Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика сплошной среды. Учебное пособие
.pdf
Рис. 3.3. Для определения
напряжений, действующих
на наклонных плоскостях
3.2. Линейное (одноосное) напряженное состояние
Снова рассмотрим растяжение (или сжатие) стержня. В его поперечных сечениях действуют нормальные напряжения σx вдоль оси x
(см. рис. 2.3). Внутри стержня продольными и поперечными плоскостями выделим прямоугольный параллелепипед (рис. 3.3, а).
Размеры поперечных площадок КВ выбраны достаточно малыми, так что нормальные напряжения σx на них распределены равномерно, а площадь поперечной плоскости – А.
Тогда на правую поперечную грань параллелепипеда действует сила σxА, на левую – противоположная сила – σxА, так что элемент
находится в равновесии (рис. 3.3, а).
Найдем напряжения, действующие на
наклонной плоскости KC, которая наклонена
под углом α к поперечной. Ее задают углом α
между нормалью nα к ней и осью х (рис. 3.3, а).
На наклонной плоскости KC действует нор-
мальное напряжение σα (рис. 3.3, б). Для со-
хранения равновесия элемента на наклонной
плоскости KC возникает еще и касательное
напряжение τα. Величины этих напряжений
находят из равновесия сил, действующих
на элемент. В результате:
, (3.08)
. (3.09)
Доказательство. Площадь наклонной плоскости Aα = A/cosα. Спро-
ецируем силы от напряжений на нормаль nα. Уравнение равновесия сил:
(3.10)
Далее проецируем силы от напряжений на наклонную плоскость KC:
(3.11)
Подставив в эти уравнения площадь А и сократив Аα, получим соответствующие формулы (3.08) и (3.09).
21
– при
(3.12)
– при
Напряжение σα и τα изменяются с изменением угла α к наклонной
плоскости. Рассмотрим плоскости α = 0о (поперечную) и α = 90о (продольную). Они являются главными, потому что:
На главных плоскостях касательные напряжения отсутствуют,
а нормальные напряжения достигают максимального и минимального
значения и называются главными напряжениями.
На плоскостях, которые наклонены к главным, всегда имеются касательные напряжения τα. Согласно (3.09), они достигают максимума, когда
sin2α = 1, то есть при α = 45о:
. (3.13)
Рассмотрим наклонную плоскость KD, которая перпендикулярна KC
(рис. 3.3, а). Ее нормаль nβ составляет угол β = α + 90о с осью х. На ней дей-
ствуют нормальное
и
касательное
напряжения (рис. 3.3, в), величины
которых находим из формул (3.08) и (3.09):
, (3.14)
. (3.15)
Добавим информацию по σα (3.08) и σβ (3.14), чтобы сделать вывод:
1) сумма нормальных напряжений на двух взаимно перпендикуляр-
ных плоскостях всегда постоянная:
. (3.16)
max
min
Сравним τα (3.09) и τβ (3.15), чтобы прийти к выводу:
2) на двух взаимно перпендикулярных плоскостях возникают равные
и противоположно направленные касательные напряжения:
. (3.17)
Это закон парности (взаимности) касательных напряжений. Более того, если в некотором направлении создать касательные напряжения,
то в перпендикулярном направлении тоже обязательно возникают ровные
и противоположно направленные касательные напряжения.
22
а)
б)
Рис. 3.4. Напряжения, действующие на наклонной плоскости
Следовательно, при линейном (одноосном) напряженном состоянии
в каждой точке тела нормальное напряжение действует только в одном
направлении и является главным (наибольшим по модулю). Вместе с этим,
на плоскостях, наклоненных к главным, возникают касательные (сдвиговые) напряжения, достигающие максимума под углом 45о.
3.3 Плоское (двухосное) напряженное состояние
Теперь рассмотрим тело, на которое действует нагрузка в двух
направлениях. Тогда в его внутренних точках в двух направлениях могут
действовать как нормальные, так и касательные напряжения. Внутри тела
в заданной точке выделим элементарный кубический элемент достаточно
малых размеров, так что напряжения на его гранях равномерно распределены, а площадь граней А. На противоположных гранях действуют как
нормальные напряжения σx и σу, так и касательные напряжения τ
ху
и τух
(рис. 3.4, а). Касательные напряжения на плоскости имеют два индекса:
первый указывает ось (нормаль), перпендикулярная плоскости; второй
указывает ось, в направлении которой действует касательное напряжение.
