Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика сплошной среды. Учебное пособие
.pdf
6.1. На рис. 6.1 на гранях тетраэдра, совпадающих с координатными
плоскостями, проставьте векторы нормальных и касательных напряжений.
6.2. По схеме задания 6.1 выведите выражения нормальных и касательных напряжений на наклонной грани из-за напряжения на координатных гранях.
6.3. На рис. 6.2 на гранях тетраэдра, совпадающих с координатными
плоскостями, проставьте векторы нормальных и касательных напряжений.
6.4. Используйте формулы (5.7) и схему по заданию 6.3 и выведите систему уравнений (6.5) для определения основных напряжений в точке тела.
6.5. Раскройте определитель (6.7а) и получите инварианты напряжений (6.8).
6.6 По формулам (5.2), (5.7), (5.8) и (6.1) получите выражение касательного напряжения на плоскости, наклоненной к главным плоскостям.
6.7. Чтобы найти экстремум функции, по формулам (6.13) найдите
три производных от функции касательного напряжения (6.11) по аргументам l, т и n.
51
Рис. 7.1. Упругое тело
Рис. 7.2. Проекции элементарного
параллелепипеда
7. ДЕФОРМАЦИИ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ.
УСЛОВИЯ СОВМЕСТНОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ
7.1. Связь между деформациями и перемещениями
Предположим, что упругое тело закреплено и не может двигаться
в пространстве. Однако его точки могут изменять положение в пространстве, но только за счет деформации тела [2].
Пусть некоторая точка А упругого тела (рис. 7.1), имевшая до деформации координаты х, у и z, за счет упругих деформаций переместилась в положение A1 с координатами х + и, в + v и z + w. Вектор U = AA
1
называется линейным перемещением точки, а отрезки и, v и w – проекциями этого перемещения по оси координат. Для разных точек тела перемещения и их проекции разные, они являются функциями от координат
точки, а функции непрерывны по условию сплошности среды:
u = f1(x, y, z); v = f2(x, y, z); w = f3(x, y, z).
Деформированное состояние в точке А известно, если известны деформации всех трех проекций элементарного параллелепипеда (рис. 7.2).
Считаем, что мы уже нашли относительные линейные деформации
и
его трех взаимно перпендикулярных ребер и изменения прямых углов
z
,
x
между ребрами в плоскостях трех его граней, параллельных плоскостям
координат – то есть относительные угловые деформации xy, yz, zx.
Тогда относительная объемная деформация θV (или дилатация
θV) в точке напряженно-деформированного тела будет:
y
52
Рис. 7.3. Деформация тела
Если отбросить величины большего порядка малости:
, (7.1)
где средняя относительная линейная деформация:
. (7.2)
Найдем зависимости между компонентами деформаций и проекциями перемещения на оси координат. Для этого рассмотрим проекцию CAB
элементарного параллелепипеда на плоскость хОу (рис. 7.2). Пусть заданы начальные координаты х точки А и длины dx и dy проекций ребер ∂х
и ∂у на этой плоскости (рис. 7.3). После деформации тела точка А перей-
дет в положение A1, а точка В – в положение В1 (рис. 7.3).
Линейное перемещение точки В вдоль оси х равно сумме линейного
перемещения u точки А и их приращением, вызванного приращением dx
координаты х при переходе от точки А к точке В. Это приращение равно
частному дифференциалу функции и = f1(x, y, z) по переменной х. Поэтому
линейное перемещение точки В составляет
. Относительная де-
формация εх ребра АВ
(7.3)
Аналогично найдем:
(7.4)
53
Кроме того, в результате изменения начального прямого угла ВАС
на величину α точка В1 займет положение В'. Отрезок В1В' представляет собой
изменение перемещения v вдоль оси y при переходе от точки А к точке В.
Изменение (угловую деформацию)
прямого угла ВАС в плоскости хОу по-
xy
лучим, заменив тангенсами углов и (в радианах) благодаря их малости:
.
Частными производными в скобках, которые значительно меньше по
сравнению с единицей, можно пренебречь, тогда угловая деформация
. (7.5)
Из аналогичных проекций элементарного параллелепипеда на две
другие плоскости координат найдем выражения для относительной линей-
ной деформации
и относительных сдвигов
z
и
yz
. В результате получим
zx
следующие шесть дифференциальных зависимостей между относительными деформациями и перемещениями:
. (7.6)
Зависимости (7.6) называют соотношениями Коши.
