Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика сплошной среды. Учебное пособие
.pdf
Рис.10.6.
перед этим проведя следующие преобразования:
.
Из (10.23) выразим
через εх, используя соотношение (7.6), подста-
вим его в первое уравнение движения Коши (9.7) и получим:
;
; (10. 24)
где с3 – скорость волны в неограниченной среде, которая полностью совпадает с (10.21): с3 = а. При этом в волне действуют только деформации
растяжения/сжатия εх в направлении х распространения волны, не возникают поперечные деформации (εy = εz = 0) и деформации сдвига, а напряженное состояние является объемным (трехмерным).
Проиллюстрируем плоскую Р-волну продольных колебаний в неограниченной упругой среде. Для этого из выражения (10.14) найдем деформацию εх по соотношениям (2.11) или (7.6):
. (10.25)
Как видим, в данный момент времени t деформации εх периодически
повторяются по оси х через каждый отрезок, равный длине волны L (убедитесь: если к εх добавить или вычесть L, то аргумент функции (10.25)
изменится на 2π, а ее величина повторится). Минус указывает на деформацию сжатия, то есть расстояние между плоскостями Р становится
наименьшим (рис. 10.6).
81
Координаты самых больших деформаций сжатия (где наибольшие
сгущения плоскостей Р) найдем из условия, когда синус наибольший
и равен 1:
;
;
; (10.26)
где n = 0; 1; 2; 3. (целое число указывает на периодичность функции).
Эти координаты х сечений с наибольшими деформациями сжатия
изменяются с течением времени t, то есть двигаются вдоль оси х со скоростью, которая является скоростью распространения волны (10.16):
. (10.27)
Убедитесь, что это касается и сечений с наибольшими деформациями растяжения, координаты которых найдите из условия, когда синус
равен – 1 (формула (10.25)).
С другой стороны, если зафиксировать координату х, то в данном сечении деформации εх (10.25) повторяются через каждый период времени Т
(убедитесь: если у функции в формуле (10.25) к t добавить или вычесть Т,
то ее аргумент изменится на 2 π, а величина функции повторится). Это
означает, что деформации сжатия периодически заменяются деформациями растяжения и наоборот (в данном сечении сгущение плоскостей Р сменяется их разрежением). Следовательно, в каждом сечении среды происходят колебания, при которых плоскости то удаляются, то сближаются.
10.6. Плоская S-волна поперечных колебаний
в неограниченной сплошной среде
В разделе 10.5 мы рассмотрели перемещение (колебания) плоско-
ния были заданы условиями (10.19).
Теперь рассмотрим плоскости, которые тоже перпендикулярны оси
х, однако выполняют перемещение (колебания) в направлении, перпендикулярном этой оси, то есть параллельно оси z (не вдоль у). Эти перемеще-
ния задаются следующими условиями:
; . (10.28)
При этом отсутствуют перемещения u и v вдоль осей x и y, а при
третьем условии перемещения w, параллельного оси z, является переменным (является функцией) вдоль оси х и изменяется со временем t.
82
Рис. 10.7.
По условиям (10.28) все точки любой плоскости Р (см. рис. 10.5)
перемещаются одинаково и одновременно, параллельно плоскости zOy,
оставаясь на одинаковом расстоянии от нее на расстоянии d между двумя
разными плоскостями Р и Р1 (так как u = 0), а Р и Р1 двигаются верти-
кально (рис. 10.5).
Условия (10.28) задают колебания плоскостей точек в сплошной сре-
де, которые распространяются в виде упругих волн, а сами колебания происходят поперечно (перпендикулярно) к направлению движения этих волн
(рис. 10.7). Выведем волновое уравнение из уравнений Ламе (9.20) при
условиях (10.28).
Из (10.28) получим необходимые компоненты системы (9.20):
.
;
;
;
;
При этом первое и второе уравнение Ламе (9.20) превращаются
в тождества, а из третьего получим волновое уравнение плоской попереч-
ной волны в неограниченной среде:
, (10.2 9)
, (10. 30)
где b – скорость упругой волны в сплошной среде.
