Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика сплошной среды. Учебное пособие
.pdf
Рис. 2.3. Распределение силы
N по площади стержня
в виде нормального напря-
жения σ
Напряжение σ является вектором и его
направление совпадает с направлением силы
N, то есть оно перпендикулярно (нормальное) к
сечению.
Единицы измерения напряжения: Па
(паскаль: 1 Па = 1 Н/м2), МПа (мегапаскаль:
1 МПа = 106 Н/м2 = 1 Н/мм2).
Правило знаков совпадает с правилом знаков для внутренней продольной силы: напряжение растяжения считается положительным,
напряжение сжатия – отрицательным.
Способ крепления и приложения сил
к стержню может создавать неравномерные
местные деформации. Но они не влияют на сечения и точки, удаленные от места приложения
нагрузки. Это положение называют принципом
Сен-Венана.
Следовательно, нормальное напряжение σ – это внутреннее распределенное усилие, приходящееся на единицу площади сечения и перпендикулярное плоскости сечения.
Если нормальное напряжение равномерно распределено по площади
сечения A, то суммарную внутреннюю силу N, перпендикулярную к его
плоскости, определяют из (2.1)
. (2.2)
Если же напряжение σ является переменным (неравномерным) по
площади сечения A, то связь между внутренними силовыми факторами
выражается так
. (2.3)
2.3. Закон Гука. Виды деформаций
Рассмотрим стержень (рис. 2.4), который до нагрузки имел длину l
и поперечный размер h. Под действием продольной силы P стержень
как упругое тело изменяет свои размеры.
По направлению силы P длина l изменилась на величину Δl. Методом
сечений найдем внутреннюю силу N в стержне (на рис. 2.4 она равна P). Если сила растягивающая (как на рис. 2.4), то изменение размера положи-
тельно: – это абсолютное удлинение стержня. Если же сила сжима-
ющая, то изменение размера будет отрицательным: – это абсолют-
ное укорочение стержня.
11
Рис. 2.4
Закон Гука позволяет найти изменение длины стержня (или его
участки длиной l) по внутренней силе N
(2.4)
где A – площадь поперечного сечения (м2) стержня или их участка.
E – модуль упругости (модуль Юн-
га); характеризует способность материала
сопротивляться деформациям (имеет размерность напряжения: Па, МПа). Сталь
имеет E = 2 10
11
Па = 2 105 МПа; чугун:
E = 1,5 105 МПа; бетон: E = 0,19 105 МПа;
дерево: E = 0,11 105 МПа; резина:
E = 10…100 МПа; алмаз: E = 12,2 105 МПа.
Относительная линейная деформация ε (эпсилон) – это отношение изменения линейного размера к его начальной величине
. (2. 5)
Относительная деформация ε – величина безразмерная; она положительна при растяжении (так как Δl >0) и отрицательная при сжатии (Δl< 0).
Если деформация стержня равномерна, то отношение изменения
расстояния между его двумя любыми сечениями (а не только всей длины)
к ее начальной величине будет одинаковым (линейная деформация сетки
на рис. 2.3). Итак, продольная деформация ε для случая стержней на рис.
2.3 или 2.4 в любой точке постоянна вдоль оси стержня. Ось стержня
в дальнейшем будем обозначать как x, а перпендикулярные к ней оси –
y и z (рис. 2.4).
Подставим деформацию (2.5) и напряжение (2.1) в формулу (2.4),
чтобы получить закон Гука в следующем виде:
или
. (2. 6)
Из (2.6) видим, что значение деформаций ε мало даже при значительных напряжениях σ, так как модуль упругости Е у твердых материалов достаточно велик. С другой стороны, даже при малых деформациях
возникают большие напряжения σ.
В результате продольной деформации растяжения упругого стержня
(рис. 2.4) изменяется его поперечный размер на величину Δh = h' – h < 0 –
это поперечное сужение. В случае продольного сжатия стержень получает
поперечное расширение.
12
Относительная поперечная деформация ε' тоже определяется
по отношению изменения размера к его начальной величине
. (2. 7)
Коэффициент Пуассона μ (мю) – это отношение величины поперечной деформации к величине продольной деформации
. (2.8)
Коэффициент Пуассона μ берется по модулю, так как знаки ε' и ε
противоположны. Он характеризует свойство конструкционных материа-
лов всегда вызывать поперечные деформации при наличии продольных.
