Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика сплошной среды. Учебное пособие
.pdf
далее. В результате вдоль стержня со скоростью c побежит волна напряжений, характеризующаяся тем, что ее фронт образован плоским поперечным сечением с напряжением σ и скоростью движения точек V. Принимаем, что поперечные сечения остаются плоскими, их точки имеют одинаковую скорость, а поперечные напряжения отсутствуют.
Упругая волна – это последовательное во времени образование плос-
ких сечений с напряжением σ и скоростью V (а не перемещение точек от торца вглубь стержня). Аналогией волны может быть, например, волна приподнятых рук, которую создают болельщики на стадионе; при этом волна бежит
вдоль трибун за счет последовательного во времени (один за другим, а не од-
новременного) поднятия рук, в то время как болельщики остаются на местах
(а не двигаются вдоль трибун). Поэтому c – скорость распространения вол-
ны отличается от скорости V движения точек (частиц) плоского попереч-
ного сечения.
Чтобы найти эти скорости, рассмотрим фронт упругой волны через
некоторое время ; он будет на расстоянии от торца стержня –
заштрихованный участок на рис. 10.1. Поскольку на этом участке дей-
ствуют напряжения σ, то ее длина изменится на (при сжатии – укоро-
тится, при растяжении – удлинится) и торец переместится на
По закону
.
Гука (2.4-2.6)
. (10.1)
Поэтому скорость движения точек поперечного сечения будет:
. (10.2)
Скорость c распространения волны найдем по уравнению движения заштрихованного участка стержня (рис. 10.1). Видим, что под действием силы F = σA (где А – площадь поперечного сечения) участок дли-
ной и массой m = ρlA (где ρ – плотность материала) движется
с ускорением W = (V – V
)/Δt = V/Δt (поскольку за время скорость из-
0
менилась от 0 до V). По второму закону Ньютона:
. (10.3)
;
Следовательно, скорость c распространения волны зависит только
от упругих свойств E и плотности материала среды (но не зависит от способа ее образования: ни от напряжений или силы удара, ни от скорости
движения частиц среды).
71
Если к торцу стержня вместо сжатия (как на рис. 10.1) приложить
силу растяжения, то от торца вдоль стержня побежит волна теперь уже
напряжений растяжения со скоростью с (10.3), но скорость V (10.2) движения точек плоских сечений будет противоположна направлении оси х.
Следовательно, для волны сжатия скорость частиц направлена в сторону
распространения волны; а для волны растяжения частицы двигаются противоположно направлению волны.
Подставьте (10.3) в (10.2) и получите выражение напряжения:
(10.4)
Видим, что напряжение в волне зависит как от свойств материала
стержня, так и от скорости движения его частиц. Если твердое тело (независимо от его массы; даже малой массы, как шар из оружия) при ударе придаст поверхностному слою достаточно большую скорость V, то напряжение
σ может превысить предел текучести материала (остаются необратимые деформации), или предел прочности (материал разрушится).
10.2. Волновое уравнение
На рис. 10.1 мы рассматривали волну только тех поперечных сечений
стержня, в которых напряжения уже достигли величины σ, а точки – скорости V. Но перед волной (правее фронта волны на рис. 10.1) есть сечения,
в которых напряжение еще не достигло величины σ, а точки еще не достигло скорости V. Более того, еще дальше (еще правее) от рассматриваемой волны есть слои, где на спряжение и скорость движения точек еще не
возникли (σ = 0; V = 0).
С другой стороны, левее фронта волны есть сечения, которые после
достижения наибольших деформаций или перемещения не могут двигаться
дальше, так как смежные с ними сечения имеют меньшую скорость движения и оказывают им упругое сопротивление. Поэтому эти сечения замедляют движение, их напряжение и деформации уменьшаются.
Таким образом, при распространении упругой волны напряжения,
деформации и перемещения даже в двух близких (смежных) сечениях
в данный момент времени будут отличаться. Они будут разными в сечениях с разными координатами х (функцией от х), а также изменяться со временем (функция от t).
Чтобы найти эту функцию, выделим в стержне произвольный элемент между двумя сечениями на расстоянии dx (рис. 10.2). От состояния dx
выбрано достаточно мало, чтобы считать, что все точки элемента движутся с одинаковым ускорением W. Масса элемента m = ρ·dx·A, где ρ – плотность материала, А – площадь поперечного сечения.
