Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения уравнений в частных производных. Учебное пособие
.pdf
71
Данная формула представляет собой разложение функции f () в ряд
Фурье в промежутке [–, ]. Формулы для коэффициентов такого ряда
известны, поэтому мы можем записать
,)(
1
0
−
=
dfA
.sin)(
1
,cos)(
1
,)(
1
0
−
−
−
=
=
=
dnf
R
B
dnf
R
A
dfA
n
n
n
n
Тогда
.)(cos
2
1
)(
1
),(
1
−
=
−
+
= dn
R
r
fru
n
n
Полученный результат можно упростить. Введем новые переменные:
., t
R
r
=−=
Тогда
.
2
1
coscos
2
1
01
−=+
=
= n
n
n
n
ntnt
Рассмотрим ряд
( )
.sincos
000
=
=
=
+=
n
n
n
n
n
n
it
ntinte
Этот ряд сходится при < 1, и его сумма равна
.
cos21
sin
cos21
cos1
cos21
sincos1
sincos1
sincos1
sincos1
1
1
1
222
+−
+
+−
−
=
+−
+−
=
=
+−
+−
−−
=
−
t
t
i
t
t
t
tit
tit
tit
tite
it
72
Отсюда следует, что
.
)cos21(2
1
2
1
cos21
cos1
2
1
cos
2
2
2
0
+−
−
=−
+−
−
=−
=
tt
t
nt
n
n
Возвратившись к старым переменным, окончательно получим
.
)cos(2
)(
2
1
),(
22
22
+−−
−
=
−
d
rRrR
rR
fru
Данное равенство является решением задачи Дирихле для круга. Интеграл в правой части называется интегралом Пуассона.
Пример 4.4. Найти стационарное распределение температуры на
однородной тонкой круглой пластинке радиуса R, верхняя половина которой поддерживается при температуре 1 °С, а нижняя – при температуре 0 °С.
Решение. Из условий задачи следует, что
−
=
.0,1
,0,0
)(f
Тогда распределение температуры выражается интегралом
(4.13)
Пусть точка (r, ) расположена в верхнем полукруге, т. е.
0 < < . Тогда – изменяется в интервале от – до – , и этот
интервале не содержит точек ±. Введем замену:
.
2
tg t=
−
Тогда будем иметь следующие равенства:
,arctg2 t=−
,
1
2
2
t
dt
d+=
).arctg2cos()cos( t=−
73
В последнем равенстве воспользуемся известной формулой
.
tg1
tg1
2cos
2
2
+
−
=
Тогда
.
1
1
arctgtg1
arctgtg1
)arctg2cos(
2
2
2
2
t
t
t
t
t
+
−
=
+
−
=
Пределы интегрирования в (4.13) преобразуются следующим образом:
,
2
ctg
22
tg
2
tg
=
−
=
−
.
2
tg
2
0
tg
−=
−
Подынтегральная функция в (4.13) с учетом f () = 1 при подстановке
cos ( – ) примет следующий вид:
22
)1)((
1
1
2
2222222
222
2
2
2
2
22
trrRrtRrtRR
trR
r
t
t
RrR
rR
=
+++−+
+−
=
+
+
−
−
−
.
)()(
)1)((
22
)1)((
222
222
2222222
222
trRrR
trR
trrRrtRrtRR
trR
++−
+−
=
+++−+
+−
Таким образом, интеграл (4.13) в результате введенной замены будет
преобразован следующим образом:
.
)()(
1
),(
2
ctg
2
tg
222
22
dt
trRrR
rR
ru
−
++−
−
=
Вычислим его:
arctg
1
)()(
1
),(
2
ctg
2
tg
2
ctg
2
tg
222
22
=
−
+
=
++−
−
=
−
−
t
rR
rR
dt
trRrR
rR
ru
.
