ТИУ
2023
УДК 531-3
К 14
Казаринов, Ю. И. Механика сплошной среды: учебное посо-
бие / Ю. И. Казаринов, Е. А. Колосов, С. Н. Шедь. – Тюмень: ТИУ,
2023. – 94 с. – Текст: непосредственный.
ISBN 978-5-9961-3191-4
ISBN 978-5-9961-3191-4
© Федеральное государственное
бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«Тюменский индустриальный
университет», 2023
ББК 22.25
К 14
напряжений и теории деформаций, теории прочности сплошного материала; приведены основные уравнения механики твердого деформируемого тела; кратко представлены основные методы аналитического решения статических и динамических задач механики сплошной среды в рамках теории упругости в пространственной постановке;
проанализировано распространение упругих волн в сплошной среде.
ведений технических направлений подготовки всех форм обучения.
Рецензенты:
кандидат технических наук, доцент Н. Р. Кривова;
кандидат географических наук, доцент И. С. Аитов
В учебном пособии рассмотрены основные положения теории
Пособие предназначено для обучающихся высших учебных за-
ББК 22.25
УДК 531-3
ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………..……......
5
1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ
УПРУГОЙ СРЕДЫ………………………………………………………
6
2. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В УПРУГОМ ТЕЛЕ……...….
2.1 Внутренние продольные силы. Метод сечений…………………...
2.2. Нормальные напряжения…………………………………………..
2.3. Закон Гука. Виды деформаций…………………………….….…...
2.4. Упругие перемещения сечений стержня…………………..……...
2.5. Распределенная нагрузка……………………………………….….
Контрольные вопросы и задания к разделу 2…………………...…….
9
9
10
11
13
15
18
3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ…………..
3.1. Сдвиг, касательные напряжения, угловые деформации………....
3.2. Линейное (одноосное) напряженное состояние………………….
3.3. Плоское (двухосное) напряженное состояние……………….…...
Контрольные вопросы и задачи к разделу 3…………………………...
19
19
21
23
28
4. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ…………………………………...….
4.1. Основные характеристики материалов……………………………
4.2. Диаграммы растяжения и сжатия пластических материалов…....
4.3. Диаграммы растяжения и сжатия хрупких материалов……..…...
4.4. Основные механические характеристики материалов………..….
4.5. Теории прочности…………………………………………………..
Контрольные вопросы и задачи к разделу 4…………………………...
29
29
29
32
32
33
35
5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ…….…..
5.1. Напряженное состояние в точке. Тензор напряжений………..….
5.2. Уравнение равновесия элементарного параллелепипеда……......
5.3. Уравнение равновесия элементарного тетраэдра…………….…..
36
36
38
41
6. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ СРЕДЫ…………..…..
6.1. Напряжение на наклонной плоскости……………………………..
6.2. Главные напряжения в точке тела……………………………...….
6.3. Наибольшие касательные напряжения в точке тела………….…..
Контрольные вопросы и задания к разделам 5 и 6………………...….
44
44
45
48
50
7. ДЕФОРМАЦИИ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. УСЛОВИЯ
СОВМЕСТНОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ…………………………………..
7.1. Связь между деформациями и перемещениями……………….....
7.2. Относительная линейная деформация в произвольном
на правлении………………………………………………………..……
7.3. Дифференциальные уравнения совместности деформаций….......
52
52
55
56
8. ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА……………………………..…..…..
8.1. Обобщенный закон Гука для изотропного тела……………...…...
8.2. Упругие константы Ламе…………………………………………..
Контрольные вопросы и задания к разделам 7 и 8………………...….
60
60
61
62
СОДЕРЖАНИЕ
3
9. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ……………
9.1. Уравнение движения Коши для упругой среды………….…..…..
9.2. Уравнение Ламе в перемещениях…………………………..……...
64
64
66
10. УРУГИЕ ВОЛНЫ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ……………….….…...
10.1. Плоские продольные волны напряжений в стержне….…..…….
10.2. Волновое уравнение……………………………………….….…..
10.3. Плоская волна напряжений в тонкой пластине…………….…...
10.4. Решение волнового уравнения……………………………..…….
