Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика сплошной среды. Учебное пособие
.pdf
Рис. 4.2. Диаграмма
сжатия пластического
материала
Многие материалы не имеют выраженной плоскости текучести. Для
них принимают условный предел текучести σ
– это напряжение, при
0,2
котором остаточная деформация достигает 0,2%.
Предел прочности σпр – напряжение, соответствующее наиболь-
шей нагрузке P
при котором образец еще не разрушается (точка Д).
max,
При последующей нагрузке деформации образца возрастают и в точке Е
наступает разрушение образца.
Напомним, что продольное удлинение образца сопровождается его
поперечным сужением. После наступления текучести поперечные деформации тоже становятся остаточными, фактическая площадь поперечного
сечения становится меньше F0, а потому действительные напряжения несколько больше рассчитанных на диаграмме.
Далее, после точки Д происходит местная локализация пластических
деформаций: на образце появляется шейка – местное видимое сужение образца. Под нагрузкой поперечная площадь шейки уменьшается настолько
быстро, что напряжения катастрофически возрастают до точки Е, где наступает разрыв образца.
Поскольку поперечная площадь шейки значительно меньше A0, то действительные напряжения значительно больше рассчитанных на диаграмме.
Следовательно, участок диаграммы БДЕ (сплошной на рис. 4.1) является условным, так как построен для условно неизменной площади A0 поперечного сечения образца. Заштрихованный участок диаграммы показывает действительные напряжения (истинная диаграмма), полученные делением нагрузки на действительную площадь поперечного сечения образца. Действительное напряжение разрушения σр – это напряжение, полученное делением силы нагрузки PЕ’ в момент разрыва на действительную
площадь AЕ поперек шейки.
Превышение предела текучести σт вызывает
остаточные пластические деформации материала.
Если после этого разгрузить образец (например, в
точке Г), то процесс уменьшения деформаций пойдет по линии, параллельной прямой ОА (рис. 4.1).
Разгруженный образец останется длиннее величины Δl
εпl0, где εп – остаточная пластическая
ост
=
деформация (рис. 4.1).
При этом исчезает упругая деформация
εу – разница между деформациями в нагруженном
и разгруженном состояниях. Если этот образец
снова нагружать, то процесс роста деформаций
пойдет по линии, которая совпадает с линией разгрузки. После достижения напряжений точки Г
диаграмма дальше снова пойдет по кривой ГДЕ.
Для испытания на сжатие используют короткие цилиндрики с отношением длины образца к диаметру не более 3:1. Диаграмма сжатия пла-
31
Рис. 4.3. Типичная
диаграмма растяжения
и сжатия хрупкого
материала
стического материала (рис. 4.2) полностью повторяет его диаграмму растяжения на участке OABC. У пластических материалов пределы пропорцио-
нальности σ
и текучести σт = σ
пр
при растяжении и при сжатии одинаковы,
0,2
но площадка текучести на диаграмме сжатия почти не выражена. При превышении границы текучести диаграмма резко идет вверх (напряжения возрастают) вследствие упрочнения материала. Образец не разрушается, а расплющивается, и опыт прекращают.
4.3. Диаграммы растяжения и сжатия хрупких материалов
Материалы, из которых состоят массивы горных пород, преимущественно обладают хрупкими свойствами. Типичные диаграммы растяжения
и сжатия хрупкого материала показаны на рис. 4.3. Выделим их важные
особенности, указывающие на характерные свойства хрупких материалов.
Во-первых, на диаграммах растяжения
и сжатия участки упругих деформаций не являются
точно прямолинейными, то есть упругие деформации
хрупких материалов не точно пропорциональны
напряжению. Поскольку отклонения от закона Гука
незначительны, то его не учитывают. При этом по
диаграмме испытаний материала принимают среднее
значение модуля упругости, которое соответствует
расчетным значениям напряжений и называется се-
кущий модуль упругости E
S
.
Во-вторых, характерным свойством хрупких
материалов является отсутствие пластических деформаций. Хрупкие материалы разрушаются при
очень малых остаточных деформациях. Поэтому
по диаграммам можно определить только две ха-
рактеристики: предел прочности σ
(определяемую по разрушительной
пр
нагрузке) и относительную остаточную деформацию δ.