72
Рис. 10.2. Движения элемента с ускорением
Элемент движется с ускорением, потому что на него действуют силы упругости. Если в сечении с координатой х действует на спряжение σ,
то в сечении с координатой х + dx функция напряжения получает приращение и составляет σ + dσ (рис. 10.2). Суммарная сила, действующая на
элемент, равна сумме сил упругости, действующих на боковые сечения
элемента и равных произведению напряжения на площадь. По второму
закону Ньютона сами получите:
, (10.5)
где согласно (9.4) ускорение W в направлении оси х выражается вторым
производным от перемещения u по времени t
.
Подставим в (10.5) напряжение σ по закону Гука (2.6) и деформацию
ε по соотношению (2.11) и получим:
, (10.6)
где с – скорость распространения волны согласно (10.3).
Уравнение (10.6) называется волновым уравнением. Его решение –
это функция, которая через перемещение u точек сечения описывает состояние (деформацию ε, напряжение σ) в каждом сечении в зависимости
от его координаты х в стержне и в каждый момент времени t. Волновое
уравнение (10.6) показывает, что ускорение точек сечения W (9.4) пропор-
ционально интенсивности dε/dx изменения деформации ε (2.11) между
смежными сечениями (изменение деформации характеризуется производной
dε/dx, а не величиной ε), а коэффициент пропорциональности с2 зависит
только от свойств материалов и не зависит от способа возбуждения волны.
Волновое уравнение (10.6) получено для тонкого стержня при условии, что его поперечные размеры достаточно малы по сравнению с длиной.
Благодаря этому можно принять, что возникают только нормальные
напряжения σх и перемещение сечений u вдоль оси х, а в поперечных
направлениях y i z не возникают соответствующие напряжения σy i σz и перемещение v i w, а следовательно, не возникают оползни и касательные
напряжения. Запишем эти условия:
;
; ; .
73
(10.7)
;
Рис. 10.3. Тонкая пластина, левому торцу которой
равномерно и внезапно приложены напряжения σ
х
Сформулированные в виде (10.7) условия соответствуют движению
плоских сечений в тонком стержне. Применим их непосредственно в системе уравнений движения Коши (9.7), которая получена для общего случая движения точек в упругом сплошном среде, приняв, что объемные силы отсутствуют: X = Y = Z = 0.
Подставьте нужные условия (10.7) и выражение (2.11) в первое уравнение системы (9.7) и сразу получите волновое уравнение (10.6). Убедитесь, что подстановка условий (10.7) в остальные уравнения (9.7) превращает их в тождество.
10.3. Плоская волна напряжений в тонкой пластине
Рассмотрим тонкую пластину (рис. 10.3), закрепленную неподвижно.
Как и на рис. 10.1, к ее плоскому левому торцу равномерно и внезапно
приложены напряжения σх, в результате чего в направлении оси х побежит
плоская волна напряжений. Она характеризуется тем, что все точки поперечного сечения (например, фронт волны на рис. 10.3) осуществляют перемещение u (x, t), которое не зависит от y и z, поэтому все сечения остаются плоскими.
Для сравнения со стержнем в пластине выделим стержень подобный элемент (рис. 10.3) малой ширины Δy, который соразмерен с толщиной пластины. Напомним, что поверхности действительного стержня
в поперечных направлениях и z были свободными, поэтому напряжение σy
и σz не возникали. У пластины свободными являются этажи в направлении z ее толщины, поэтому не возникает напряжения σz.
С двух сторон вдоль выделенного "стержня" (рис. 10.3) существуют
такие же смежные "стержни", связанные между собой. В каждом из них,
как и во всей пластине, действуют продольные напряжения σх и деформации εх. Они по закону поперечных деформаций Пуассона (2.9) пробуют
сделать поперечные деформации. По направлению z толщины этому ничто
не мешает и потому σz = 0.
74
Но в направлении y эти "стержни" противодействуют (мешают) друг
другу изменить поперечный размер Δy (расшириться или сузиться) и действуют друг на друга равными и противоположными упругими силами.
Эти силы уравновешиваются и препятствуют изменению размеров Δy, поэтому поперечные деформации y отсутствуют; однако эти силы создают
напряжение σy в направлении y.
В результате образуется плоское напряженное состояние с напряжениями σх и σy (σz = 0), при чем εy = 0. Примените обобщенный закон Гука
(8.4), чтобы выразить σy через σх:
;
(10.8)
.
Отсюда выразим εх через их и применим соотношение (7.6).