10.5. Плоская Р-волна продольных колебаний в неограниченной
сплошной среде ………………….…………………………………..….
10.6. Плоская S-волна поперечных колебаний в неограниченной
сплошной среде ………………….……………………………….……..
10.7. Сферическая Р-волна в неограниченной среде……………..…...
Контрольные вопросы и задания к разделам 9 и 10…………………..
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ……………………..
70
70
72
74
76
79
82
85
91
93
4
ВВЕДЕНИЕ
Атомно-молекулярное строение материи является точно установленным фактом. При достаточном ее увеличении выясняется, что определенное тело, например кусок алюминия, состоит из дискретных атомов
алюминия, упакованных в определенном повторяющемся порядке, образующем кристаллическую решетку. При дальнейшем увеличении находим, что атом, в свою очередь, состоит из ядра, образованного из протонов и нейтронов, вокруг которого вращаются электроны. Следовательно,
материя не непрерывна [1-4]. В то же время повседневный опыт показывает, что физическое пространство, в котором мы живем, непрерывно,
а математические законы утверждают, что между двумя точками в пространстве, расстояние между которыми может быть сколь угодно малой,
всегда найдется еще одна точка. Однако, если считать справедливой концепцию сплошности материи, необходимо проигнорировать дискретную
структуру материальных тел и предположить, что субстанция таких тел
распределена непрерывным сплошным образом в частях пространства,
где тела локализованы. Принять гипотезу сплошности означает считать
справедливым предположение, что при бесконечном уменьшении объема
он будет сохранять физические свойства исходного тела [4].
Модель сплошной среды чрезвычайно важна для механики по двум
причинам. Во-первых, она очень удобна и надежна при изучении больших массивных тел из алюминия, стали, бетона и т.п., для которых характерные размеры намного превышают размеры молекул. Во-вторых, наше
знание механического поведения материалов практически полностью основывается на экспериментальных данных, полученных для относительно
больших (макроскопических) образцов [2-3].
Вся область механики сплошных сред разделяется на две главные
части. В первой части основное внимание уделяется выведению фундаментальных уравнений, справедливых для всех сплошных тел и сред. Эти
уравнения основываются на таких универсальных законах физики как законы сохранения массы, импульса, момента импульса, энергии и т.д. Во
второй части пособия развиваются так называемые определяющие урав-
нения, характеризующие поведение определенных идеализированных материалов (наверное, самые известные примеры таких материалов – это
упругое тело и вязкая жидкость). Эти уравнения выступают и как основной механизм, и как предмет исследования в теориях упругости, пла-
стичности, вязкоупругости и механике жидкости [4].
Пособие подготовлено по учебной программе дисциплины "Механика сплошной среды" для студентов технических направления подготовки.
5
1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕХАНИКИ
СПЛОШНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ
Целью механики сплошной упругой среды является аналитическое
определение и прогнозирование напряженно-деформированного состояния упругого тела или массива материала. С ее помощью могут быть проверены решения, полученные с использованием методов и предположений сопротивления материалов, и установлены пределы применения этих
решений. Иногда разделы механики сплошной упругой среды, в которых,
как и в сопротивлении материалов, рассматривают вопросы о прочности
и жесткости упругого тела, но с использованием более сложного математического аппарата (расчет нагруженных пластин, оболочек, тел и массивов), относят к прикладной теории упругости [2-3].
В этом пособии изложены основные положения математической
теории линейной механики сплошной упругой среды. Применение математики для описания физических явлений требует систематизации. В математической теории задачи решают с меньшим числом предположений
(упрощений) для наиболее точного описания явлений механики материалов. Это усложняет математические приемы, применяемые для решения.
В линейной теории механики материалов принимается линейная зависимость между напряжениями и деформациями (т.е. исполнение закона Гука для рассматриваемого материала). Для ряда материалов (в частности,
для хрупких) такая зависимость не всегда выполняется: диаграмма "σ-ε"
(напряжение-деформация) в пределах упругости имеет одинаковую форму
и при нагрузке, и при разгрузке, но в обоих случаях отклоняется от прямолинейной. Для практических расчетов это отклонение оказывается несущественным.