Исходя из геометрической сути частных производных, стоящих
в правых частях, можно установить правила знаков: положительное значение относительных линейных деформаций соответствует удлинению,
положительное значение относительных сдвигов соответствует уменьшению прямых углов хОу, уОz и zОx.
Подставим компоненты линейных деформаций (7.6) в формулу
объемной деформации или дилатации θV (7.1), чтобы получить:
div
, (7.7)
где divU – дивергенция поля перемещений U точек внутри упругодеформированного тела.
54
Это следует из того, что и, v и w – это проекции полного перемещения U точки в упругом теле вследствие его деформирования (рис. 7.1),
а вектор U выражается через его проекции в таком виде:
, (7.8)
где
– орты (единичные векторы, направленные вдоль осей х, у и z).
Поэтому математически выражение (7.7) является дивергенцией вектора U.
Поле перемещений точек внутри упругого тела можно представить,
как совокупность векторов U, выходящих из каждой точки и показывающих ее перемещение при деформировании тела. Векторы U изменяются непрерывно от точки к точке, потому что функции и, v и w являются
непрерывными.
7.2. Относительная линейная деформация
в произвольном направлении
Внутри упругого тела (рис. 7.4) возьмем две точки А(х, в, z) и В (х + dx,
в + dy, z + dz), которые находятся на расстоянии dr друг от друга. Направ-
ляющие косинусы вектора dr обозначим l, т и п.
При деформировании тела под действием внешней нагрузки точка А
перейдет в положение А1, точка В в положение В1, а отрезок dr получит
приращение dr. Новая длина отрезка АВ
,
где
– искомая относительная линейная деформация.
r
Проекции перемещения АА1 точки А на оси координат обозначим и, v
и w. Тогда проекции перемещения ВВ1 точки В на оси координат будут и + du,
v + dv, w + dw.
С одной стороны: (A1B1)2 = dr2 (1 +
)2 dr2 (1+2
r
).
r
С другой стороны, квадрат отрезка А1В1 равен сумме квадратов трех
его проекций на оси координат:
(А1В1)2 = dx2 + d2 + dz2 + 2dxdu + 2dydv + 2dzdw.
Тогда получим:
.
55
Рис. 7.4. Две точки (A и B) внутри упругого тела
Подставляем сюда выражения для полных дифференциалов перемещений и, v и w, учитывая, что: l2 + m2 + п2 = 1; а также:
применяя зависимости (7.6), получим
. (7.9)
Сравнивая выражения для линейной деформации
ного напряжения
(6.1) в том же направлении, видим, что они по структуре
N
(7.9) и для нормаль-
r
одинаковы и выражение (7.9) можно получить из формулы (6.1) путем замены
обозначений на и на
с сохранением структуры выражения.
Пользуясь такой заменой, можно получить все формулы теории деформации из аналогичных формул теории напряжений. В частности, деформированное состояние в точке упругого тела определяется матрицей
компонентов тензора деформаций:
, (7.10)
7.3. Дифференциальные уравнения совместности деформаций
Из уравнений Коши (7.6) мы видим, что если заданы три функции
перемещений и, v и w, то однозначно будут определены все шесть компонент деформаций. Однако задавать перемещение и, v и w, или соответственно шесть компонент деформаций, произвольно нельзя. Они связаны
56
а)
б)
в)
Рис. 7.5. Тело, разделенное на множество элементарных
параллелепипедов и тетраэдров
. ;
2
3
2
2
2
3
2
2
дxдy
vд
дx
д
дудх
ид
ду
д
y
х
дополнительными зависимостями – уравнениями совместности. Это
видно из компонент деформаций (7.6), содержащих частные производные
от перемещений. Если дифференцировать их по другой переменной (вторая смешанная производная), то разные деформации будут содержать одинаковые слагаемые.
Положение о сплошности и неразрывности среды или массива означает, что внутренние точки упругого тела связаны и не могут перемещаться независимо, образуя разрывы. Поэтому перемещение и, v и w должны
быть математически непрерывными и однозначными функциями от координат. Для таких функций их частные производные не зависят от последовательности дифференцирования. Поэтому уравнение Коши (7.6) следует
дифференцировать так, чтобы получить вторые смешанные производные
по двум попарно сгруппированным координатам. После таких математических преобразований мы получим искомые зависимости между компонентами относительных линейных и угловых деформаций. Поскольку эти зависимости связаны с условиями сплошности тел, их еще называют уравне-
ниями неразрывности Сен-Венана.