В-третьих, важная особенность в том, что хрупкие материалы выдерживают гораздо большие напряжения при сжатии, чем при растяжении. Поэтому их диаграмма сжатия и диаграмма растяжения не совпадают (рис. 4.3), а главное, что у хрупких материалов предел прочности при
сжатии
значительно больше предела прочности при растяжении
.
4.4. Основные механические характеристики материалов
Основными механическими характеристиками материала являются:
1) характеристики упругости (рис. 4.1):
– предел пропорциональности σ
и предел упругости σу.
пц
32
2) характеристики прочности:
– предел текучести σт и предел прочности σ
(рис. 4.1).
пр
3) характеристики пластичности:
– относительное остаточное удлинение δ (дельта) и относительное
остаточное сужение ψ (пси):
Перед разрушением (точка Е, рис. 4.1) образец имел наибольшие деформации. После разрыва упругие деформации исчезают, а вся длина пластически деформированного образца составляет lЕ.
Остаточное удлинение материала при разрыве (%)
. (4.1)
4.5. Теории прочности
Под действием значительных нагрузок твердое тело может деформироваться или разрушиться. У пластических материалов остаточные
пластические деформации наступают, когда напряжения достигают предела текучести σт; у хрупких материалов наступает разрушение, когда
напряжения достигают предела прочности σ
Эти напряжения называют
пр.
опасными. Обозначим их так: [σ].
У пластических материалов предел текучести σт при растяжении
и при сжатии одинаков, поэтому опасные напряжения:
. (4.2)
У хрупких материалов предел прочности при растяжении
ше предела прочности при сжатии
, поэтому опасные напряжения раз-
мень-
личны при растяжении и при сжатии соответственно:
и
, (4.3)
где значок "+" означает растяжение, значок "–" означает сжатие.
Материал в массиве пород находится в реальном напряженнодеформированном состоянии. Если напряжения в нем достигают опасных значений, происходит разрушение и (или) перемещение пород и вследствие этого
перераспределение напряжений. Поэтому в отношении горных пород опасные
напряжения указывают на возможность их разрушения или деформирования.
Опасное напряжение [σ] характеризует прочность материала; его фактическое значение узнают по результатам линейных одноосных испытаний
материала на растяжение и сжатие (по которым строят диаграммы растяжения и сжатия (разделы 4.2 и 4.4). Но массивы пород могут находиться в более
сложных напряженных состояниях, когда действуют все три главных нор-
33
мальных напряжения, а на плоскостях сдвига – наибольшие касательные
напряжения. При этом условия возникновения пластических деформаций или
разрушения отличаются от условий напряженного линейного состояния.
Теории прочности имеют задачей выразить три главных напряже-
ния сложного напряженно-деформированного состояния через одно экви-
валентное напряжение σ
так, чтобы оно создавало равномерное (экви-
экв
валентное) напряженное состояние. Это означает, что пластические деформации или разрушение материала будут наступать одновременно либо
при сложном напряженном состоянии, либо при линейной эквивалентной
нагрузке и напряжением σ
экв
.
Первая теория – теория наибольших нормальных напряжений. Считается, что прочность материала будет обеспечена, если наибольшее нормальное напряжение не превышает допустимого значения. При этом эквивалентно напряжение:
или
; (4.4)
где σ1 – наибольшее напряжение при растяжении; σ 3 – наибольшее напряжение при сжатии (принимают по модулю).
Вторая теория – теория наибольших линейных деформаций. Считается, что прочность материала обеспечена, если наибольшая относительная линейная деформация ε
при линейной нагрузке. Если ε
не превышает допускаемых, определенных
max
max ≤ ε1
, то по обобщенному закону Гука (раз-
дел 8.2) эквивалентное напряжение
. (4.5)
Третья теория – теория наибольших касательных напряжений.
Считается, что прочность материала обеспечивается, если наибольшее
касательное напряжение не превышает допустимого, определенного при
линейной нагрузке:
. (4.6)
Четвертая теория – энергетическая (Мизеса). Считается, что прочность материала будет обеспечена, если удельная потенциальная энергия
деформации не превышает допустимого значения, которое установлено
экспериментально при линейном нагружении. При этом эквивалентное
напряжение определяется следующим образом:
или
34
. (4.7)
Используя формулу (3.21), для плоского напряженного состояния
можно получить
,
. (4.8)
Третья и четвертая теории прочности имеют хорошую сходимость
с результатами исследований прочности пластических материалов.
