Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения уравнений в частных производных. Учебное пособие
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Казанский национальный исследовательский
технологический университет
Д. Л. Егоров
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ
Учебное пособие
Казань
Издательство КНИТУ
2024
УДК 517.9(075)
ББК 22.161.6я7
Е30
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Е30
Егоров Д. Л.
Методы решения уравнений в частных производных : учебное пособие / Д. Л. Егоров; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. технол.
ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2024. – 88 с.
ISBN 978-5-7882-3480-9
ISBN 978-5-7882-3480-9
©
Егоров Д. Л., 2024
©
Казанский национальный исследовательский
технологический университет, 2024
УДК 517.9(075)
ББК 22.161.6я7
Казанского национального исследовательского технологического университета
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, доц. С. А. Кузнецов
канд. физ.-мат. наук, доц. Ф. Р. Шакирзянов
Рассмотрены методы решения простейших уравнений в частных производ-
ных, а также основных уравнений математической физики.
Предназначено для бакалавров направлений подготовки 01.03.02 «Приклад-
ная математика и информатика», 01.03.05 «Статистика», 02.03.03 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем».
Подготовлено на кафедре интеллектуальных систем и управления информа-
ционными ресурсами.
2
С О Д Е Р Ж А Н И Е
ВВЕДЕНИЕ................................................................................................... 4
1. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ................................... 6
1.1. Уравнение в частных производных и его общее решение ............ 6
1.2. Простейшие уравнения в частных производных ......................... 12
1.3. Уравнения первого порядка, линейные относительно
частных производных ............................................................................. 15
1.4. Классификация уравнений в частных производных второго
порядка ..................................................................................................... 19
2. УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ .............................................. 31
2.1. Постановка задачи ........................................................................... 31
2.2. Метод Даламбера для бесконечной струны .................................. 33
2.3. Метод Фурье ..................................................................................... 38
3. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ............................................. 50
3.1. Постановка задачи ........................................................................... 50
3.2. Методы решения задачи линейной теплопроводности ............... 53
4. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ .............................................................................. 60
4.1. Оператор Лапласа ............................................................................ 60
4.2. Уравнение Лапласа .......................................................................... 65
4.3. Пространственные, плоские и одномерные задачи Дирихле ..... 66
4.4. Задача Дирихле для круга ............................................................... 69
4.5. Метод функции Грина ..................................................................... 76
ЗАКЛЮЧЕНИЕ .......................................................................................... 83
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ......................................................................... 84
3
В В Е Д Е Н И Е
Теория дифференциальных уравнений представляет собой один из
важнейших разделов высшей математики. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям, встречаются практически во всех областях естествознания. Например, с помощью них в классической механике описываются законы движения различных объектов и в целом динамика механических процессов. В основе квантовой механики лежит
уравнение Шредингера, являющееся линейным дифференциальным
уравнением в частных производных. Изучение кинетики химических
реакций, а также некоторых вопросов биологии и экономики, тоже связано с выводом и решением соответствующих дифференциальных
уравнений.
Ряд важных уравнений, возникших при решении классических за-
дач из указанных областей (например, задачи о колебании струн
и стержней, задачи распространения тепла и диффузии и т. д.), были
названы уравнениями математической физики. С теоретической точки
зрения их изучение позволяет на конкретных примерах познакомиться
с особенностями уравнений в частных производных и методами их решения. С практической точки зрения уравнения математической физики предоставляют готовый набор классических методик и математических моделей, которые могут быть полезны при решении различных
прикладных проблем.
Основой теории дифференциальных уравнений стало дифферен-
циальное исчисление, созданное Лейбницем и Ньютоном. Сам термин
«дифференциальное уравнение» был предложен в 1676 г. Лейбницем.
История математического аппарата уравнений в частных производных
ведет свой отсчет от работ Леонарда Эйлера, посвященных теории поверхностей (первая половина XVIII в.). Важный вклад в развитие уравнений в частных производных внесли также Даламбер, Лагранж, Коши,
Якоби и Фурье.
До появления современных мощных ЭВМ решения дифференци-
альных уравнений в частных производных во многих задачах приходилось искать исключительно в аналитическом виде, вводя серьезные
упрощающие предположения. По мере развития компьютерной техники все большую роль стали играть приближенные численные методы, реализуемые с помощью компьютерных программ. Это позволило значительно расширить круг решаемых задач.
4
В данном учебном пособии рассматриваются методы решения не-
которых простых классов уравнений в частных производных. Достаточно много внимания уделено также методам решения классических
уравнений математической физики. Каждый раздел содержит необходимый теоретический материал и примеры задач с подробным разбором
хода решения. Предполагается, что читатель уже знаком с математическим анализом и линейной алгеброй и что использованная автором терминология и специальные обозначения не вызовут у него затруднений.
В первом разделе пособия рассмотрено понятие уравнения в част-
ных производных, а также сформулирована задача Коши. Предложены
методы решения простейших уравнений в частных производных разных порядков, проанализированы уравнения первого порядка и линейные относительно частных производных. Далее приведена классификация уравнений в частных производных второго порядка и показаны методы приведения таких уравнений к каноническому виду.
Второй раздел посвящен уравнению колебаний струны. Рассмот-
рены метод Даламбера для бесконечной струны и метод Фурье.
В третьем разделе представлены методы решения уравнения ли-
нейной теплопроводности, рассмотрены различные случаи краевых
условий.