Наглядно это можно показать на рис. 7.5. Ненагруженное тело можно
разделить на многие элементарные параллелепипеды и тетраэдры (рис. 7.5, а).
После нагрузки деформации упругого тела можно представить, как сумму
упругих линейных и угловых деформаций каждого из элементов (рис. 7.5, б),
содержащие шесть компонент (7.6). Если уравнения совместности (неразрывности) деформаций не выполнены, то окажется невозможным сложить
непрерывное тело из всех деформированных элементов (рис. 7.5 в).
Дифференцируем каждое из первых двух уравнений деформаций (7.6)
дважды по переменной, указанной в другом выражении выбранной пары:
57
(7.11)
Добавляем эти выражения, выносим оператор смешанной производной за скобки и, учитывая угловую деформацию
(7.6), получим
ху
Выполним аналогично попарно перекрестное дифференцирование
выражений (7.6) и получим три уравнения, которые связывают линейные
и угловые деформации и образуют первую группу уравнений совмест-
ности деформаций Сен-Венана:
Чтобы получить вторую группу уравнений неразрывности, дифференцируем уравнение угловых деформаций (7.6) каждое по неуказанной
переменной:
Сначала добавляем первые два уравнения и вычитаем третье:
Дифференцируем это уравнение по переменному y:
58
(7.12)
Аналогично попарно добавим по два других уравнения производных угловых деформаций, вычтем третье и снова продифференцируем
по переменному, не указанному справа. В результате получим вторую
группу уравнений совместности деформаций Сен-Венана:
Шесть условий (7.11-7.12) будут выполнены, если при решении задачи теории упругости удается по заданным внешним нагрузкам, действующим на тело, сразу найти функции и, v и w. Если дальше по уравнениям (7.6) найти линейные и сдвиговые деформации, то уравнения совместимости (7.11-7.12) превращаются в тождества, поскольку они выведены
из тех же уравнений (7.6).
При решении задач удается по нагрузкам найти преимущественно
функции напряжений в деформированном теле, по которым далее по закону Гука можно найти деформации. При этом необходимо проверять,
найдены ли функции деформаций, удовлетворяющие уравнению совместности (7.11-7.12).
Можно доказать, что уравнения совместности представляют собой
необходимые условия для того, чтобы по заданным компонентам деформаций из дифференциальных уравнений (7.6) можно было найти компоненты перемещений.
Таким образом, дифференциальные зависимости (7.11-7.12) являются необходимыми и достаточными условиями интегрирования дифференциальных уравнений (7.6), одновременно обеспечивающих однозначность перемещений. Это справедливо в случае, когда тело ограничено односвязной областью, то есть областью, в пределах которой любая замкнутая кривая может быть стянута непрерывной деформацией в точку без пересечения контура области.
59
(8.1)
8. ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА
8.1. Обобщенный Закон Гука для изотропного тела
Коэффициенты: E – модуль упругости; G – модуль сдвига; μ – коэффициент Пуассона; характеризуют упругие свойства материала, их называют
упругими постоянными. Если тело имеет разные упругие свойства в разных
направлениях, то есть упругие характеристики материала тела разные в раз-
ных направлениях, то тело или материал называют анизотропным [4].
Тело может иметь одинаковые упругие постоянные материала в одном
направлении, но другие тела ‒ различные упругие постоянные в двух взаимно перпендикулярных (поперечных) направлениях. Тело из такого материа-
ла называется ортотропным (одинаковые свойства лишь в одном из трех
взаимно перпендикулярных направлений – ортов). Например: древесина
имеет разные упругие свойства вдоль и поперек волокон; слоистый массив
пород, состоящий из тонких слоев разных пород, будет обладать разными
свойствами вдоль и поперек направления залегания слоев.
Если упругие свойства материала тела не зависят от направления де-
формирования, его называют изотропным. При этом три упругих постоян-
ных характеризуют упругие свойства изотропного материала: E – модуль
упругости; G – модуль сдвига; μ – коэффициент Пуассона. Обобщенный за-
кон Гука для изотропного тела имеет вид:
Доказано, что между указанными тремя упругими установками для
изотропного материала существует связь по формуле (3.7):
или
(8.2)
то есть только две из них независимы. Это означает, если для заданного
материала опытным путем определить две из этих характеристик, третью
можно рассчитать (что подтверждается экспериментально).
Если в точке напряженно-деформированного тела найдены главные
напряжения
и
1,
2
(раздел 6.2), то главные деформации в направлени-
3
ях главных напряжений будут:
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]