Касательное напряжение положительно, если его направление совпадает
с направлением оси.
Нормальные напряжения направлены так, чтобы элемент оставался
в равновесии: сила σx.А уравновешивает силу – σx.А, а сила σу.А уравновешивает силу – σу.А (рис. 3.4, а). Касательные напряжения тоже всегда
направлены так, чтобы элемент оставался в равновесии: силу τ
новешивает сила – τ
кону парности касательные напряжения τ
а силу τ
ху.А,
А уравновешивает сила – τ
ух.
и τ
ху
должны вращать элемент
ух
А урав-
ху.
А. По за-
ух.
в противоположных направлениях (рис. 3.4, а), потому что по условию
равновесия момент пары сил τ
мент пары сил τ
ух
.
А.
.
А должен всегда уравновешивать мо-
ху
23
Найдем напряжения, действующие на наклонной плоскости, к которой нормаль n образует угол α с осью х. Для сохранения равновесия элемента на этой плоскости возникают такие напряжения: нормальное σα и ка-
сательное τα (рис. 3.4, б). Их величины находят из равновесия сил, дей-
ствующих на треугольный элемент. В результате нормальное и касатель-
ное напряжение на наклонной плоскости:
, (3.18)
, (3.19)
где
– по закону парности касательных напряжений.
Доказательство. У треугольного элемента площадь наклонной плоскости равна Aα (рис. 3.4 б). Тогда площадь его вертикальной грани
Ax = Aα cosα, а горизонтальной грани: Ay = Aαsinα. Силы на каждой грани рав-
ны произведению напряжения на площадь. Эти силы проецируем на нор-
маль nα. Уравнение равновесия сил
Далее проецируем силы от всех напряжений на наклонную плоскость:
Подставим в эти уравнения площади Аx и Аy, сократим Аα, применим
формулы sin2α = 2sinα · cosα и cos2α = cos2α – sin2α и получим соответственно формулы (3.18) и (3.19).
Напряжение σα и τα изменяются с изменением направления наклонной
плоскости. Функции sinα и cosα периодические, поэтому при изменении
угла α значения σα и τα сначала увеличиваются, затем уменьшаются или
наоборот. Следовательно, есть определенный угол α0, при котором σα получает максимальное или минимальное значение. Чтобы найти экстремум,
нужно взять производную от σα (3.18) и приравнять ее к нулю:
.
Подставим формулу sin2α = 2sinα · cos2α, произведем преобразование
и получим формулу для определения положения (угла наклона) главных
плоскостей (на которых σα равно σ
tg
max
или σ
:
min)
. (3.20)
24
а)
б)
Рис. 3.5. Главные площадки и плоскости сдвига
Вместе с этим эту же формулу можно получить из (3.19), если касательные напряжения τα = 0 (выведите формулу для него). При этом плоскость под углом β0 = α0 + 90о (перпендикулярна плоскости α0, как на рис 3.3)
тоже является главной, потому что также удовлетворяет этому уравнению:
tg2β0 = tg(2α0 +180о) = tg2α0. Следовательно, две взаимно перпендикулярные плоскости, наклоненные к оси х под углами α0 (3.20) и β0 = α0 +90о действительно являются главными плоскостями (рис. 3.5 а), потому что на них
нормальные напряжения имеют максимальное σ
или минимальное σ
max
min
значения, а касательные отсутствуют: τ = 0.
Значение основных напряжений на основных плоскостях при плоском напряженном состоянии определяются формулой
max
min
. (3.21)
Доказательство. Считаем, что по формуле (3.20) мы нашли угол α
0
и на рис. 3.4 (б) показана главная плоскость (α = α0), на которой σα = σ
является главным напряжением (σ
max
или σ
); при этом τα = 0. Площади
min
граней треугольного элемента (рис. 3.4, б): наклонной Aα; вертикальной
Ax = Aα.cosα; горизонтальной Ay = A
sinα. Силы на каждой грани находят
α
как произведение напряжения на площадь. Эти силы проецируем теперь
на оси x и y. Уравнение равновесия сил:
;
.
25
Подставив в эти уравнения площади Аx и Аy, сократив Аα, получим
систему двух линейных уравнений:
;
.
Это система линейных уравнений с двумя неизвестными: cosα и sinα.
