Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения уравнений в частных производных. Учебное пособие
.pdf
31
2 . У Р А В Н Е Н И Е К О Л Е Б А Н И Й С Т Р У Н Ы
2 . 1 . П о с т а н о в к а з а д а ч и
Пусть дана натянутая струна, конечные точки которой закреплены. Если вывести струну из положения равновесия, она начнет колебаться. Рассмотрим поперечные колебания, т. е. точки струны будут
двигаться в направлении, перпендикулярном оси, вдоль которой
направлена струна. В каждый момент времени все точки струны будут
лежать в одной плоскости (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Колеблющаяся струна
В процессе колебаний отклонение точек струны от положения равновесия будет характеризоваться величиной u, зависящей от координаты x и времени t. Если зафиксировать конкретный момент времени t,
то график функции u(x, t) покажет форму струны в этот момент. Произ-
водная
дает угловой коэффициент касательной в точке с координа-
той x. Если же зафиксировать координату x, то функция u(x, t) будет
представлять собой закон движения точки с координатой x вдоль пря-
мой, параллельной оси Ou. Производная
есть скорость этого движе-
ния, а
– его ускорение.
Для вывода уравнения колебаний струны вводится ряд упрощающих предположений. Не рассматривая их подробно, отметим только,
что одну из ключевых ролей играет условие малости колебаний и, как
следствие, малости угла . Это условие позволяет существенно
32
упростить математические выкладки (которые в данной работе нами
также не рассматриваются).
Уравнение колебаний струны имеет следующий вид:
(2.1)
где g(x, t) – плотность распределения сил, действующих на струну и па-
раллельных оси Ou; ρ – плотность струны; а2 – положительная константа, выраженная формулой
,
0
2
=
T
a
где T0 – величина силы натяжения T, которая при предположениях,
в которых выводится уравнение (2.1), является постоянной.
Уравнение (2.1) также называется одномерным волновым уравне-
нием. Это неоднородное уравнение в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами, описывающее вынужденные
(вызванные внешними силами) колебания. Если g(x, t) = 0, то уравнение (2.1) является однородным и описывает свободные колебания
струны без воздействия внешних сил.
Если на струну действуют только силы тяжести, а натяжение
T0 велико, слагаемым
можно пренебречь по сравнению с
и рассматривать колебания струны как свободные.
Рассмотрим начальные и краевые условия для задачи колебаний.
Начальные условия дают информацию о том, в каком состоянии находилась струна в момент начала колебаний. Первое из этих условий задает
начальное положение точек струны, а второе – начальную скорость:
(2.2)
Краевые условия говорят о том, как во время колебаний ведут себя
концы струны. Они могут быть разных форм в зависимости от способа
закрепления концов. Например, если концы струны x = 0 и x = l жестко
закреплены, краевые условия имеют вид
(2.3)
33
2 . 2 . М е т о д Д а л а м б е р а д л я б е с к о н е ч н о й с т р у н ы
Рассмотрим частный случай, в рамках которого уравнение колебаний удается решить сравнительно легко. Представим себе очень длинную струну. Если длина достаточно велика, то с некоторой точностью
струну можно считать бесконечной, а влиянием ее концов на колебания, возникающие в ее средней части, можно пренебречь. Следует отметить, что в процессе колебаний по струне влево и вправо бегут волны,
которые, дойдя до концов, отражаются. Таким образом, если мы не учитываем влияние концов струны, то и влияние отраженных волн мы
также не учитываем. Отметим также отсутствие в этой задаче краевых
условий для u(x, t): мы и не можем их поставить, так как струна считается бесконечной.
Рассмотрим свободные колебания. Необходимо решить уравнение
(2.4)
при начальных условиях, заданных в виде
(2.5)
где f (x) и F(x) – заданные функции.
Задача (2.4), (2.5) является задачей Коши. Ее можно решить с помощью метода Даламбера, который называется также методом бегу-
щих волн.