Теория прочности Мора позволяет определить сопротивление разрушению хрупких материалов, в которых прочность при растяжении
меньше, чем при сжатии. При этом эквивалентно напряжение такое:
. (4. 9)
где
– коэффициент Мора.
Теорию Мора применяют при расчете прочности хрупких материалов. Она имеет лучшую сходимость с опытными данными, чем первая
или вторая теории прочности.
Контрольные вопросы и задачи к разделу 4
4.1 Объясните основные характеристики материалов.
4.2 Объясните типовую диаграмму растяжения стержня и методику
ее получения.
4.3 По типовой диаграмме растяжения стержня объясните основные
механические характеристики материала.
4.4 Объясните типовую диаграмму сжатия образца пластичного ма-
териала.
4.5 Объясните типовые диаграммы растяжения и сжатия хрупких ма-
териалов.
4.6 Объясните понятие опасных напряжений, используя диаграммы.
4.6 Объясните задачу теорий прочности.
4.7 Объясните содержание каждой из пяти теорий прочности.
35
Рис. 5. 1. Определение направляющих
косинусов нормали N к плоскости
5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
5.1. Напряженное состояние в точке. Тензор напряжения
Под действием внешних нагрузок в упругом теле (в массиве материала) возникает сложное напряженно деформированное состояние. В каждой точке такого тела действуют как нормальные, так и касательные
напряжения. Рассмотрим в теле произвольную внутреннюю точку А в виде
элементарной плоскости вокруг нее достаточно малых размеров, чтобы
считать напряжения на ней равномерно распределенными [4]. Положение
(ориентацию относительно координатных осей) плоскости, выделенной
в теле (рис. 5.1), задают направляющими косинусами нормали N (перпендикуляра) к плоскости в системе прямоугольных осей координат х, у и z.
Пусть эта нормаль N образует с осями х, у и z углы соответственно α, β и γ;
тогда направляющие косинусы обозначают так: l = cosα, т = cosβ, п = cosγ.
Если ΔР – равнодействующая внутренних сил, действующих на элементарной
плоскости площадью ΔF вокруг точки А, то полное напряжение рN в этой точке на плоскости с нормалью N определяется как предел их отношения:
.
Вектор рN можно разложить в пространстве на три взаимно перпендикулярные ком-
поненты следующими двумя способами:
1. На компоненты р
Nx,
р
Ny
и р
в направлениях трех осей (рис. 5.1)
Nz
Эти компоненты положительны, если их направления совпадают с положительными направлениями соответствующих осей. Согласно рис. 5.1,
величина напряжения рN
2. На следующие компоненты: нормальное напряжение
лении нормали N (перпендикуляра) к плоскости и два касательных напряжения
и
Ns
в направлении двух взаимно перпендикулярных осей s и t
Nt
(рис. 5.2), лежащих в плоскости сечения.
. (5.1)
в направ-
N
36
Рис. 5. 2. Две взаимно
перпендикулярные оси s и t
Рис. 5.3. Сечение тела выбрано
параллельно плоскости координат у0z
Согласно рис. 5.2, величина
напряжения рN :
.
(5.2)
Если сечение тела или плоскость выбраны параллельно одной из
плоскостей координат, например у0z
(рис. 5.3), то нормалью к этой плоскости будет ось х, а компоненты напряжений будут иметь обозначение:
и
(рис. 5.3).
xz
x,
xy
По правилу знаков нормальное
напряжение положительно, если оно
растягивающее, или отрицательное,
если оно сжимающее. Знак касательного напряжения определяется с помощью правила: если положитель-
ное (растягивающее) нормальное
напряжение на плоскости дает положительную проекцию на координатную ось, то направление напряжения на той же плоскости считается положительным при условии,
что оно тоже дает положительную
проекцию на соответствующую ось;
если же растягивающее нормальное напряжение дает отрицательную
проекцию, то положительное касательное напряжение тоже должно давать отрицательную проекцию на соответствующую ось.
Чтобы определить напряженное состояние в точке упругого тела,
необходимо знать полные напряжения рN на трех взаимно перпендикулярных плоскостях, проходящих через эту точку. Поскольку каждое полное
напряжение можно разложить на три компоненты, то напряженное состояние будет определено, если будут видны девять компонентов напряжений
(на рис. 5.4 самостоятельно найдите
y
и
). Эти компоненты можно за-
z
писать в виде матрицы, которую называют матрицей компонентов тензо-
ра напряжений в точке (или коротко – тензором напряжений):
37
, (5.3)
Рис. 5.4. Положительные компоненты напряжений
В каждой горизонтальной строке матрицы записаны три компоненты
напряжения, действующие на одной плоскости, перпендикулярной оси, так
как их первые индексы (название оси или нормали) у них одинаковы (рис. 5.4).
