Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения уравнений в частных производных. Учебное пособие
.pdf
21
,),(),(
,),(),(
2
1
Cyxiyx
Cyxiyx
=−
=+
где (x, y) и (x, y) – действительные функции. Замена переменных
имеет вид
).,(
),,(
yx
yx
=
=
После того как введены переменные ξ и η, необходимо выразить
входящие в исходное уравнение частные производные по старым переменным через частные производные по новым переменным. Для этого
необходимо применить правило дифференцирования сложной функции
нескольких переменных.
Запишем соответствующие формулы, например, для первой и второй производных по x.
Первая частная производная от u по x имеет вид
(1.24)
Для того чтобы получить вторую частную производную от u по x,
нужно применить аналогичное правило дифференцирования к правой
части выражения (1.18) с учетом того, что производные
и
явля-
ются сложными функциями:
2
2
2
2
2
x
u
x
u
xx
u
x
u
x
x
u
x
u
xx
u
xx
u
=
+
+
+
=
+
=
=
2
2
x
u
x
u
xx
u
xx
u
=
+
=
=
.
2
2
2
22
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
x
u
xx
u
x
u
x
u
xx
u
x
u
x
u
x
u
xx
u
x
u
x
x
u
x
u
xx
u
xx
u
+
+
+
+
+
=
=
+
+
+
=
=
+
=
=
Упростив это выражение, получим вторую частную производная
от u по x в виде
2
2
2
22
2
2
2
2
2
x
u
xx
u
x
u
x
u
+
+
+
=
.
2
2
2
2
2
2
2
22
2
x
u
x
u
x
u
xx
u
x
+
+
+
+
(1.25)
22
Формула для второй производной от u по y идентична равенству
(1.25), только нужно всюду в нем заменить x на y. Уравнение для сме-
шанной второй производной получается по тем же принципам, что
и формула (1.25), поэтому предоставляем ее вывод читателю в качестве упражнения.
Когда все необходимые частные производные выражены через новые переменные, их следует подставить в исходное уравнение. Если
в полученном равенстве при частных производных присутствуют коэффициенты, записанные в старых переменных, их нужно выразить через
новые переменные, что можно сделать, решив предварительно систему
уравнений
=
=
),(
),,(
yx
yx
относительно x и y. Полученное в итоге равенство и будет каноническим видом исходного уравнения.
Пример 1.9. Привести к каноническому виду уравнение
(1.26)
Решение. Для данного уравнения
.0,,0,
22222
=−−=== yxacbycbxa
Следовательно, мы имеем дело с уравнением гиперболического типа.
Составим для него уравнение характеристик:
,0)()(
2222
=− dxydyx
откуда
,0))(( =−+ ydxxdyydxxdy
и получим два уравнения:
.0,0 =−=+ ydxxdyydxxdy
Решив эти уравнения, найдем их общие интегралы:
23
.lnlnln0
,lnlnln0
22
11
C
x
y
Cxy
x
dx
y
dy
CxyCxy
x
dx
y
dy
==−=−
==+=+
В соответствии с полученными решениями выполним замену переменных:
.,
x
y
xy ==
Теперь нам нужно выразить частные производные по старым переменным x, y через частные производные по новым переменным , .
Для этого можно воспользоваться формулой (1.25). Поскольку в соответствующие выражения будут входить производные от и , рекомен-
дуется вычислить их заранее. В данном случае имеем
.0,
2
,
1
,
,0,0,,
2
2
32
2
2
2
2
2
2
=
=
=
−=
=
=
=
=
yx
y
xxyx
y
x
yx
x
y
y
x
Тогда в соответствии с формулой (1.25)
,22
32
2
4
22
2
2
2
2
2
2
2
+
+
−
=
u
x
yu
x
yu
x
yu
y
x
u
.
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+
+
=
u
x
uu
x
y
u
Подставим теперь эти производные в уравнение (1.26):
22
32
2
4
22
2
2
2
2
22
−
+
+
−
u
x
yu
x
yu
x
yu
yx
.0
1
2
22
2
2
2
2
2
2
22
32
2
4
22
2
2
2
2
22
=
+
+
−
+
+
−
u
x
uu
xy
u
x
yu
x
yu
x
yu
yx
После упрощения данного выражения получим
.024
2
2
=
+
−
u
x
yu
y
24
Теперь осталось избавиться в полученном уравнении от старых переменных, выразив их через новые. Разделим обе части этого уравнения
на (–4y2):
.0
2
1
2
=
−
u
xy
u
Но
xy = ,
и окончательно получаем
.
2
1
2
=
uu
Это и есть канонический вид уравнения (1.26). Он полностью соответствует общему каноническому виду уравнения гиперболического типа
(1.20): в левой части стоит вторая смешанная производная, а в правой
части функция
,
21
=
u
F
которая в данном случае явно зависит от переменной и одной первой
частной производной от u.
Пример 1.10. Привести к каноническому виду уравнение
.0
yyx
sin2
x
sin
2
2
2
2
2
2
2
=
+
−
u
y
u
xy
u
x
Решение. Прежде всего, выясним, к какому именно типу относится данное уравнение:
,,sin,sin
22
ycxybxa =−==
.0sinsin
22222
=−=− xyxyacb
Таким образом, это уравнение параболического типа. Особо отметим,
что в приведенных равенствах коэффициент b записан как
b = –y sin x,
25
а не как
b = –2y sin x.
Ведь в общем виде уравнения второго порядка (1.19) при смешанной
производной указан коэффициент 2b, а не просто b. Невнимательность
к подобным деталям часто является источником ошибок при решении
конкретных задач.