2
tgarctg
2
ctgarctg
1
arctg
1
)()(
1
),(
2
ctg
2
tg
2
ctg
2
tg
222
22
−
+
+
−
+
=
=
−
+
=
++−
−
=
−
−
rR
rR
rR
rR
t
rR
rR
dt
trRrR
rR
ru
74
Для получения данного результата мы воспользовались формулой
.arctg
1
222
=
+ b
ax
abbxa
dx
Далее сумму арктангенсов можно преобразовать следующим образом:
−
+
+−
−
+
+
−
+
=+
.1,0,
1
arctg
,1,0,
1
arctg
,1,
1
arctg
arctgarctg
Тогда будем иметь для функции u:
.
1
2
tg
2
ctg
arctg
1
1),(
2
−
+
−
+
−
+
+=
rR
rR
rR
rR
ru
При этом сумму тангенса и котангенса в соответствии с известными
формулами можно упростить:
2
cos
2
sin
1
2
cos
2
sin
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin
2
sin
2
cos
2
tg
2
ctg
22
=
=
+
=
+
=
+
,
sin
2
2
2sin
2
2
cos
2
sin
1
2
cos
2
sin
2
sin
2
cos
2
2
22
=
=
=
+
=
в то время как оставшаяся часть аргумента арктангенса в u примет вид
.
4)()(
))((
1
22
22
2
Rr
rR
rRrR
rRrR
rR
rR
rR
rR
−
−
=
+−−
−+
=
−
+
−
−
+
75
Таким образом, для 0 < < решение запишется в виде
.
sin2
arctg
1
1),(
22
−
−=
Rr
rR
ru
Если точка расположена в нижнем полукруге, т. е. < < 2, то
интервал (– , – ) изменения – содержит точку –, но не содер-
жит 0. Введем замену переменных:
.
2
ctg t=
−
Тогда будем иметь следующие равенства:
,arcctg2 t=−
,
1
2
2
t
dt
d
+
−=
.
1
1
)cos(
2
2
+
−
=−
t
t
Рассуждая далее таким же образом, как и в предыдущем случае,
получим следующие выражения:
arctg
1
)()(
1
),(
2
tg
2
ctg
2
tg
2
ctg
222
22
=
+
−
−=
−++
−
−=
−
−
t
rR
rR
dt
trRrR
rR
ru
.
2
ctgarctg
2
tgarctg
1
arctg
1
)()(
1
),(
2
tg
2
ctg
2
tg
2
ctg
222
22
+
−
+
+
−
−=
=
+
−
−=
−++
−
−=
−
−
rR
rR
rR
rR
t
rR
rR
dt
trRrR
rR
ru
Окончательно для < < 2 будем иметь
.
sin2
arctg
1
),(
22
−
−=
Rr
rR
ru
76
4.5 . М е т о д ф у н к ц и и Г р и н а
Рассмотрим формулу Остроградского–Гаусса:
(4.14)
где S – граница области V; Аn = (А, n) – проекция вектора А на направление n; n – единичный вектор внешней нормали к S.
Пусть u = u(x, y, z) и v = v(x, y, z) – две любые дважды дифференцируемые функции, причем
Тогда справедливо
В то же время справедливы равенства
,
откуда
Далее
Рассмотрим отдельно каждое из слагаемых в правой части:
77
).grad,(grad
div)graddiv(
2
2
2
2
2
2
vuvu
z
v
z
u
y
v
y
u
x
v
x
u
z
u
y
u
x
u
u
z
v
u
zy
v
u
yx
v
u
x
z
v
u
y
v
u
x
v
uvu
+=
=
+
+
+
+
+
=
=
+
+
=
=
+
+
= kji
Аналогично
).grad,(grad)graddiv( uvuvuv +=
Таким образом,
Подставим теперь выражения An и div A в (4.9) и получим формулу
Грина:
(4.15)
Обобщим формулу (4.15) на случай, когда область ограничена не
одной, а двумя поверхностями. Пусть область W ограничена снаружи
замкнутой поверхностью S, а изнутри – замкнутой поверхностью S1, лежащей целиком внутри S. Таким образом, W – это часть внутренности
S, внешняя для S1. Тогда формула Остроградского–Гаусса (4.14) запи-
шется в виде
где n1 – единичный вектор внешней нормали к S1, т. е. вектор, направленный внутрь S1 (внутренность S1 не принадлежит W и поэтому является областью, внешней относительно W).