Учитывая, что толщина пластины значительно меньше по сравне-
нию с ее шириной и длиной, можно пренебречь перемещениями w точек
сечения в направлении z; а вследствие отсутствия деформаций εy не будет
перемещений v в направлении y. Следовательно, будут отсутствовать срез
и касательные напряжения. Таким образом, можно сформулировать следующие условия движения плоских сечений:
;
; ;
(10.9)
; ;
; .
Применим условия (10.9) в системе уравнений движения Коши (9.7)
для общего случая движения точек в упругой сплошной среде, приняв,
что объемные силы отсутствуют: X = Y = Z = 0. Убеждаемся, что второе
и третье уравнения преобразуются в тождество. А из первого уравнения
(9.7) получим волновое уравнение распространения плоской волны в тонкой пластине:
,
,
, (10.10)
где с2 – скорость распространения волны в тонкой пластине.
Обратите внимание: волновое уравнение плоской волны (10.10)
в пластине и волновое уравнение плоской волны (10.6) в стержне анало-
гичные, поэтому их решения будут одинаковыми. Они отличаются только
скоростью волны, которую для стержня в (10.3) и (10.6) теперь следует
обозначать с1. Убедитесь, что с2 > с1.
75
Рис. 10.4. Графическое представление волнового уравнения
10.4. Решения волнового уравнения
Волновое уравнение (10.6) или (10.10) связывает две разные частные производные одной функции. Поэтому его решением является функция от двух переменных: от координаты х и от времени t. Рассмотрим некоторую функцию f от аргумента (x – ct), содержащего эти переменные:
. (10.11)
Независимо от своего вида, функция f (10.11) является решением
волнового уравнения, поскольку ее подстановка в уравнение (10.6) или
(10.10) превращает его в тождество (удовлетворяет его).
Проверим это. Для этого обозначим аргумент функции f одной переменной ξ (кси), а производную функции f по ξ через f ':
Теперь найдите производные функции f по правилам дифференцирования сложной функции (вспомним эти правила):
Как видно, любая функция f (10.11) с аргументом (x – ct) является
решением волнового уравнения независимо от своего вида, так как ее
прямая подстановка в этом уравнении удовлетворяет его.
Покажем, что функция f (10.11) описывает волну. Сначала в фиксированный момент времени t построим график функции f от х, который будет выглядеть, например, кривой pqr (рис. 10.4).
Через некоторое время Δt этот график изменится. Однако на расстоянии Δx = сΔt вправо от исходного положения он воспроизведется
в том же виде кривой p'q'r'. Проверим это аналитически подстановкой:
.
76
Как видим, с изменением времени на Δt функция f (10.11) отображается, перемещаясь на расстояние сΔt вправо, то есть волна в виде кри-
вой pqr (рис. 10.4), бегущей вправо со скоростью с.
Теперь докажем, что любая функция g от аргумента (x + ct):
, (10.12)
тоже является решением волнового уравнения независимо от своего вида.
Для этого самостоятельно повторим проведённые выше выкладки.
Также отдельно покажем, что с изменением времени на Δt функция g
(10.12) перемещается влево на расстояние сΔt, т.е. волна, заданная функцией g (10.12), бежит влево со скоростью с.
Таким образом, общим решением волнового уравнения является решение Даламбера – сумма функций (10.11) и (10.12):
, (10.13)
причем они описывают две волны, распространяющиеся во взаимно про-
тивоположных направлениях. Это означает, что в сплошной среде, где
бы ни находилось место возмущения волны, она от него побежит как минимум в двух противоположных направлениях.
Общность решения (10.13) и неопределенность функций f и g означает, что волны напряжений возникнут и будут распространяться независимо ни от причины или способа их возмущения, ни от формы начального
распределения смещений или напряжений в сплошной среде в начальный
момент возникновения волны.
Обратите внимание, что функция (10.13) в упругом теле описывает
смещение со временем перемещения u(x, t) точек плоских сечений. Понятно, что u(x, t) не может бесконечно увеличиваться, так как точки
сплошной среды связаны и взаимодействуют между собой. Поэтому перемещение u(x, t) должно со временем также уменьшаться или изменять
направление. Следовательно, чтобы не нарушать сплошность среды, перемещение точек или сечений в упругом теле должны носить колеба-
тельный характер.
Чаще всего колебания описывают гармоническими функциями типа sin(kξ) или cos(kξ). Для примера рассмотрим функцию:
. (10.14)
Функция (10.14) с аргументом k(x – ct) тоже является решением
волнового уравнения. Убедимся в этом, проведя дифференцирование согласно доказательству (10.11). При этом кривая pqr (рис. 10.4) является
синусоидой, а волна называется гармоничной.