Такую плоскую волну по уравнению (10. 29), распространяемую
в неограниченной упругой среде со скоростью b (10.30), называют попе-
речной S-волной искажений. Это значит, что в ней возникают только
деформации сдвига, которые перпендикулярны направлению распространения волны (по соотношению Коши (7.6) существует соответствующая производная
ния/сжатия
– см. систему (7.6):
z
от (10.28)) и не возникают деформации растяже-
zx
,
;
а деформации сдвига искажают форму элементов среды (см. п. 3.1 и рис. 3.2).
83
Уравнение (10.29) аналогично волновым уравнениям (10.20), (10.10)
и (10.6), поэтому имеет решения, аналогичные (10.13) и (10.14).
Рассмотрим частный случай гармонических колебаний, при которых
смещение w плоскостей, происходящих вдоль оси z и переменных вдоль оси х:
,
, (10. 31)
где B – амплитуда поперечных колебаний; Ls – длина волны колебаний
(рис. 10.7); Ts – период колебаний; b – скорость волны.
Задание. Произведите самостоятельно анализ периодической функции
(10.31) аналогично анализу подобной функции (10.25). Покажите, что решение (10.31) волнового уравнения (10.29) описывает поперечные колебания
плоскостей точек (т.е. в заданном сечении х вертикальное смещение плоскости периодически повторяется), а также описывает волну поперечных
смещений плоскостей, например, самые большие B, повторяются вдоль оси
х – рис. 10.7).
Поскольку уравнение (10.29) является волновым, его общим решением является сумма функций вида (10.13), но скоростью волны теперь будет
b (10.30). Поэтому волна поперечных колебаний обладает всеми свойствами, описанными в разделе 10.4.
Скорости a (10.21) и b (10.30) распространения волн по продольным
и перечным колебаниям в сплошной среде являются постоянными. Найдем
их соотношение по (10.21) и (10.30):
. (10.32)
Как видим, скорость волны продольных колебаний больше скорости
волны поперечных колебаний. Твердые горные породы имеют коэффициент Пуассона в среднем μ = 0,25, тогда
.
Постоянство этого соотношения позволяет определять параметры,
находясь отдаленно от центра землетрясения до сейсмографической станции, по времени запаздывания волн поперечных колебаний относительно
продольных. Эта методика изучается в специальных дисциплинах.
Следует указать, что скорости распространения волн упругих колебаний в сплошной среде очень велики; например, для стали а = 5800 м/с;
b = 3800 м/с (для сравнения переведите их в км/ч). Вместе с этим, скорости
(9.2) колебательного движения самих частиц в среде сравнительно невелики.
84
10.7. Сферическая Р-волна в неограниченной среде
Рассмотрим в неограниченной среде сферическую полость, к внутренней поверхности которой быстро прикладывается напряжение, равномерно распределенное по сфере. Это может являться результатом симметричного взрыва внутри сферы.
В результате этого тонкий сферический слой будет сжат по толщине
(радиально, по всем направлениям); вместе с этим его радиус немного увеличится: он растянется в тангенциальном (в круговом) направлении. Он
нажмет на смежный сферический слой несколько большего радиуса, который в свою очередь сожмется по толщине и растянется по кругу, действуя
на следующий сферический слой и так далее. В результате в среде симметрично, однако во всех направлениях будет расширяться сферическая волна
упругих деформаций, фронт которой (сфера) расширяется.
Каждая часть среды будет перемещаться только вдоль радиуса, проведенного из центра сферы (перпендикулярно поверхности сферического
фронта волны). Благодаря симметрии частицы не будут смещаться по поверхности сферы (тангенциально), то есть будут отсутствовать смещения
сферических слоев. Таким образом, симметричная сферическая волна – это
продольная Р-волна расширения (см. п. 10.5), которая распространяется
по всем направлениям в неограниченной среде со скоростью а (10.21).
