Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика сплошной среды. Учебное пособие
.pdf
Рис. 5.5. Элементарный тетраэдр
Таким образом, из девяти компонент напряжений матрицы тензора
Т шесть касательных напряжений попарно равны друг другу. Поэтому
для определения напряженного состояния в точке достаточно найти только шесть компонент напряжений:
(5.6)
Но сложившиеся условия равновесия дают нам всего три уравнения (5.4), по которым нельзя найти все шесть неизвестных напряжений.
Таким образом, прямая задача определения напряженного состояния
в точке в общем случае является статически неопределенной. Для раскрытия этой статической неопределенности необходимы дополнительные геометрические и физические зависимости.
5.3. Уравнение равновесия элементарного тетраэдра
Элементарный параллелепипед, выделенный от точки А разрезан
плоскостью, наклоненной к координатным осям (рис. 5.5). Данная геометрическая фигура представляет собой элементарный тетраэдр – пирамиду
с треугольным основанием BCD.
Нормаль N к этой плоскости BCD образует с осями координат х, у и z
углы соответственно α, β и γ; следовательно, нам известны направляющие
41
косинусы: l = cosα, т = cosβ, п = cosγ. Считаем, что точка А совпадает
с началом координат, а три взаимно перпендикулярных грани тетраэдра –
с плоскостями координат. Компоненты напряжения, действующие на этих
гранях тетраэдра, считаем положительными (показаны на рис. 5.5).
Обозначим через pNx, p
Ny, pNz
проекции на оси х, у и z полного напряжения рN, действующее на основу тетраэдра – на наклонной грани BCD.
Площадь наклонной грани BCD обозначим dF. Тогда ее проекции на координатные плоскости таковы: площадь грани АВС будет dF·п, грани ACD
будет dF·l, грани АDВ будет dF·т.
Составим уравнение равновесия тетраэдра, спроецировав все силы,
действующие на его гранях, сначала на ось х:
откуда
Объемные силы в это уравнение не входят, ибо являются величина-
ми высшего порядка малости по сравнению с поверхностными силами.
Составим уравнение проекций сил, действующих на тетраэдр, на оси
у и z, получим еще два аналогичных уравнения. В результате будет три
уравнения равновесия элементарного тетраэдра:
. (5.7)
По известным проекциям найдем полное напряжение
. (5.8)
Разделим пространственное тело до свободной формы системой
взаимно перпендикулярных плоскостей на ряд элементарных параллелепипедов (рис. 5.6). Но при этом на поверхности тела образуются элементарные тетраэдры, так как элементарные криволинейные участки поверхности через их малость можно заменить плоскостями – основаниями
тетраэдров.
42
Рис. 5.6. Множество элементарных
параллелепипедов
В этом случае рN является распределенной нагрузкой на поверхности, а уравнение (5.7) связывают эти нагрузки с напряжениями и в теле, то есть это граничные условия задачи теории упругости.
Условия, определяемые уравнениями (5.7),
называют условиями на поверхности.
В теории упругости внешние нагрузки
представляют (выражают) нормальными
и касательными напряжениями, которые
прикладывают по заданному закону (функции) к плоскостям на поверхности тела.
43
Рис. 6.1. Элементарный тетраэдр
Оси x y z x1 l1 = l
m1 = m
n1 = n y1 l2 m2 n
2
z1 l3 m3 n
3
6. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ СРЕДЫ
6.1. Напряжение на наклонной плоскости
Рассмотрим элементарный тетраэдр ABCD, три грани которого параллельны координатным плоскостям, а нормаль N к четвертой грани –
к основанию BCD, составляет с координатными осями углы, направля-
ющие косинусы которых известны: l, т, п (рис. 6.1) [2].
Считаем заданными (известными) нормальные и касательные
напряжения, действующие на плоскостях, параллельных координатным
плоскостям. Определим с помощью их напряжение на плоскости основания BCD. Для этого выберем новую прямоугольную систему координат из
осей х1, у1 и z1 так, чтобы ось х1 совпадала с нормалью N, а оси у1 и z1 лежали в плоскости BCD (рис. 6.1). Каждая из этих осей будет иметь в системе
основных осей x, y, z свои направляющие косинусы, указанные в табл. 6.1.
