Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика сплошной среды. Учебное пособие
.pdf
(8.3)
(8.7)
(8.8)
KEK
S
S
E
VV
0
0
3
21
,
3
21
E
K
E
S
E
Vxx
zyxxx
x
3)1()1(
)(
Напомним, что объемная деформация или дилатация θV (7.1) или
(7.7) одновременно является первым инвариантом тензора деформаций.
(8.4)
Подставим (8.3) в (8.4) и получим объемный закон Гука:
(8.5)
В случае всестороннего гидростатического сжатия на тело по всем
трем направлениям действует одинаковое давление: σ1 = σ2 = σ3 = – σ. Тогда
формула (8.5) имеет вид
(8.6)
где K – модуль объемной упругости.
Подставим формулы (6.8) и (6.18) в (8.5) и выразим объемный за-
кон Гука через первый инвариант Sσ тензора напряжений или через среднее октаэдрическое напряжение σ0:
8.2. Упругие константы Ламе
При решении задач теории упругости часто удается найти деформации тела по геометрическим зависимостям упругого изменения его размеров, а затем найти напряжение. Для этого в общем законе Гука (8.1) нужно
выразить напряжение через деформации, для чего в уравнениях (8.1) в скобках следует получить сумму трех напряжений Sσ, добавив и отняв нужный
компонент μσи. Так, с первого уравнения получаем:
61
(8.9)
.
(8.10)
;
;
(8.11)
VxVxVxx
G
EEKE
2
)21()1()1(2
2
1
3
1
куда подставлен Sσ по формуле (8.7). Отсюда выразим напряжение через
деформации, подставив значение K (8. 6),
где введены такие упругие константы Ламе:
Произведем аналогичное преобразование других уравнений системы
(8.1) так, чтобы получить обобщенный закон Гука в выражении напряжений через деформации – в форме Ламе:
Следует заметить, что, определив две упругие характеристики материала E и μ, другие упругие константы G, K и λ можно рассчитать
по формулам (8.6) и (8.10).
Контрольные вопросы и задания к разделам 7 и 8
7.1. По рис. 7.1, зная координаты точек А и A1, выразите вектор
U = AA1 через орты.
7.2. По рис. 7.2, зная длины ребер параллелепипеда и их линейные
деформации, выведите формулу относительной объемной деформации –
дилатации θV.
7.3. Аналогично рис. 7.3 нарисуйте проекцию элементарного параллелепипеда на плоскость хОz и изобразите деформации и перемещение его
грани.
7.4. По схеме, полученной в задании 7.3, и аналогично выводу формул (7.3) и (7.4) найдите относительные линейные деформации ребер параллелепипеда.
7.5. По схеме, полученной в задании 7.3, и аналогично выводу формулы (7.5) найдите сдвиговые деформации грани параллелепипеда.
7.6. Аналогично рис. 7.3 нарисуйте проекцию элементарного параллелепипеда на плоскость yОz и изобразите деформации и перемещение
его грани.
62
7.7. По схеме, полученной в задании 7.5, и аналогично выводу формул (7.3) и (7.4) найдите относительные линейные деформации ребер параллелепипеда.
7.8. По схеме, полученной в задании 7.5, и аналогично выводу формулы (7.5) найдите сдвиговые (угловые) деформации грани параллелепипеда.
7.9 Аналогично выводу первого уравнения (7.11), по второму и третьему выражениям линейных деформаций (7.6), учитывая угловую деформацию (7.6), выведите второе уравнение совместности деформаций СенВенана (7.11).
7.10. Аналогично выводу первого уравнения (7.11), по третьему и первому выражениям линейных деформаций (7.6), учитывая угловую деформацию (7.6), выведите третье уравнение совместности деформаций Сен-Венана
(7.11).
7.11. Аналогично выводу первого уравнения (7.12), выведите второе
уравнение второй группы уравнений совместности деформаций СенВенана (7.12).
7.12. Аналогично выводу первого уравнения (7.12), выведите третье
уравнение второй группы уравнений совместности деформаций Сен-Венана
(7.12).
8.1. Подставьте (8.1) в (7.1) и (8.3) в (8.4) и выведите объемный закон
Гука.
8.2. Аналогично выводу первого уравнения (8.11), выведите второе
уравнение обобщенного закона Гука в форме Ламе.
8.3. Аналогично выводу первого уравнения (8.11), выведите третье
уравнение обобщенного закона Гука в форме Ламе.