В математической линейной теории механики материалов принимают следующие положения (предположения или гипотезы) [4]:
1. Непрерывность (цельность) среды. При этом считают, что атомистическая (кристаллическая) структура вещества не влияет на правильность решений, а мелкие пустоты и включения отсутствуют.
2. Однородность материала. На основании этого считают, что состав
тела одинаков во всех точках. Для металлов это предположение не дает
больших погрешностей. Применительно к неоднородным материалам оно
может привести к значительным погрешностям только при рассмотрении
малых объемов. Если же величины неоднородностей на несколько порядков меньше размеров рассматриваемого массива или тела, то это предположение приемлемо.
3. Изотропность материала. На основании этого считают, что механические свойства материала одинаковы по всем направлениям. Кристаллическое строение материалов не совсем соответствует этому свойству,
но для массива в целом, состоящего из большого количества мелких кри-
6
сталлов, можно считать, что эта гипотеза справедлива. Для материалов,
имеющих различные механические свойства в разных направлениях, разработана теория упругости ортотропных и анизотропных материалов.
4. Идеальная упругость материала. На основании этого предполагается полное исчезновение деформаций после снятия нагрузки. Как известно, в реальных телах при больших нагрузках возникают остаточные
деформации. Поэтому предположение можно считать подходящим, если
остаточная деформация не превышает заданную допустимую норму.
5. Линейная зависимость между компонентами деформаций и напряжений (по закону Гука).
6. Малость деформаций. На основании этого предполагается, что относительные линейные и угловые деформации малы по сравнению с единицей (т.е. деформации тел значительно меньше их размеров). Для таких
материалов, как резина, или таких конструкций, как пружины, создана
теория больших упругих деформаций.
7. Принцип независимости действия нагрузок. Конечное (суммарное)
напряженно-деформированное состояние тела под действием нескольких
(системы) нагрузок не зависит от порядка (последовательности) их приложения.
8. Начальное ненагруженное состояние. На основании этого предполагается, что в момент нагрузки тела деформации и напряжения в любой
его точке равны нулю. То есть напряженно-деформированное состояние
тела, которое было до приложения рассматриваемых силовых воздействий,
не учитывается. При наличии начальных напряжений это предположение
будет справедливым только тогда, когда окончательные напряжения (сумма начальных и возникших от приложения рассматриваемых нагрузок)
не выходят за пределы применения линейной теории упругости.
При решении задач теории упругости пользуются теоремой о един-
ственности решения: если заданные внешние поверхностные и объемные
силы находятся в равновесии, то им соответствует одна единая система
напряжений и перемещений (деформаций). Это означает, что при воздей-
ствии на тело предопределенной системы сил в нем возникает лишь одно
соответствующее распределение напряжений и деформаций. Положение
о единственности решения справедливо, если выполняется предположение
об исходном состоянии тела (иначе возможны несколько результатов)
и предположение о линейной зависимости между деформациями и внешними силами [2-3].
При решении задач теории упругости также применяют принцип
Сен-Венана: если внешние силы, распределенные на небольшом участке
упругого тела, заменить статически эквивалентной системой, имеющей
тот же главный вектор силы и тот же главный момент, приложенные
на этом же участке, то эта замена вызовет только смену местных деформаций. Это означает, что в точках тела, которые достаточно удалены
7
от места приложения внешних нагрузок, напряжения мало зависят от способа их приложения [3].
Нагрузки, которые в сопротивлении материалов на основании принципа Сен-Вена схематически изображаются в виде сосредоточенной силы
и сосредоточенного момента, на самом деле могут быть системой нормальных и касательных напряжений, распределенных тем или иным образом на определенном участке поверхности тела. В общем случае одной
и той же силе или паре сил (момента) может соответствовать несколько
различных распределений этих напряжений. Однако на основании
принципа Сен-Венана можно считать, что эквивалентная замена усилий
на участке поверхности тела не отражается на напряжениях в точках,
удаленных на достаточное расстояние от приложения этих усилий
(по сравнению с линейными размерами нагруженного участка).