В каждом вертикальном столбике тензора записаны три напряжения, которые
параллельны одной и той же оси, ибо вторые индексы (название оси, параллельно которой действует напряжение) у них одинаковые (рис. 5.4).
На рис. 5.4 показаны положительными все компоненты напряжений, действующих на гранях элементарного параллелепипеда, совпадающих с плоскостями координат.
5.2 Уравнение равновесия элементарного параллелепипеда
В напряженном упругом теле от исследуемой точки А с координатами х, у и z выделим тремя взаимно перпендикулярными парами плоскостей элементарный параллелепипед с размерами ребер dx, dy и dz
(рис. 5.3). На каждой из трех взаимно перпендикулярных граней, прилегающих к точке А (ближе к плоскостям координат), будут действовать
по три компонента напряжения – одно нормальное и два касательных.
Считаем, что на этих гранях они положительны (на рис. 5.3 показаны
только
,
и
x
xy
).
xz
Если перейдем от левой грани, проходящей через точку А, к параллельной грани, то напряжения изменятся и получат приращения. В частности, на грани CAD, проходящей через точку А и к которой ось х является
38
нормалью, действуют напряжения
xz = f3
(x, y, z), которые являются функциями (т.е. изменяются) от коор-
х = f1
(x, y, z),
xy = f2
(x, y, z),
динат x, y, z (рис. 6.1). Поэтому на параллельной грани вследствие увеличения координаты х (при переходе слева направо от одной грани
к другой в направлении х) будут действовать напряжения, которые станут больше величины приращения:
При этом по условиям равновесия элементарного параллелепипеда
они имеют направление, противоположное
и
x,
xy
xz.
Таким образом можно определить напряжение на всех гранях элементарного параллелепипеда, как показано на рис. 5.4:
– на грани, к которой нормалью является ось y:
– на грани, к которой нормалью является ось z:
Кроме напряжений, приложенных к граням элементарного параллелепипеда, на него могут действовать объемные силы (например, силы веса,
силы инерции). Они распределены по объему тела и могут отличаться в разных его точках. Поэтому рассматривают удельные объемные силы, отнесенные к единице объема (т.е. действующие на единичный объем). Обозначим сумму проекций всех этих сил на координатные оси через X, Y и Z.
Величины сил, действующих на элементарный параллелепипед, находят умножением напряжений на его параллельных гранях на площадь грани
(например, на dy·dz), а удельные объемные силы – на его объем dx·dy·dz. По-
скольку этот параллелепипед в теле находится в равновесии, то сумма проекций восьми этих сил: объемной, нормальных и касательных (учитывая их
разные знаки на противоположных гранях) равна нулю – запишем уравнение равновесия:
39
Тогда после сокращения слагаемых с противоположными знаками
и деления на произведение dx·dy·dz получаем уравнение
Составим аналогичные уравнения проекций сил на оси у и z. В результате получим три дифференциальных уравнения равновесия элементарного параллелепипеда – уравнение Навье:
. (5.4)
При уменьшении размеров параллелепипеда до нуля он превращается в точку, а все напряжения и по существу оказываются компонентами напряжений на трех взаимно перпендикулярных плоскостях, проходящих через точку А.
Если приравнять к нулю сумму моментов всех сил, действующих
на элементарный параллелепипед относительно оси х с параллельной оси
y и проходящей через его центр тяжести – точку С (рис. 5.4), то получим
уравнение:
.
Вторым и четвертым членом уравнения можно пренебречь из-за их
высшего порядка малости по сравнению с другими. Поэтому после сокращения на dx·dy·dz получим:
yz – zy =
0 или
yz = zy
.
Составим аналогичные уравнения моментов относительно центральных осей ус и zс и получим три уравнения закона парности (взаимности)
касательных напряжений:
xy = yx
,
yx = xy
,
zx = xz
. (5.5)
Этот закон формулируется следующим образом: касательные напря-
жения возникают и действуют всегда на двух взаимно перпендикулярных
плоскостях, они равны по величине и одинаковы по знаку, когда направлены к
линии пересечения плоскостей.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]