Они одновременно не могут равняться нулю, потому что sin2α + cos2α = 1.
Поэтому, чтобы система имела решение, должен равняться нулю определитель, составленный из коэффициентов этой системы
.
Отсюда получив квадратное уравнение относительно σ, найдем его
корни, произведем преобразование под радикалом и сравним с (3.21):
;
.
Найдем сумму σ
max
и σ
из формулы (3.21) и сделаем вывод: сумма
min
нормальных напряжений на двух взаимно перпендикулярных плоскостях
инвариантна относительно наклона этих плоскостей (т.е. всегда постоянна
независимо от их наклона):
(3.22)
Главные напряжения принято обозначать σ1, σ2 и σ3 в порядке убывания: σ1 > σ2 > σ3 (с учетом величины и знака). При плоском напряженном
состоянии третье напряжение σz = 0.
Если главные напряжения σ1 и σ2 известны, то нормальное и касательное напряжение на наклонной плоскости находят так:
, (3.23)
. (3.24)
Получим эти формулы из равновесия сил на рис. 3.4, приняв, что
это главные плоскости и теперь здесь действуют главные напряжения σ1
и σ2, а соответственно касательные отсутствуют (τ = 0).
26
Если плоскости и нормальные напряжения показаны на рис. 3.4, если
примем за главные σ1 и σ2, то формулы (3.23) и (3.24) легко получить из
(3.18) и (3.19), так как касательные напряжения отсутствуют: τ = 0.
На плоскости под углом β = α + 90о, перпендикулярно плоскости α
(рис. 3.3), действуют нормальное σβ и касательное τβ напряжения. Подставим σβ в (3.23) и (3.24) и получим
, (3.25)
. (3.26)
Сложив (3.23) и (3.25) и аналогично (3.16) и (3.22), снова получим
инвариант нормальных напряжений
. (3.27)
Это означает, что при повороте двух взаимно перпендикулярных
плоскостей (как на рис. 3.3 или 3.5, а) одно нормальное напряжение увеличивается, одновременно с этим второе уменьшается (или наоборот), однако
их сумма всегда остается постоянной.
Выражение (3.26) выражает закон парности (взаимности) каса-
тельных напряжений аналогично (3.17). На плоскостях, которые наклонены к главным, всегда имеются касательные напряжения τα. Согласно
(3.24) они достигают экстремума, когда sin 2α = ±1, то есть при α = 45о
и β = α + 90
о
=
135о:
max
min
(3.28)
Наибольшее и наименьшее касательные напряжения равны по модулю, действуют на плоскостях сдвига и наклонены к главным площадкам
под углом 45о. Подставим σ
max
и σ
из (3.21) в (3.28), откуда:
min
max
min
. (3.29)
Векторы экстремальных касательных напряжений всегда направлены в направлении от σ
min
к σ
max
.
Следовательно, при плоском (двухосном) напряженном состоянии
в каждой точке тела действуют нормальные и касательные напряжения
в двух перпендикулярных направлениях. Но наибольшее и меньшее
27
(учитывая знак) главные напряжения (3.21) действуют под углом α0 (3.20)
и β0 = α0 +90о. Одновременно на плоскостях сдвига под углом 45о к главным действуют наибольшие касательные (сдвиговые) напряжения.
Контрольные вопросы и задачи к разделу 3
3.1. Как находят поперечную силу по касательным напряжениям?
3.2. Объясните закон Гука при сдвиге.
3.3. Объясните схему действия напряжений на наклонной плоскости
при линейном (одноосном) напряженном состоянии.
3.4. Выведите формулы нормальных и касательных напряжений на
наклонной плоскости при линейном (одноосном) напряженном состоянии.
3.5. Объясните понятие и свойства основных напряжений и плоскостей.
3.6. Докажите свойства двух взаимно перпендикулярных плоскостей.
3.7. Объясните схему равновесия нормальных и касательных напря-
жений при плоском (двухосном) напряженном состоянии.
3.8. Выведите формулы нормальных и касательных напряжений на
наклонной плоскости при плоском (двухосном) напряженном состоянии.
3.9. Формула для определения угла наклона главных плоскостей: вы-
ведите ее из формулы нормальных напряжений на наклонной плоскости.
3.10. Формула для определения угла наклона главных плоскостей: вы-
ведите ее из формулы касательных напряжений на наклонной плоскости.