8
2. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В УПРУГОМ ТЕЛЕ
2.1. Внутренние продольные силы. Метод сечений
Чтобы овладеть методами механикой трехмерной упругой среды, следует начать с простой одномерной модели, которой является стержень.
Длина стержня всегда больше размеров поперечного сечения (его толщина
и ширина значительно меньше длины). Это приводит к возникновению
в нем только линейных (одномерных) напряжений и деформаций, которые
необходимо определить.
Рассмотрим прямолинейный стержень, закрепленный в опоре (рис. 2.1).
К нему приложены внешние силы Р, 3Р и т.п., действующие на стержень
вдоль его оси. Он выполнен из прочного материала, поэтому внутри
стержня возникают внутренние силы, которые не дают ему разрушиться.
По природе это силы взаимодействия между атомами кристаллической
решетки. По величине они должны уравновешивать внешние силы (равны
им). Величину внутренних сил определяют методом сечений [2].
Выделим на стержне участки. Границы участков устанавливают там,
где приложены внешние силы или изменяется площадь в поперечном сечении стержня. В пределах участка проведем поперечное сечение (условно
рассечем стержень) и рассмотрим равновесие одной части (на рис. 2.1 –
правой). Внешние силы справа от сечения действуют только на эту часть,
но не отрывают ее от стержня. Это потому, что внутри возникает внутренняя продольная сила N, уравновешивающая внешние. Следовательно, величина внутренней силы N равна сумме внешних сил (с учетом их знака),
действующих по одну сторону от сечения (правую или левую часть).
На рис. 2.1 изображено равновесие сил для каждого участка. Внутренние силы N находим из уравнений равновесия статики:
І участок: – N1 + P =
ІІ участок: – N2 + P + P =
ІІІ участок: – N3 – 3 P + P + P =
0 N
0 N
P – растяжение;
1 =
2P – растяжение;
2 =
0 N
3 = –
P – сжатие.
Правило знаков: внутренняя продольная сила N – положительна, если
она действует на растяжение участка (рис. 2.2 а), отрицательная – если на
сжатие (рис. 2.2, б).
Единицы измерения: Н (ньютон), кН (килоньютон: 1 кН=103 Н).
Следовательно, центральное растяжение – это такой вид деформирования стержня, при котором в его поперечных сечениях возникает только
один вид внутренних сил – продольная сила N.
От действия внешних сил на стержень возникает в заделке реакция R
(рис. 2.1). Ее находят из уравнения равновесия всего стержня:
Σ X = R – 3P + P + P =
0 R
=
P.
9
а)
б)
Рис. 2.2. Применение метода сечений:
а) растяжение, б) сжатие
(2.1)
Рис. 2.1. Внутренние силы:
– на І-ом участке N1,
– на ІІ-ом участке N2,
– на ІІІ-ем участке N3.
Приложив к левому торцу
силу R вместо опоры (рис. 2.1),
можно рассматривать равновесие
внутренней силы N и внешних сил
слева от сечения.
Задание. Составьте самостоятельно уравнение равновесия
на каждом участке, начиная с ІІІ-го,
найдите величины внутренних сил
и сравните их с найденными выше.
Следовательно, метод сечений
позволяет найти внутренний силовой фактор при условии его равновесия с внешней нагрузкой правой
или левой части конструкции относительно сечения.
2.2. Нормальные напряжения
Нанесем на стержень прямоугольную сетку (рис. 2.3): продольные
линии – параллельно его оси, а поперечные – перпендикулярно (именно
так, как мы проводим поперечные сечения). После приложения продольной силы Р стержень как упругое тело деформируется, но линии сетки
остаются прямолинейными и параллельными. Следовательно, поперечные
сечения остаются плоскими и параллельными как до, так и после деформирования стержня. Это утверждение называют гипотезой плоских сечений (гипотеза Бернулли).
В поперечном сечении внутренняя сила N не приложена в одной точке, а распределена по его площади в виде нормального напряжения σ (сиг-
ма, рис. 2.3). Если сечения остаются плоскими, а деформации – равномерными вдоль стержня, то величину напряжения находят по простой формуле:
где A – площадь поперечного сечения, м2.
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]