Сталь имеет μ = 0,3; чугун: μ = 0,25; бетон: μ = 0,17; резина: μ = 0,49.
Следовательно, поперечные деформации εy и εz в направлении осей
y и z, которые перпендикулярны направлению продольной деформации εx,
определяются так:
. (2.9)
Знак минус показывает, что эти деформации всегда противоположны: при растяжении стержня происходит его поперечное сужение, а при
сжатии – поперечное расширение.
При изменении температуры происходят температурные деформа-
ции εt (расширение или сужение)
. (2. 10)
где α – коэффициент линейного теплового расширения материала;
– изменение температуры.
При необходимости, чтобы учесть температурные деформации, величину εt добавляют (с соответствующим знаком) к упругим деформациям.
2.4. Упругие перемещения сечений стержня
В результате растяжения расстояния между сечениями стержня
увеличились, и сечения переместились вдоль оси x (см. сетку на рис. 2.3
до и после нагрузки). Каждое сечение переместилось на свою величину
относительно своего исходного положения [3].
Положение сечения A задаем координатой x (рис. 2.5). Отметим u(x)
– перемещение сечения стержня в результате упругих деформаций (в но-
13
Рис. 2.5. Перемещение сечения
стержня в результате упругих
деформаций
вое положение A'); это перемещение зависит от координаты x. Сечение B,
которое было на расстоянии dx от A, переместившееся в новое положение
B' на величину u(x) + du (так как функция u(x) получает приращение du
на приращение аргумента dx).
В результате отрезок AB переместился в положение A'B' и получил удлинение:
A'B' – AB = [dx + (u (x) + du) – u (x)] – dx = du
(рис. 2.5). Тогда по формуле (2.5) относительная линейная деформация в сечении x
будет:
. (2.11)
Это дифференциальная связь между деформациями и перемещениями. Подставим напряжение (2.1) и деформацию (2.11) в закон Гука (2.6),
чтобы получить дифференциальное уравнение
. (2.12)
Это уравнение устанавливает дифференциальную связь между перемещениями сечений u(x) и внутренней продольной силой Nx. Решив его
интегрированием, получим формулу для определения перемещения u(x)
сечения с координатой x
, (2.13)
где
– перемещение начального сечения участка стержня (это интегри-
рование выполнили по краевому условию в начале участка); интеграл – это
первообразная функции (вспомним: первообразная от C (const) = C·x; первообразная от x является x2/2; первообразная от x2 есть x3/3).
На рис. 2.5 краевое условие в начале участка: u0 = 0 (так как здесь опора и перемещения нет). Тогда общее удлинение стержня длиной l, равное
перемещению правого свободного торца, можно определять по формуле:
, (2.14)
Это закон Гука в интегральной форме.
Если на участке стержня Nx /ax = σx = const (постоянные), то из (2.13)
перемещение сечения определяется линейной функцией:
. (2.15)
14
а)
б)
Рис. 2.6. Действие распределенной силы q (x) внутри стержня
На рис. 2.5 Nx/ax = σx = const, поэтому общее удлинение стержня можно определить следующим образом (сравните с формулой (2.4))
. (2.16)
Если стержень имеет несколько участков, на которых имеются разные значения Ni или Ai, то общее удлинение стержня равно сумме удлинений его участков
. (2.17)
2.5. Распределенная нагрузка
Рассмотрим стержень, на который по оси действует распределенная
нагрузка q (рис. 2.6 а). q – это удельная сила, приходящаяся на единицу
длины стержня и имеющая размерность: Н/м; кН/м. Поэтому, когда нужно
найти общую силу, которую создает q на участке стержня, надо умножить
величину q на длину участка.
В результате действия распределенной силы q(x) внутри стержня
возникает внутренняя продольная сила, изменяющаяся по длине. Пусть в
сечении с координатой x эта сила имеет величину Nx (рис. 2.6 б). Тогда на
расстоянии dx от него ее величина получает приращение и составляет Nx +
dN. Участок длиной dx находится в равновесии (рис. 2.6 б), а уравнение
равновесия имеет вид
.