Построим уравнение характеристик:
,0)(sin2)(sin
2222
=++ dxyxdxdyydyx
или, в другой форме,
.0)(sin
2
=+ ydxxdy
Отсюда имеем
.0sin =+ ydxxdy
Разделяем переменные и интегрируем:
.0
sin
=+
x
dx
y
dy
,ln
2
tglnln C
x
y =+
.
2
tg C
x
y =
Уравнение характеристик дало нам только один общий интеграл, как
и должно быть в случае параболического уравнения. Первая функция для
замены переменных в соответствии с этим интегралом будет иметь вид
.
2
tg
x
y=
Функцию можно выбрать произвольно, позаботившись о том, чтобы
для нее выполнялось условие
.0
2
tg
2
sec
2
2
−
=
−
x
x
y
xy
xyyx
.0
2
sec
2
01
2
sec
2
22
=−=
−
xyxy
xyyx
,
2
tg
2
sec
2
1
2
sec
4
1
2
2
2
42
2
2
+
=
uxx
y
ux
y
x
u
,
2
tg2
2
tg
2
22
2
2
2
2
2
+
+
=
uuxux
y
u
.
2
sec
2
1
2
sec
2
1
2
tg
2
sec
2
1
2
2
2
2
2
2
2
+
+
=
uxux
y
uxx
y
yx
u
,0sin
2
secsin
2
tg
2
sec
2
1
2
2
2
222
=
−
+
u
x
x
y
u
y
u
x
xx
y
.sin
2
2
=
u
x
u
y
Выбирать целесообразно наиболее простым из возможных способом,
поэтому положим
Тогда
Таким образом, условие выполнено, и мы действительно можем выбрать указанным способом.
Теперь нужно вычислить входящие в уравнение производные
с учетом сделанной замены переменных. Не станем приводить целиком
соответствующие выкладки в данном примере, так как они довольно
громоздкие, ограничившись конечным результатом:
После подстановки этих производных в исходное уравнение и основных упрощений будем иметь
26
27
При получении последнего равенства мы воспользовались тригонометрической формулой, связывающей синус некоторого аргумента с тангенсом половины этого аргумента:
Эта же формула поможет нам перейти в коэффициентах полученного
уравнения от старых переменных к новым. Из очевидных равенств
==
2
tg,
x
y
имеем
.
2
/1
/2
sin
2222
+
=
+
=x
Таким образом, каноническая форма исходного уравнения окончательно запишется в виде
.
2
222
2
+
=
uu
Нетрудно видеть, что полученное выражение по форме соответствует
общему виду параболических уравнений (1.25), причем
.
2
22
+
=
u
F
Пример 1.11. Пусть дано уравнение
.0
11
2
2
22
2
2
=
+
y
u
yx
u
x
Необходимо привести его к каноническому виду.
Решение. Определим тип данного уравнения:
28
.0
1
22
2
−=−
yx
acb
Таким образом, в данной задаче мы имеем дело с уравнением эллиптического типа. Построим и решим уравнение характеристик:
,
22
2,1
22
C
x
i
y
+=
,
2
2,1
2
ixCy =
откуда окончательно получим
Тогда замена переменных примет следующий вид:
.,
22
xy ==
Вычислим производные от и :
,2,2,0,0
2
2
2
2
=
=
=
=
y
y
yxx
.0,0,2,2
2
2
2
2
=
=
=
=
yyx
x
x
Поскольку в данном примере достаточно простые выражения для производных от функций от и , вместо применения громоздкой фор-
мулы (1.25) можно вычислить все необходимые производные напрямую:
,2
=
u
x
x
u
,4222
2
2
2
2
22
2
2
+
=
+
+
=
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
29
,2
=
u
y
y
u
.4222
2
2
2
2
2
2
2
2
+
=
+
+
=
u
y
u
y
u
y
u
y
u
y
u
Подставим теперь полученные производные в левую часть исходного уравнения, выразив коэффициенты при них через новые переменные:
.
11
2442
1
42
1
2
2
2
2
2
2
2
2
+
+
+
=
+
+
+
uuuuuuuu
Окончательно запишем каноническую форму уравнения в виде
.0
11
2
1
2
2
2
2
=
+
+
+
uuuu
Пример 1.12. Определим тип и приведем к каноническому виду
уравнение колебаний струны (о методах решения данного уравнения
будет рассказано ниже):
(1.27)
Решение. Перепишем данное уравнение в форме
.0),(
1
2
2
2
2
2
=
−
−
txg
x
u
a
t
u
Тогда
.0,,0,1
222
=−−=== aacbacba
Таким образом, уравнение (1.27) относится к гиперболическому типу.
Отметим, что в приведенных выше равенствах не следует путать коэффициент a, стоящий в их левых частях и взятый из общего вида уравнения (1.19), с коэффициентом a2 из уравнения (1.27), стоящим в правых
частях.
30
Составим уравнение характеристик:
Отсюда
,adtdx =
и мы получаем два общих интеграла:
.,
21
CatxCatx =+=−
Тогда замена переменных будет иметь вид
., atxatx +=−=
Выразим вторые производные от u по t и x через новые переменные:
,2
2
22
2
2
2
2
+
+
=
uuu
x
u
.2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+
−
=
u
a
u
a
u
a
t
u
Подставим теперь эти производные в исходное уравнение:
.0),(
1
22
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
−
+
+
−
+
−
G
uuu
a
u
a
u
a
u
a
Здесь учтено, что функция g(x, t) при переходе к новым переменным
была преобразована к некоторой новой функции G(, ). Упрощая вы-
ражение, получим
или, в окончательном виде,
).,(
4
1
2
2
−=
G
a
u
Это и есть канонический вид уравнения колебаний (1.27).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]