Таблица 6.1
Направляющие косинусы
44
Полное напряжение рN, которое действует на плоскости BCD, разложим на компоненты рNx, p
и рNz. Нормальное напряжение
Ny
, перпендику-
N
лярное плоскости BCD, можно рассматривать как проекцию на ось N (или
на ось х1) полного напряжения рN, действующего на плоскости BCD, а самое полное напряжение рN - как равнодействующую трем его проекциям.
Поскольку проекция равнодействующей равна сумме проекций компонент, то
.
Подставим сюда выражения (5.7), чтобы в сумме получить
N
=
x
l2
+
y
m2 +
_ n2
z.
+ 2·
lm +2·
xy
mn +2·
yz
nl. (6.1)
zx
Теперь спроецируем компоненты рNx, p
Ny
и р
на ось у1 (рис. 6.1)
Nz
.
Подставим сюда выражения (5.7) и сведем подобные члены, чтобы
получить
(6.2)
Аналогично сумме проекций на ось z1 найдем выражение для третьей составляющей – касательного напряжения
(6.3)
С помощью формул (6.1-6.3) можно преобразовывать компоненты
тензора напряжений при переходе от одной системы координат х, у, z
к новой системе координат х1, у1, z1.
Для записей (6.1-6.3) и ряда других формул теории упругости можно установить последовательность чередования индексов в компонентах
напряжений и чередование направляющих косинусов, показанную схематически на рис. 6.1.
6.2. Главные напряжения в точке тела
В математической теории упругости доказано, что в любой внутрен-
ней точке напряженно-деформированного тела существует три взаимно
45
Рис. 6.2. Тетраэдр
перпендикулярные главные плоскости, на которых отсутствуют касательные напряжения (τ = 0). Нормальные (перпендикулярные) напряжения на
этих плоскостях называются главными напряжениями. Одно из них:
наибольшее напряжение в этой точке, другое:
– наименьшее (с учетом зна-
3
1
–
ка: отрицательное сжимающее будет меньше положительного растягивающего), а третье:
– имеет величину, промежуточную между первыми двумя.
2
Пусть наклонная грань BCD тетраэдра, выделенного в точке А напряженного тела (рис. 6.2), – это уже найденная главная плоскость, и нам из-
вестны направляющие косинусы ее нормали: l, m и п. Полное напряжение рv,
действующее на главной плоскости, направлено по нормали v и равна
главному напряжению, а касательные напряжения на главной плоскости
равны нулю.
По формулам (5.7) составим выражения для проекций напряжения
р v
оси координат:
на
. (6.4)
Вместе с тем, это те же проекции напряжения р v на оси координат:
p
vx = pv
l; p
vy = pv
m; p
vz = pv.
n. Поскольку левые части этих уравнений равны,
то приравняйте их правые части и получите систему (6.5), в которой четыре неизвестных – главное напряжение р v и три направляющих косинуса:
46
(6.5)
Четвертое необходимое уравнение системы – это известное геометрическое соотношение: сумма квадратов направляющих косинусов равна 1:
l2 + m2 + n2 = 1. (6.6)
Из этого соотношения следует, что направляющие косинусы не могут одновременно все равняться нулю. Но система уравнений с неизвестными l, т и п должна иметь решение, отличное от нуля, поэтому ее определитель должен быть равен нулю
xy
xz
yx
yz
zx
zy
, (6.7а)
Раскроем этот определитель и получим:
, (6.7б)
где введены обозначения:
;
;
.
Раскроем эти определители:
(6.8)
Решив кубическое уравнение (6.7), получим три значения его корней,
то есть три главных напряжения, из которых алгебраически большее обозначаются
, наименьшее
1
, а промежуточное
3
.
2
Величины главных напряжений в точке определяются только формой и размерами тела и их нагрузкой, но никак не зависят от выбранного
направления осей координат. Следовательно, некоторые I1, I2 и I3 в этом
уравнении также не зависят от выбора осей координат. Поэтому функции
компонент напряжений I1, I2 и I3 называются инвариантами тензора
напряжений.
47
Рис. 6.3. Элементарный тетраэдр
Если из уравнения (6.7) найдены три основные напряжения
,
и
1
2
(а на главных плоскостях касательные напряжения отсутствуют), то инварианты тензора напряжений имеют вид:
(6.9)
Поскольку число главных плоскостей равно трем, нужно найти девять направляющих косинусов. Чтобы найти, например, направляющие
косинусы l1, т1, п1 нормали к плоскости, на которой действует главное
напряжение
, надо подставить значение
1
вместо рv в любые два урав-
1
нения (6.5). Решив эти два уравнения, найдем значения двух направляющих косинусов, например l1 и т1, выраженные через п1. Подставив
найденные значения l1 и т1 в уравнении (6.6), найдем третий направляющий косинус п1 первой главной плоскости.