63
9. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
9.1. Уравнение движения Коши для упругой среды
В разделе 8 мы выяснили, что даже если тело закреплено и не двигается в пространстве, однако его внутренние точки могут перемещаться за счет
упругих деформаций. Понятно, что эти перемещения малы, но они есть и изменяются во времени, то есть положение точек меняется с течением времени
– происходит их движение.
Из кинематики известно, что скорость движения точки – это произ-
водная ее перемещения по времени. Производная всегда показывает интен-
сивность изменения функции (здесь: перемещение) при изменении аргумента (времени). В векторной форме скорость точки выражается следующим
образом [3]:
, (9.1)
где
– орты (единичные векторы, направленные вдоль осей х, у и z); и, v
и w – проекции перемещения U на координатные оси.
Поскольку выражение (9.1) является разложением вектора скорости
V по осям координат, то в координатной форме проекции скорости на оси
х, у и z соответственно выражаются следующим образом:
. (9.2)
Понятно, что в сплошном теле точка не может двигаться свободно и
далеко, так как она связана упругими силами с соседними точками, которые
не двигаются или двигаются с другой скоростью. Поэтому вследствие упругого взаимодействия скорости внутренних точек тела изменяются со временем по величине и по направлению.
Изменение скорости движения материальной точки во времени – это
при ускорении W, определяемое производной от скорости по времени. Если
ускорение положительное, то точка ускоряет свое движение, если отрицательное – замедляет. В векторной форме при ускорении точки выражается
следующим образом:
. (9.3)
Поскольку выражение (9.3) является расписанием вектора ускорения W по осям координат, то в координатной форме проекции ускорения
на оси х, у и z соответственно выражаются второй производной:
64
, (9. 4)
где и, v и w – проекции перемещения U на оси координат х, у и z.
По второму закону Ньютона произведение массы m материальная
точка на ее ускорение W равна сумме всех сил ΣF, действующих на точку.
Второй закон Ньютона в векторной форме:
, (9. 5)
где вторые производные от и, v и w по времени согласно (9.4) – это проекции ускорения W на координатные оси х, у и z.
В упругом теле мы выделяли материальную точку в виде элементарного параллелепипеда очень малых размеров dx, dy и dz и объемом dx·dy·dz
(рис. 5.3-5.4). Если плотность материала тела ρ, то масса элементарного объема m = ρ·dx·dy·dz. При этом второй закон Ньютона для движения элементарного объема в упругом теле в координатной форме будет
выглядеть:
где Σ FX, Σ FY, Σ F
Z
– проекции суммы сил на оси координат х, у, z; а ле-
, (9. 6)
вая и правая части уравнений разделены на объем dx·dy·dz.
В разделе 5.2 мы рассмотрели элементарный объем тела при условии его статического равновесия под действием упругих сил (от напряжений) и объемных сил (действующих на единицу объема; их проекции
мы обозначили через X, Y, Z). При этом составили уравнение равновесия
проекций этих сил на каждую ось, разделили их на объем dxꞏdyꞏdz и по-
лучили систему уравнений равновесия (5.4).
Сейчас мы рассмотрим упругое деформирование тела с течением
времени, при котором каждый элементарный объем перемещается упруго
с ускорением. При этом сумма действующих на него сил по второму закону Ньютона равна произведению массы на это ускорение (а не нулю,
как в разделе 5.2). Поэтому суммы проекций сил на координатные оси х,
у, z, которые мы находили в разделе 5.2, теперь подставим в уравнение
(9.6) и получим систему уравнений:
. (9.7)
65
Эта система дифференциальных уравнений движения Коши для то-
чек упруго деформированного тела. В отличие от уравнений статического
равновесия Навье (5.4), они позволяют находить компоненты напряженнодеформированного состояния в каждый момент времени при динамических
процессах в среде: при внутренних упругих колебаниях точек, при распространении в упругом теле продольных волн растяжения/сжатия и поперечных волн сдвига и т.д.
9.2. Уравнение Ламе в перемещениях
Если за основные неизвестные принять перемещения; тогда в каждой
точке тела будут только 3 неизвестные функции:
(9.8)
Такая задача сводится к нахождению 3 функций (9.8), которые должны удовлетворять трем уравнениям динамического равновесия (9.7). Одновременно на поверхности должны удовлетворяться граничные условия (5.7),
которые задают внешние силы Nx, рNy, рNz, действуя на тело.
Чтобы решать задачу теории упругости в перемещениях, нужно в уравнениях движения Коши (9.7) выразить напряжение через перемещение. Для
этого в уравнении закона Гука в форме Ламе (8.11), выражающих напряжение
от деформаций, следует подставить выражения деформаций через перемещение из соотношения Коши (7.6). Полученные выражения напряжений через
перемещение и подставляют в уравнение динамического равновесия (9.7).