Уравнению (2.1) удовлетворяет функция
(2.6)
где и предполагаются дважды дифференцируемыми. Тогда после
подстановки в (2.4) получаем тождество
)).()(()()(
222
atxatxaatxaatxa +
+−
+
+−
Определим функции и , воспользовавшись начальными условиями.
Пусть t = 0. Тогда
),()()0,(
),()()0,(
xaxaxu
xxxu
t
+
−=
+=
34
Первое из условий (2.5), таким образом, даст нам выражение
),()()( xfxx =+
а второе – выражение
).()()( xFxaxa =
+
−
Проинтегрируем последнее равенство в пределах от 0 до x:
,)()]0()([)]0()([
0
=−+−−
x
dFxaxa
откуда получим
,)(
1
)()(
0
CdF
a
xx
x
+=+−
где
).0()0( +−=C
Таким образом, для определения функций и имеем следующую систему уравнений:
),()()( xfxx =+
,)(
1
)()(
0
CdF
a
xx
x
+=+−
решая которую, получим
.
2
)(
2
1
)(
2
1
)(
,
2
)(
2
1
)(
2
1
)(
0
0
C
dF
a
xfx
C
dF
a
xfx
x
x
++=
−−=
Заменив в этих формулах аргумент x соответственно на x – at и x + at,
подставим полученные таким образом функции в решение (2.6):
35
.)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
),(
00
+−
+++−−=
atxatx
dF
a
atxfdF
a
atxftxu
При этом справедливо равенство
,)()()()()(
0
0
00
+
−
+
−
+−
=+=+−
atx
atx
atx
atx
atxatx
dFdFdFdFdF
используя которое, окончательно получим
(2.7)
Проверим, что функция (2.7) действительно удовлетворяет уравнению (2.4) и условиям (2.5). Для этого воспользуемся формулой
)()( xfdf
dx
d
x
=
и учтем, что в нашем случае переменный предел интеграла является
сложной функцией. Тогда
),()(
0
atxFdF
x
atx
+=
+
),()(
0
atxFdF
x
atx
−=
−
),()(
0
atxaFdF
t
atx
+=
+
).()(
0
atxaFdF
t
atx
−−=
−
Представим функцию (2.7) в виде
36
+−
+−
++−
=
atxatx
dF
a
dF
a
atxfatxf
txu
00
)(
2
1
)(
2
1
2
)()(
),(
и дважды продифференцируем ее по x и по t:
,
2
)()(
2
)()(
a
atxFatxFatxfatxf
x
u
−−+
+
+
+−
=
,
2
)()(
2
))()(
,
2
)()(
2
)()(
atxFatxFatxfaatxfa
t
u
a
atxFatxFatxfatxf
x
u
−++
+
+
+−
−
=
−−+
+
+
+−
=
,
2
)()(
2
)()(
2
2
a
atxFatxFatxfatxf
x
u
−
−+
+
+
+−
=
.
2
))()((
2
))()((
,
2
)()(
2
)()(
2
2
2
2
2
atxFatxFaatxfatxfa
t
u
a
atxFatxFatxfatxf
x
u
−
−+
+
+
+−
=
−
−+
+
+
+−
=
Подставив эти производные в уравнение (2.4), получим тождество.
Положим теперь t = 0 и убедимся, что функция (2.7) удовлетворяет
условиям (2.5):
),()(
2
1
2
)()(
0
xfdxxF
a
xfxf
u
x
x
t
=+
+
=
=
).()(
2
1
)(
2
1
2
)()(
0
xFxFxF
xfaxfa
t
u
t
=++
+
−
=
=
Формула (2.7) называется решением Даламбера задачи Коши для
уравнения колебаний струны. Как можно видеть из этой формулы, для
получения решения задачи (2.4), (2.5) методом Даламбера фактически
необходимо только знание функций из начальных условий (2.5) и коэффициента a из уравнения (2.4).