В уравнении равновесия сократим Nx с – Nx и разделим на dx, чтобы получить дифференциальное уравнение
. (2.18)
15
Решив его интегрированием, получим формулу для определения внут-
ренней силы Nx в данном сечении x, которая вызванна распределенной
нагрузкой q(x),
, (2.19)
где N0 – продольная сила в начальном сечении участка стержня (это по-
стоянная интегрирования, которую определяют по краевому условию); интеграл – это первообразная от подынтегрального выражения.
Обратите внимание на знак минус: если q будет иметь направление, противоположное направлению оси x на рис. 2.6, то знак изменится
на плюс (убедитесь по уравнению равновесия).
Если на участке стержня q = const (постоянное), то из (2.19) внут-
ренняя сила Nx определяется линейной функцией:
. (2. 20)
Пример: на рис. (2.6, а) при x = l краевое условие: Nx = 0 (потому что
торец справа свободен). Тогда Nx = – ql + N0 = 0, откуда N0 = ql, а формула
(2.20) обретет вид:
.
На рис. (2.6, а) сила N0 = ql действует в начальном (левом) сечении
стержня и равна реакции опоры, направленной влево.
Убедитесь: если на торце действует сила ± P, то N0 = q l ± P.
Напряжение по оси x определяется формулой (2.1); а если площадь
Ax поперек стержня постоянна, то напряжение σx будет линейно перемен-
ным вдоль участка (потому что сила Nx линейно переменна).
Применим выражение (2.13) и найдем формулу для определения перемещения u(x) сечения x на участке стержня с равномерно распределен-
ной нагрузкой q
. (2. 21)
Следовательно, перемещение u (x) сечений стержня на участке
с равномерно распределенной нагрузкой q описывается квадратичной
параболой.
16
Рис. 2.7. Действие
распределенной
нагрузки q в виде
собственного
веса стержня
На рис. (2.6, а) краевые условия таковы: u0 = 0, N0 = q·l; тогда
При x = l:
Это перемещение торца и одновременно удлинение участка стержня
с равномерно распределенной нагрузкой q. А теперь найдем его по закону
Гука в интегральной форме (2.14).
Рассмотрим вертикальный стержень с площадью поперечного сечения A, закрепленный верхним
концом (рис. 2.7). На него действует распределенная
нагрузка q в виде собственного веса. Вес целого
стержня: G = ρ.l.A.g (ρ – плотность материала, lA – объем стержня; g = 9,8 м/с2). Тогда интенсивность распределенного по длине стержня веса: q = G/l = ρ.gA. Задачу можно решить способом, рассмотренным выше
(рис. 2.6).
Как иной возможный вариант, выберем за
начало свободный торец стержня, от которого будем отсчитывать координату x (рис. 2.7). Тогда ось
x будет направлена против направления q.
Внутренняя сила Nx уравновешивает вес части стержня ниже сечения x и определяется следующим образом (сравните с (2.20)):
.
Это потому, что теперь краевое условие имеет вид: Nx = N0 = 0 при
x = 0.
Напряжение в сечении x: .
Чтобы найти перемещение u(x) сечений, снова применим формулу
(2.13), подставив в нее силу Nx:
.
Краевое условие на верхнем, закрепленном конце стержня (рис. 2.7)
имеет вид: u(l) = 0 при x = l;
17
откуда определяем u0:
Формула перемещений u(x) сечений стержня получит вид
.
Обратите внимание: поскольку x < l, то u(x) отрицательное. Это
означает, что перемещение u(x) сечений происходит в противоположном
направлении относительно выбранной оси x.
Контрольные вопросы и задачи к разделу 2
2.1. Постройте эпюры внутренних сил N для стержня на рис. 2.1.
2.2. Для стержня на рис. 2.1 составьте уравнение равновесия, начиная
с III участка, найдите внутренние силы и постройте их эпюры.
2.3. Объясните закон Гука в абсолютных и относительных парамет-
рах и в интегральной форме.
2.4. Выведите уравнение дифференциальной связи между деформа-
циями и перемещениями.