Выпишем первое из уравнений системы (9.7):
. (9.9)
Выражения фигурирующих здесь напряжений выпишем из обобщенного закона Гука в форме Ламе (8.11):
. (9.1 0)
Из соотношения Коши (7.6) выпишите выражения деформаций:
. (9.1 1)
. (9. 12)
66
,
(9.14)
,
.
Теперь подставим выражения (9.12) и (9.11) в (9.10):
. (9.13)
Для уравнения (9.9) требуются соответствующие производные этих
выражений:
Подставим три выражения (9.14) в уравнение (9.9) и получим:
. (9.15)
Вынесем за первые скобки в (9.15) оператор производной:
; (9.16)
а вторые скобки в (9.15) заменим оператором Лапласа
:
. (9.17)
где значком
(читается "набла-два") обозначен дифференциальный
оператор Лапласа
. (9.18)
В результате первое уравнение системы получит вид:
. (9.19)
Аналогично выведем второе и третье уравнения такой системы:
(9. 20)
.
67
,
,
(9.21)
.
Эта система основных дифференциальных уравнений (9.20) теории
упругости в перемещениях называется уравнением Ламе.
Если принять, что объемные силы отсутствуют: X = Y = Z = 0 (если
они значительно меньше напряжения в деформированном теле), то система
динамических уравнений Ламе (9.20) примет вид:
Видим, что в систему уравнений Ламе входят перемещения и, v, w
и объемная деформация (дилатация) θV, связанные соотношением (7.7).
Это позволяет свести уравнение Ламе к уравнению с одной функцией. Для
этого продифференцируем по х первое из системы уравнений Ламе (9.21):
.
Поскольку функции перемещений и, v и w непрерывны и можно
изменять порядок их дифференцирования (см. п. 7.3), внесем оператор
производной по х внутрь каждого оператора второй производной (при постоянной плотности ρ), в том числе внутри оператора Лапласа (см. формулу (9.10)):
,
Выполнив аналогичное дифференцирование второго уравнения Ламе (9.21) по y, а третьего – по z, и получим:
Добавив (9.22) и (9.23), используя формулы объемной деформации
или дилатации θV (7.7) и оператор Лапласа (9.18):
.
,
.
. (9.24)
(9.22)
(9.23)
68
Вынесем оператор
за скобки и получим:
. (9.2 5)
Это динамическое дифференциальное уравнение содержит только
одну функцию объемной деформации (дилатации) V.
69
Рис. 10.1. Распространение волны напряжений в стержне
10. УПРУГИЕ ВОЛНЫ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
В статических задачах теории упругости принято, что силы или нагруз-
ки прикладываются к телу в течение определенного времени. Его достаточно,
чтобы внутренние точки деформировались и перемещались медленно, с малой
скоростью и почти без ускорения. При этом можно пренебречь инерционными
силами (равными произведению массы на ускорение), которые оказываются
значительно меньше упругих сил.
В динамических задачах следует учитывать, что силы могут прикладываться (возрастать от нуля до максимального значения) в течение очень малого времени (например, действие взрыва или сейсмического толчка). Такие
силы часто называют внезапно приложенными. Внутренние точки тела приобретают перемещение и скорость за очень короткое время, поэтому двигаются с большими ускорениями. Это создает большие силы инерции, которые
необходимо учесть, поскольку они соразмерны с силами упругости.
Действие внезапно приложенной силы не передается мгновенно всем
частицам тела. Сначала его отдаленные части остаются ненапряженными,
поэтому возникающие под действием силы деформации распространяются
по телу в виде упругих волн. Если размеры тела велики, то время, необходимое, чтобы волны прошли через тело, становится достаточно длительным (существенным при решении задачи) и должно быть учтено. Такие задачи мы встречаем при исследовании действия удара или волн, возникающих при землетрясениях. Исследование распространения волн в упругой
среде является предметом дальнейшего изложения.
10.1. Плоские продольные волны напряжений в стержне
Рассмотрим длинный стержень (рис. 10.1), закрепленный не подвижно
[4]. К его плоскому торцу внезапно прикладывают напряжение. σ (сила удара
равномерно распределена по перекладине). Внезапно означает, что за очень
малое время t напряжение возрастает от 0 до σ; при этом скорость точек
плоского поперечного сечения возрастает от 0 до V. В первый момент напряжения σ и скорость V получает очень тонкий слой у торца стержня.
Через некоторое время за счет упругих сил и движения это сечение
придаст смежному слою напряжение. σ и скорость V, то в следующем и так
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]