В четвертом разделе проанализированы уравнение Лапласа и за-
дача Дирихле. Рассмотрены несколько примеров одномерной задачи
Дирихле, а также его задача для круга. Описан метод функции Грина
для задачи Дирихле в пространстве.
5
1 . У Р А В Н Е Н И Я В Ч А С Т Н Ы Х П Р О И З В О Д Н Ы Х
),(xuu =
1 . 1 . У р а в н е н и е в ч а с т н ы х п р о и з в о д н ы х
и е г о о б щ е е р е ш е н и е
Уравнение в частных производных – это дифференциальное уравнение, в котором присутствует неизвестная функция, зависящая от двух
или более переменных, а также ее частные производные. В общем виде
уравнение в частных производных может быть представлено следующим образом:
где x, y, ... – независимые переменные; u = u(x, y, ...) – неизвестная функция.
Количество независимых переменных может быть любым, как
(1.1)
и порядок входящих в уравнение производных. Порядок уравнения
(1.1) соответствует порядку входящей в него старшей производной.
Решением уравнения в частных производных называется функция,
обращающая его в тождество. Множество решений обыкновенного
дифференциального уравнения бесконечно, так как в его общее решение входят постоянные, которые могут принимать произвольное значение. Уравнение в частных производных также имеет бесконечное множество решений, только в данном случае речь идет не о произвольных
константах, а о произвольных функциях, причем их количество в решении будет соответствовать порядку уравнения: т. е. решение уравнения
первого порядка будет содержать одну произвольную функцию, решение уравнения второго порядка – две произвольных функции и т. д. Такие решения называются общими.
Проиллюстрируем все сказанное с помощью наглядных примеров.
Пусть дана функция
и для нее записано обыкновенное дифференциальное уравнение
6
Общим решением данного уравнения будет u = C, где C – произвольная
Поэтому при подстановке этой функции в уравнение (1.2) необходимо
применить формулу дифференцирования сложной функции нескольких
переменных:
… (1.4)
константа.
Пусть теперь искомая функция зависит от двух переменных
и дано уравнение в частных производных
Очевидно, что ему удовлетворяет не только некоторая произвольная
константа, но и произвольная функция, зависящая от y:
u = (y).
В самом деле, если мы продифференцируем эту функцию по x, то полу-
чим 0, обратив, таким образом, исходное уравнение в тождество.
Пример 1.1. Рассмотрим более сложное уравнение, предполагая
здесь и в последующем примере, что неизвестная функция u зависит от
двух переменных – x и y:
(1.2)
Покажем, что его общим решением является функция
(1.3)
Решение. Функция является сложной и зависит от другой
функции
7
8
Каждая функция v1, v2,… в (1.4) зависит от одной или нескольких независимых переменных. В нашем примере зависит от одной функции v, ко-
торая, в свою очередь, зависит от двух независимых переменных x и y.
Воспользуемся формулой (1.4) для отыскания частных производных, входящих в уравнение (1.2):
Подставим эти производные в левую часть исходного уравнения:
Таким образом, мы получили тождество, и это доказывает, что функция (1.3) является общим решением уравнения (1.2).
Пример 1.2. Пусть дано уравнение
(1.5)
где a – константа.
Покажем, что его общим решением является функция
(1.6)
Решение. В данном примере функция u зависит от двух других
функций – и , каждая из которых также является сложной
функцией:
= (v),
где
а
= (w),
где
9
Отыщем первые производные:
′ ′
Для отыскания вторых производных нужно продифференцировать полученные выше выражения, учитывая, что каждое из них также
является сложной функцией:
( )
),()()()(
2
2
wvwv
x
x
u
+
=
+
=
( )
).()()()(
22
2
2
wavawava
y
y
u
+
=
−
=
Подставив полученные выражения в уравнение (1.5), получаем тождество
.0))()(()()(
222
+
−
+
wvawava
Таким образом, функция (1.6) является общим решением уравнения (1.5).
Для того чтобы была возможность выделить из бесконечного множества решений некоторое конкретное решение, как и в случае с обыкновенными дифференциальными уравнениями, используются начальные условия. Уравнение в частных производных при заданных начальных условиях называется задачей Коши. Сформулируем это определение более строго.
Пусть дано уравнение
(1.7)
где x = {x1, x2,…, xn}.
Пусть также задана регулярная (n – 1)-мерная поверхность класса
C1 без самопересечений в пространстве переменных x1,…, xn:
10
и на этой поверхности определена функция u0(1,…,
n – 1
) и задано
начальное условие
(1.8)
Задача Коши состоит в поиске решения u = u(x) уравнения (1.7), которое будет удовлетворять начальному условию (1.8).
Поясним использованное в определении понятие, характеризующее поверхность S. Поверхность S называется регулярной поверхно-
стью класса C
1
, если функции
(1.9)
непрерывны, и при любых фиксированных значениях 1,…,
n – 1
век-
торы (1.9) линейно независимы.
Можно сформулировать геометрический смысл задачи Коши при
n = 2. Уравнение
x = ξ(1)
определяет кривую на плоскости x1, x2, а уравнения
x = ξ(1); u = u0(1) (1.10)
определяют кривую в пространстве x1, x2, u.
При n = 2 уравнение (1.6) принимает вид
(1.11)
а условие (1.8) – вид
u(ξ(1)) = u0(1). (1.12)
Геометрический смысл условия (1.12) состоит в том, что интегральная поверхность u = u(x1, x2) проходит через кривую (1.10). Тогда
задача Коши при n = 2 означает отыскание интегральной поверхности
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]