Пример 2.1. Найти решение задачи Коши для уравнения
2
2
2
2
x
u
t
u
=
и начальных условий
37
.0,
2
0
=
=
=
=
ot
t
t
u
xu
Решение. По виду уравнения мы определяем, что в данном случае
a = 1. Из начальных условий имеем
.0)(,)(
2
== xFxxf
Подставим эти значения в формулу (2.7) и сразу получим решение:
.0
2
)()(
),(
22
22
tx
txtx
txu +=+
++−
=
Пример 2.2. Покажем, как, используя метод Даламбера, можно
определить форму колеблющейся струны в любой момент времени.
Пусть дано уравнение
,
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
=
с начальными условиями
.1,sin
0
0
=
=
==t
t
t
u
xu
Требуется определить форму струны в момент времени
.
2a
t
=
Решение. Согласно формуле (2.7),
+
−
+
−−+
=
atx
atx
dx
a
atxatx
u 1
2
1
2
)sin()sin(
.
Воспользовавшись известной тригонометрической формулой, будем
иметь
,sincoscossin)sin( =
38
( )
( )
.cossin
2
1
sincoscossinsincoscossin
2
1
tatxatxatx
a
atxatxatxatxu
+=+−++
+++−=
Подставим теперь в полученный результат требуемое условиями задачи значение t:
.
222
cossin
2 aa
x
a
u
=
+
=
Таким образом, струна при данной постановке задачи параллельна оси
абсцисс при значении
.
2a
u
=
2.3 . М е т о д Ф у р ь е
Рассмотрим еще один метод решения уравнения колебаний. Пусть
поставлена задача о свободных колебаниях струны, чьи концы жестко
закреплены. Требуется найти решение уравнения
(2.8)
которое будет удовлетворять начальным условиям
(2.9)
и краевым условиям
(2.10)
Для решения этой задачи можно воспользоваться методом Фурье, или
методом разделения переменных. Такое название он имеет потому, что
решение задачи в нем предлагается искать в виде произведения двух
функций
39
(2.11)
каждая из которых зависит только от одной переменной. Необходимо,
чтобы решение удовлетворяло начальным и краевым условиям. Найдем
для формулы (2.11) выражения вторых производных по x и по t:
″
″
и подставим их в уравнение (2.8):
″″
Разделим обе части данного уравнения на a2XT:
″
″
(2.12)
Поскольку функция (2.11), как мы предполагаем, является решением
уравнения (2.8), равенство (2.12) должно соблюдаться для любых значений x и t. Его левая часть зависит только от переменной t, и это означает, что изменение x не будет оказывать на нее влияния. Если зафикси-
ровать t и менять x, то левая часть (а значит, и правая) будет сохранять
постоянное значение. Аналогично правая часть зависит только от x и не
может меняться при изменении t. Таким образом, приходим к выводу,
что обе части равенства (2.12) являются постоянными величинами:
.const
)(
)(
)(
)(1
2
==
=
c
xX
xX
tT
tT
a
Следовательно, функции T и X должны удовлетворять уравнениям
.0)()(
,0)()(
2
=−
=−
tTcatT
xcXxX
Нам нужно отыскать частные решения, удовлетворяющие краевым
условиям (2.10). Тогда для любого t должны соблюдаться равенства
.0)()(
,0)()0(
0
==
==
=
=
tTlXu
tTXu
lx
x
40
Если в этих выражениях выполняется T(t) = 0, то при всех значениях x
и t будем иметь
u(x, t) = 0.
Но нас интересуют решения, не тождественно равные 0, поэтому полагаем
.0)(,0)0( == lXX
Таким образом, для отыскания функции X(x) приходим к следующему
уравнению:
″ (2.13)
при условиях
.0)()0( == lXX
(2.14)
Данная задача при любом значении c имеет решение X(x) = 0. Однако
при некоторых значениях c возможны и другие решения.
Пусть выполняется
.)(
rx
exX =
Подставим эту функцию в (2.13) и получим
.0
2
=− cr
Это характеристическое уравнение равенства (2.13). Рассмотрим следующие случаи:
1) Пусть
c = λ2 > 0.
Тогда корни характеристического уравнения действительны и
r = λ.
Общее решение уравнения (2.13) имеет вид
.)(
21
xx
eCeCxX
−
+=
Удовлетворяя условиям (2.14), придем к системе уравнений
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]