77
А – это амплитуда колебаний, равная смещению точек сплошной
среды в исходном сечении (х = 0) выбранной системы координат в начальный момент времени (t = 0). Амплитуда зависит от величины возмущающей силы или импульса силы.
Коэффициент k – это волновое число. Покажем, как оно связано с дли-
ной волны. Известно, что функции sin(kξ) и cos(kξ) периодические, то есть,
когда изменится их аргумент на величину, кратную 2π, то их значение повто-
рится. Таким образом:
.
Следовательно, вдоль направления х распространения волны через
каждый отрезок, равный 2π/k, функция колебаний повторяется, а волна
воспроизводится. Этот отрезок является длиной волны L:
. (10.15)
Понятно, что период колебаний волны Т – это промежуток времени,
через который колебание повторяется, а волна воспроизводится в данном
месте (сечке) среды. Поэтому это время, за которое волна со скоростью с
пробегает отрезок, равный длине волны L:
. (10.16)
Подставим выражения (10.15-16) в аргумент функции (10.14):
,
где ω – циклическая частота колебаний гармонической волны:
. (10.17)
Циклическая частота ω показывает, что за период времени Т аргумент функции гармонических колебаний изменяется на 2π, то есть волнообразный цикл повторяется:
.
Итак, гармонические колебания или волны описываются гармоническими функциями с аргументом одним из следующих четырех видов:
. (10. 18)
78
Рис. 10.5
10.5. Плоская Р-волна продольных колебаний
в неограниченной сплошной среде
Выведем волновое уравнение, описывающее распространение плоской волны в неограниченной упругой среде, используя динамические уравнения Ламе в перемещениях (9.20), когда объемные силы отсутствуют:
X = Y = Z = 0. Для этого (аналогично, как условия (10.7) и (10.9)) задаем
перемещение точек среды:
; . (10.19)
Рассмотрим точки среды, лежащие в одной плоскости Р, которая
задана уравнением х = х0 и поэтому перпендикулярна оси х (рис. 10.5).
Их перемещение u не зависит от y и z, поэтому все точки перемещаются
одновременно и одинаково, параллельно оси х (т.е. плоскость Р, двигаясь вдоль оси х, не деформируется).
Рассмотрим еще одну плоскость точек Р1, которая задана уравнением х = х1 и потому параллельна Р (рис. 10.5). Расстояние d между плоскостями Р и Р1 с учетом их перемещений таково:
.
Как видим, расстояние между двумя плоскостями изменяется со временем. Она не может постоянно увеличиваться, так как это плоскости точек
сплошной среды. Поэтому со временем эти плоскости то удаляются, то
сближаются, а уравнение (10.19), очевидно, задают еще и однородные продольные колебания вдоль оси х.
По выражениям (10.19) получим компоненты системы (9.20):
;
;
;
;
.
79
Применим эти выражения в уравнениях Ламе (9.20) и убедимся,
что второе и третье уравнения превращаются в тождество. А с первого
уравнения (9.20) получим волновое уравнение распространения плоской
волны в неограниченной среде:
, (10. 20)
, (10. 21)
где а – скорость волны в сплошной упругой среде; при этом произведем
преобразование упругих констант Ламе (8.10):
.
Такую плоскую волну, которую описывает волновое уравнение (10.20)
и распространяемую в неограниченной упругой среде со скоростью а (10.21),
называют продольной Р-волной расширения. Это происходит потому, что
в ней возникают только деформации растяжения/сжатия и только в направлении распространения волны и не возникают деформации сдвига. Покажем это.
Для этого, как показано на рис. 10.3, в трехмерной среде по направлению х выделим стержнеобразный элемент, который теперь со всех сторон будет взаимодействовать с подобными "стержнями" вдоль него. Понятно, что при прохождении волны напряжений х, которая создает деформации εх, теперь уже у двух поперечных на осях y и z "стержни мешают"
друг другу изменить размеры (расшириться или сузиться) и действуют
друг на друга с напряжениями σy и σz так, что поперечные деформации не
возникают: εy = εz = 0. Тогда по обобщенному закону Гука (8.4) имеем:
;
; (10. 22)
.
Добавим второе и третье уравнение (10.22), откуда найдем σy + σz,
подставим это в первое уравнение (10.22) и получим:
;
80
; (10. 23)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]