2.5. Выведите уравнение дифференциальной связи между распреде-
ленной нагрузкой и внутренней продольной силой.
2.6. Для стержня на рис. 2.6 при наличии силы ± P на торце найдите
реакцию опоры и постройте эпюры внутренних сил N.
2.7. Для стержня на рис. 2.6 при наличии силы ± P на торце выведите
формулу перемещений сечений и найдите его общее удлинение.
2.8. Для стержня на рис. 2.7 определите внутренние продольные силы,
нормальные напряжения и перемещения сечений и постройте их эпюры.
2.9. Для стержня на рис. 2.7 перенесите опору в нижний торец, опреде-
лите внутренние силы, напряжения и перемещения и постройте их эпюры.
18
Рис. 3.1. Касательные напряжения τ
в сечении стержня
3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
3.1. Сдвиг, касательные напряжения, угловые деформации
Кроме продольных сил, у стержня могут возникать также и внутренние поперечные силы. Рассмотрим короткий стержень [3], закрепленный
на опоре (рис. 3.1). На него действует внешняя сила Р теперь уже перпендикулярно его оси х. В стержне возникает реакция Ry, которая по условию
равновесия равна внешней силе.
Чтобы найти внутреннюю силу, применим метод сечений – условно
рассечем стержень перпендикулярно оси х и рассмотрим равновесие правой части (рис. 3.1). Понятно, что она не отрывается от стержня, потому
что внутри него возникает внутренняя поперечная сила Q, действующая
в плоскости поперечного сечения. По природе это сила взаимодействия
между атомами кристаллической решетки. По величине она равна внешней силе, потому что уравновешивает ее.
Очевидно, что сила Q не сосредоточена в одной точке разреза,
а распределена по его плоскости в виде касательного напряжения τ
(тау – рис. 3.1).
Если оно равномерно распределено по площади, то его величина:
, (3.1)
где A – площадь поперечного сечения, м2. Напряжение τ является вектором, действующим в плоскости
поперечного сечения. Единицы измерения: 1 Па = 1 Н/м2, 1 МПа = 106 Н/м2.
Если равномерное касательное напряжение τ известно, то внутренняя
сила Q в плоскости сечения определяется из (3.1):
. (3.2)
Если же касательное напряжение τ является неравномерным, то связь
между внутренними силовыми факторами выражается так:
. (3.3)
Выделим внутри стержня элемент ABCD (рис. 3.2) достаточно малых размеров h, чтобы считать равномерными касательные напряжения τ,
которые действуют на его противоположных гранях. Под действием касательных напряжений τ возникает сдвиг грани BC относительно AD на величину ΔS.
19
Рис. 3.2. Деформация
прямых углов элемента
В результате сдвига прямые углы элемента
деформируются (рис. 3.2) на величину γ, которую
называют угловой деформацией или относи-
тельным сдвигом
. (3.4)
Даже при больших напряжениях величина
сдвига ΔS гораздо меньше размера h. Поэтому
угловые (сдвиговые) деформации γ являются очень
малыми величинами и поэтому в формуле (3.4)
tg γ = γ.
Следовательно, при сдвиге возникают угловые деформации, которые
создают только прямые углы выделенного элемента, но не изменяют его
линейные размеры. Фактически квадрат ABCD на рис. 3.2 деформируется
в ромб AB1C1D.
Закон Гука при сдвиге устанавливает связь между касательным
напряжением τ и угловой деформацией γ:
или , (3.5)
где G – модуль сдвига; характеризует способность материала сопротив-
ляться сдвиговым деформациям. Сталь имеет G = 8. 104 МПа.
Подставим формулы (3.1) и (3.4) в (3.5), чтобы получить из закона
Гука формулу для определения абсолютной величины сдвига ΔS:
. (3.6)
Задание. Сравните формулы (3.5) и (3.6) с формулами (2.6) и (2.4)
и найдите аналогию между законом Гука при сдвиге и законом Гука при
растяжении или сжатии (см. п. 2.3).
Установлено, что между модулем сдвига G и модулем упругости E
существует связь
, (3.7)
где μ – коэффициент Пуассона (поперечных деформаций).
Поэтому E называют модулем упругости первого рода, а G – модулем упругости второго рода.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]