Тогда формула Грина (4.15) примет вид
(4.16)
Возьмем теперь в качестве поверхности S границу Г некоторой области Ω, для которой мы решаем задачу Дирихле, и выберем внутри Г
произвольную фиксированную точку A(x0, y0, z0), которую окружим
78
целиком лежащей внутри Г сферой S1 радиуса ε > 0 с центром в А
(рис. 4.2). Тогда между S1 и Г мы имеем область W. Обозначим через
Р(х, у, z) любую точку области Ω, отличную от А, а через rAP – расстояние между точками А и Р:
.)()()(
2
0
2
0
2
0
zzyyxxr
AP
−+−+−=
Рис. 4.2. Область Ω
Функция
AP
r
w
1
=
является гармонической, т. е. удовлетворяет уравнению
,0=w
во всех точках, кроме самой точки А, в которой она обращается в бесконечность. В самом деле,
,
1
,
3
0
2
0
APAP
r
xx
x
r
rx
w
r
xx
x
r
AP
AP
AP
−
−=
−=
−
=
79
.
)()()(2
3
1
3
1
,
1
,
5
2
0
2
0
2
0
5
0
34
0
32
2
3
0
2
0
AP
APAPAPAP
APAP
r
zzyyxx
r
xx
rx
r
r
xx
rx
w
r
xx
x
r
rx
w
r
xx
x
r
AP
AP
AP
AP
−−−−−
=
=
−
+−=
−
+−=
−
−=
−=
−
=
Аналогичным образом получаем, что
,
)()()(2
5
2
0
2
0
2
0
2
2
AP
r
zzxxyy
y
w −−−−−
=
.
)()()(2
5
2
0
2
0
2
0
2
2
AP
r
yyxxzz
z
w
−−−−−
=
Тогда
.0
2
2
2
2
2
2
=
+
+
z
w
y
w
x
w
Обозначим через w1 решение задачи Дирихле для области Ω с краевым условием
(4.17)
По определению w1 является гармонической во всей области Ω, в то
время как w – гармоническая только в области W, получающейся удалением из области Ω сферы S1. Точка A является центром этой сферы,
и, следовательно, W не содержит эту точку.
Рассмотрим пример. Пусть Ω – это шар радиуса 1 с центром в начале
координат, Г – его граница, точка A совпадает с началом координат, и
В то же время функция, принимающая на Г значения, равные 1, и гармоническая во всем шаре, будет, очевидно, тождественно равна единице:
w1 = 1.
80
Этот результат понятен из физических соображений: если температура
в точках тела не меняется с течением времени, а на границе тела постоянна, то она будет величиной постоянной.
Функции w и w1, вообще говоря, совпадают только на границе Г.
Разность функций (w1 – w) называется функцией Грина для области
Ω и обозначается как
(4.18)
Отметим, что функция Грина зависит как от координат х, у, z текущей
точки Р, так и от координат x0, y0, z0 произвольно выбранной фиксированной точки А (последние входят в w в явном виде и в wI через краевые
значения). В силу условия (4.17), функция Грина на границе Г обращается в нуль:
(4.19)
Пусть теперь u – искомая гармоническая функция в области Ω,
принимающая на границе Г значения
u
~
, а v = G. Воспользуемся фор-
мулой Грина (4.16) для области W, в которой
.0,0 == vu
Тогда правая часть формулы (4.16) обратится в ноль, и мы получим выражение
(4.20)
Рассмотрим каждый из двух интегралов в левой части выражения (4.20). В силу равенства (4.19) и условия
имеем для второго интеграла:
Для вычисления первого интеграла в выражении (4.20) введем
сферическую систему координат с началом в точке A. Тогда для S1:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]