В сплошной среде частицы упруго взаимодействуют между собой. Радиальное смещение сферического слоя встречает сопротивление смежных
слоев, что создает радиальные напряжения σr, перпендикулярные поверхности сферы (например, при радиальном смещении от центра взрыва сфериче-
ский слой встречает сопротивление извне, и в нем возникает деформация
сжатия по толщине). При этом сфера изменяет радиус, вызывающий тангенциальные (окружные) напряжения, одинаковые по всем направлениям благодаря симметрии (например, при радиальном расширении в сферическом слое
возникают деформации растяжения по кругу по всем направлениям).
Таким образом, во-первых, в каждой точке сферического слоя возникает объемная деформация V (в радиальном и в двух тангенциальных взаимно перпендикулярных направлениях); во-вторых, вследствие сопротивления внутренних сил частица не может сместиться далеко (по условию
сплошности среды), поэтому она должна замедлить движение и изменить
его направление.
Следовательно, под действием сил упругости частицы изменяют
скорость и направление движения, смежные сферические слои то удаляются, то сближаются, а в среде возникают радиальные колебания сферических слоев частиц в виде пульсирующих сфер.
Перемещение u каждой частицы зависит (является функцией) от радиуса r тонкого сферического слоя, в котором она находится, и изменяет-
85
Рис. 10.8.
ся с временем t (функция от t). Функцию перемещения u(r, t) находят
из дифференциального уравнения, которое по-прежнему составляют на основе динамического уравнения движения малого равностороннего элемента ("сферического квадрата"), "вырезанного" радиусами в сферическом
слое малой толщины dr как на рис. 10.8:
. (10.33)
Левая часть этого уравнения получена как
сумма проекций на радиальную ось радиальных и
тангенциальных упругих сил, действующих на
элемент на рис.10.8 (сила равна произведению
напряжения на площадь грани). Правая часть содержит ускорение элемента при радиальном перемещении (вторая производная от u по t).
При сферической симметрии компоненты деформаций, следующие:
;
; (10.34)
а напряжение по закону Гука выражаются формулами:
; (10.35, а)
. (10.35, б)
Подставим эти формулы в (10.33) и получим следующее уравнение:
. (10.36)
Дифференциальное уравнение (10.36) и ход его решения можно
упростить, если представить функцию u как производную от определенной
функции (функция должна быть первообразной для функции u):
. (10.37)
Такую функцию называют потенциалом перемещения. Подставив
(10.37) в (10.36), то получим:
. (10.38)
86
Проверьте самостоятельно, что уравнение (10.36) образуется из уравнения (10.38), выполнив здесь дифференцирование сложных функций (раскрыв скобки) с учетом (10.37). Как видим, в (10.38) слева и справа есть производные по r, от которых можно избавиться от интегрирования; при этом
появляется функция интегрирования F(t):
(10.39)
(если снова взять производную от (10.39) по r, то производная от F(t) по r
будет равна 0, так как F(t) не зависит от r).
Если функция F(t) не равна нулю, то надо искать частное решение
уравнения (10.39), которое, как и F(t), тоже будет функцией от t, например
*
(t). Но на перемещение u она не влияет, так как согласно (10.37) произ-
водная от
*
(t) по r будет равна 0. Поэтому можно принять, что F(t) = 0.
Помножим (10.39) на r и внесем его под оператор производной по t как независимую переменную. Получим следующее волновое уравнение:
, (10.40)
описывающее сферическую Р-волну в неограниченной среде, распространяющейся со скоростью а (10.21).
Как мы выяснили в разделе 10.4, подобно (10.13) волновое уравнение
(10.40) имеет общее решение в форме Даламбера
, (10. 41)
где функция f (r – a t) касается волны, распространяемой от центра сферы,
а g (r – a t) – волны, сходящейся к центру сплошного шара конечных размеров после внезапного приложения давления равномерно по всей его
наружной сферической поверхности.
Нас интересует волна, которая идет в толще земной коры от локализованного центра землетрясения, поэтому примем к рассмотрению только
первую функцию, а применяя (10.37), найдем перемещение u:
;
. (10. 42)
Зная функцию f(r, t), по (10.42) сможем найти перемещение u(r, t),
по (10.34) – деформации, а по (10.35) – напряжение в любой точке
сплошной среды на расстоянии r от центра волны в момент времени t от
начала ее распространения.