6.3. Наибольшие касательные напряжения в точке тела
Рассмотрим снова элементарный тетраэдр в точке А (рис. 6.3). Теперь примем, что его три взаимно перпендикулярные грани являются
главными плоскостями в точке А (т.е. мы уже нашли направления главных напряжений и направили вдоль них оси координат). Составим выра-
3
жение для касательного напряжения на грани BCD тетраэдра, которая
наклонена к главным и имеет направляющие косинусы l, т и n, и найдем
экстремальные значения напряжения
и положения плоскостей, на кото-
рых они действуют.
По формуле (5.2) квадрат касательного напряжения
на плоскости BCD
. (6.10)
Поскольку грани тетраэдра ACD, ACВ и ABD – это
главные плоскости, то подставив в это уравнение выраже-
ния для рN,
по формулам
N
(5.7), (5.8) и (6.1), получим
48
(6.11)
Из соотношения (6.6): n2 = 1 – l
2
m2, тогда запишем
–
. (6.12)
Наибольшее значение касательного напряжения
как функции
N
от аргументов l и т находят из условий равенства производных нулю
и
, (6.13)
дающих два уравнения с двумя неизвестными l и т.
Пусть напряжения такие, что
соответственно
1
2
Тогда два уравнения (6.13) имеют вид двух
3.
x
y
, поэтому их обозначаем
z
уравнений третьей степени относительно l и т.
. (6.14)
Если отбросить те решения системы уравнений, которые не отвечают
исходным условиям задачи, то останутся следующие значения двух групп
направляющих косинусов:
1
2
. (6.15а)
Первая группа при положительных т и п определяет плоскость,
разделяющую пополам прямой угол между главными плоскостями, на которых действуют напряжения
и
2
, и соответствующую ей нормаль,
3
лежащая в плоскости у0z и состоящая из осей угла в 45°. При отрицательных т и п первая группа определяет плоскость и нормаль, соответственно
перпендикулярны таковым с положительными т и п (рис. 6.4 а).
Вторая группа тоже определяет две плоскости, делящие пополам прямые углы между главными плоскостями, на которых действуют
и
1
(рис. 6.4, б). Можно получить новую систему кубических уравнений, из которой можно найти третью группу направляющих косинусов:
3)
, (6.15, б)
которые определяют еще две перпендикулярные плоскости (рис. 6.4, в).
3
49
а)
б)
в)
Рис. 6.4. Три пары взаимно перпендикулярных плоскостей
Таким образом, найдены три пары взаимно перпендикулярных плоскостей. На каждой из этих пар касательные напряжения равны, а каждая
пара касательных напряжений является наибольшими напряжениями для
соответствующих главных напряжений и плоскостей.
Величины трех наибольших касательнся напряжений получают подстановкой значений l, т и п, в частности, первой, второй и третьей групп
в уравнение для
2
(6.11). Каждое из них равно половине разности двух
N
главных напряжений:
. (6.16)
Контрольные вопросы и задания к разделам 5 и 6
5.1. Выразите вектор полного напряжения рN через его проекции и орту.
5.2. Нарисуйте еще две схемы по рис. 5.3 и проставьте векторы
напряжений, действующих на плоскостях, параллельных координатным
плоскостям x0y и x0z.
5.3. Нарисуйте три схемы по рис. 5.4 и проставьте векторы нормальных и касательных напряжений, которые параллельны координатным осям
0x, 0y и 0z.
5.4. По схемам, выполненным в задании 5.3, составьте уравнение равновесия проекций упругих и объемных сил на координатные оси 0y и 0z.
5.5. По схемам, выполненным в задачах 5.2 и 5.3, составьте уравнение равновесия моментов относительно центральных осей ус и zс и получите уравнение закона парности (взаимности) касательных напряжений.
5.6. Нарисуйте еще две схемы по рис. 5.5, проставьте векторы нормальных и касательных напряжений, которые параллельны координатным
осям 0y и 0z, и выведите уравнение соответствующих компонент полного
напряжения.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]