3.11. Объясните схему основных напряжений и плоскостей и наибольших касательных напряжений и плоскостей сдвига при плоском напряженном состоянии.
3.12. Формула главных напряжений при плоском напряженном состоянии: выведите ее по схеме нормальных напряжений на наклонной
плоскости.
3.13. Докажите свойства двух взаимно перпендикулярных плоскостей при плоском (двухосном) напряженном состоянии.
3.14. Выведите формулы нормальных и касательных напряжений
на плоскости, наклонной к главным, через главные напряжения.
28
4. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ
4.1. Основные характеристики материалов
В предыдущих главах мы рассматривали напряженное состояние
стержней под действием сил, которые еще не приводили к разрушению
или необратимым деформациям материала. Понятно, что разные материалы или горные породы выдерживают разную нагрузку, то есть они имеют
различную прочность. Необходимо знать поведение этих материалов при
разных деформациях: от малых величин вплоть до разрушения. Это необходимо, чтобы спрогнозировать максимальную нагрузку, при которой они
могут разрушиться или получить значительные остаточные деформации.
Основные механические характеристики материалов определяют при
испытаниях на растяжение и сжатие стандартных образцов на специальных машинах. Большим количеством исследований различных материалов
установлено, что по свойствам их можно разделить на две основные группы: пластические и хрупкие [4].
Пластические материалы при нагрузке сначала проявляются значительные остаточные (пластические) деформации, а разрушаются лишь
затем, после большей нагрузки. Если после наступления пластических де-
формаций материал разгрузить, то образец останется деформированным,
но не разрушится. Пластическими свойствами обладают стали разных марок, цветные металлы.
Хрупкие материалы разрушаются уже при незначительных (очень
малых) остаточных деформациях. Хрупкими свойствами обладают чугун,
бетон, камень, горные породы, кирпич, дерево.
Вместе с этим, все эти материалы вначале, при не очень больших
деформациях имеют упругие свойства. Упругость – это свойство материала возвращать свои начальные размеры и форму после разгрузки. Это
так же, как растянутая или сжатая пружина возвращает свой начальный
размер после разгрузки. Упругость сохраняется лишь до тех пор, пока
упругие деформации не достигли величины остаточных. Упругие деформации жестких материалов очень малы (невидимы на глаз) даже при
больших нагрузках.
4.2. Диаграммы растяжения и сжатия пластических материалов
Типичная диаграмма получается при испытании на растяжение образцов из наиболее распространенных конструкционных сталей, которые,
собственно, и обладают пластическими свойствами. Образцы изготавливают в виде длинных стержней круглого или прямоугольного поперечного
сечения, длина которых больше поперечного размера в 10 раз (или в 5 раз).
Испытания производят на разрывных машинах.
29
Рис. 4.1. Диаграмма растяжения образцов из конструкционных сталей
В процессе растяжения образец медленно нагружают силой P
(от 0 до 10…15 тонн); одновременно самописец вычерчивает диаграм-
му растяжения – кривую зависимости между нагрузкой P и удлинени-
ем образца Δl. Диаграмма P-Δl имеет вид сплошной кривой OAБВГДЕ
(рис. 4.1).
Диаграмму P-Δl перестраивают в диаграмму "напряжение σ – де-
формация ε", изменяя масштаб осей по формулам (2.1):
, где A0 и l0 – начальные (недеформированные) площадь поперечно-
; и (2.5):
го сечения и длина образца. Именно по диаграмме σ-ε (рис. 4.1) определяют основные механические характеристики материалов, отмеченные на рис. 4.1 характерными точками.
Предел пропорциональности σпц – наибольшее напряжение, при
котором выполняется закон Гука (точка А): на участке ОА напряжение σ
прямо пропорционально деформации ε с коэффициентом пропорциональности E = tg α, согласно формуле (2.6) и рис. 4.1.
Предел упругости σу – наибольшее напряжение, при котором мате-
риал не получает остаточных деформаций (точка А*). До этого предела
после разгрузки образец возвращается к своим начальным размерам.
Предел текучести σт – напряжение, при котором наблюдается явле-
ние "текучести" металла (точка Б): деформации значительно увеличиваются при неизменной нагрузке (на диаграмме образуется горизонтальный
участок – плащадка текучести). Важно: деформации становятся остаточными и необратимыми.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]