87
При этом f(r, t) должна удовлетворять предельным условиям, в первую
очередь, на поверхности сферической полости радиуса r0. Поэтому нужно
знать или задать функцию u*(t) радиальных перемещений этой сферы во
времени, которое следует подставить в дифференциальное уравнение
(10.42). При его интегрировании появляется функция от r, для определения
которой следует использовать второе предельное условие, то есть на бесконечности перемещения отсутствуют. Начальные условия состоят в том,
что в момент времени t = 0 в бесконечной сфере везде равны нулю перемещения и скорости частиц.
Как правило, мы знаем или можем задать давление p(t) на поверхности сферы, что дает первое предельное условие: r = – p(t). Тогда это
условие вместе с (10.42) следует подставить в (10.35, а), принять r = r
0
и интегрировать полученное дифференциальное уравнение для определения функции f(r, t).
Волновое уравнение, описывающее распространение сферической
Р-волны упругих деформаций в неограниченной среде, также можно получить непосредственно из динамических уравнений Ламе. Уравнение
(9.25), содержащее функцию объемной деформации (дилатации) θV, разделим на плотность ρ, аналогично (10.21) преобразовав упругие константы Ламе и получим:
, (10.43)
где а – скорость распространения волны (10.21).
Уравнение (10.43) является волновым уравнением распространения
сферической волны, записанное в системе прямоугольных координат. При
распространении сферической волны объемная деформация θV одинакова
во всем тонком сферическом слое благодаря симметрии, а потому зависит
(является функцией) от радиуса r сферы и от времени t. Примем центр возникновения сферической волны за начало координат и превратим уравнение (10.43) из прямоугольной в сферическую систему, напоминая, что
связь между координатами сферической r и прямоугольными x, y, z такова:
. (10.44)
Найдем производные от (10.44) по x, y и z и получим формулы, необходимые для дальнейших преобразований (вспомните правила дифференцирования по разным аргументам):
.
88
Отсюда имеем производную от r по x. Аналогично самостоятельно
найдите производные от r по y по z. В результате получим:
(10.45)
Нужны еще такие производные этих выражений: от первого по x,
от второго по y, от третьего по z (последние найдите самостоятельно по
аналогии):
. (10.46)
Для оператора Лапласа
в (10.43) нужны производные второго
порядка. Сначала θV дифференцируем по x:
. (10.47)
Далее находим второе производное от θV по x, применяя в преобразованиях выражения (10.45), (10.46) и (10.47):
. (10. 48)
Вторые производные от θV по y и по z найдите самостоятельно, чтобы получить еще две составляющие оператора Лапласа:
;
(10:49)
.
Добавим (10.48) и (10.49), применим выражения (10.43) и (10.44) и
получим:
. (10:50)
Кроме того, найдем вторую производную от функции rθV:
. (10.51)
89
Разделим (10.51) на r и, приравняя к (10.50), подставим в (10.43) и,
внося r как независимую переменную под оператор второй производной
по t, получим волновое уравнение относительно функции rθV:
(10.52)
Также мы можем записать общее решение:
. (10.5 3)
Зная главные деформации (10.34) при сферической симметрии, выразим объемную деформацию θV через перемещение u и получим линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка:
;
. (10.54)
Решение uо однородного уравнения (10.54), у которого правая часть
равна нулю, находим способом разделения переменных:
;
; ;
, (10.5 5)
где C(t) – функция от t, независимая от переменной интегрирования r.
Частное решение u* неоднородного уравнения (10.54):
, (10.56)
где интеграл означает первообразную от подынтегральной функции. Прямой подстановкой проверьте, что (10.56) является решением (10.54).
Следовательно, радиальные перемещения (колебания) слоев в сферической волне определяются общим решением уравнения (10.54)
. (10.57)
Чтобы определить функцию f (r, t), следует для выражения (10.57)
и формулы (10.35, а) применить первое предельное условие r = – p(t) и ин-
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]