Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения уравнений в частных производных. Учебное пособие
.pdf
81
Равенство (4.20), таким образом, запишется в виде
Изучим, как это равенство будет вести себя при стремлении ε к 0.
Его правая часть от ε не зависит, поэтому при переходе в левой части к
пределу при ε → 0 равенство сохранится:
(4.21)
Согласно формуле (4.19),
и для интеграла в левой части равенства (4.21) получим
sin
2
0 0
2
=
=
−
d
r
u
G
r
G
ud
r
sin
sin
2
0 0
1
1
2
2
0 0
=
=
+
−
=
=
−
d
r
u
w
r
w
ud
d
r
u
G
r
G
ud
r
r
(4.22)
.sin
11
sin
sin
2
0 0
2
2
0 0
1
1
2
2
0 0
2
=
=
=
+
−+
+
−
=
=
−
d
r
u
rrr
ud
d
r
u
w
r
w
ud
d
r
u
G
r
G
ud
r
r
r
Функции u и w1 являются гармоническими во всей области Ω, включая
точку A, поэтому вместе со своими производными они ограничены
(оставим данный факт без доказательства). Тогда будем иметь для первого интеграла в правой части (4.22):
.0sinlim
2
0 0
1
1
2
0
=
−
=
→
d
r
u
w
r
w
ud
r
Рассмотрим второй интеграл в правой части (4.22). Прежде всего,
отметим, что
.sinlimsin
1
lim
2
0 0
0
2
0 0
2
0
=
→
=
→
=
− dudd
rr
ud
r
r
.lim
0
0
=
=
→
=
r
r
uu
.4sin
0
2
0 0
0 =
=
=
rr
uddu
r
u
.0sinlimsin
1
lim
2
0 0
0
2
0 0
2
0
=
=
=
→
=
→
d
r
u
dd
r
u
r
d
r
r
),,,(44sinlim
000
2
0 0
0
2
0
zyxuud
r
u
G
r
G
ud
r
r
==
−
=
=
→
Тогда
Функция u непрерывна, поэтому
Тогда, считая возможным переход к пределу под знаком интеграла, получим
В силу ограниченности
Таким образом, имеем
и формула (4.16) принимает вид
(4.23)
Мы получили значение искомой функции u в произвольной точке A области Ω. Таким образом, если известна функция Грина G, то решение
задачи Дирихле в пространстве может быть получено по формуле (4.23).
82
З А К Л Ю Ч Е Н И Е
Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Они возникают при решении самых разнообразных задач, которые встречаются практически во всех областях естествознания и являются основным математическим инструментом моделирования и анализа разнообразных явлений и процессов в науке и технике. Поэтому
важность теоретических и практических разделов этой области высшей
математики имеет ключевое значение для исследования явлений и процессов окружающей нас действительности.
И хотя современные компьютерные технологии позволяют
с хорошей точностью проводить приближенные вычисления для
многих прикладных проблем, умение самостоятельно ставить, классифицировать и решать задачи является неотъемлемым свойством
квалифицированного специалиста в различных областях народного
хозяйства.
Предлагаемое учебное пособие не претендует на всеобъемлющий
охват всего многообразия видов дифференциальных уравнений в частных производных, а также методов их решения. В то же время автор
надеется, что, руководствуясь представленным им материалом, обучающиеся смогут овладеть рядом важных практических приемов и создать для себя необходимый задел для дальнейшего самостоятельного
исследования в данной области.
83
С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1. Абанина, Т. И. Математика: справочник для студентов вузов,
техникумов, колледжей / Т. И. Абанина. – Ростов-на-Дону: Феникс,
2014. – 376 с.
2. Араманович, И. Г. Уравнения математической физики /
И. Г. Араманович, В. И. Левин. – Москва: Наука, 1969. – 288 c.
3. Бермант, А. Ф. Краткий курс математического анализа для вту-
зов / А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович. – Москва: Наука, 1967. – 736 с.
4. Берс, Л. Уравнения с частными производными / Л. Берс,
Ф. Джон, М. Шехтер. – Москва: Мир, 1966. – 350 с.
5. Будак, М. М. Сборник задач по математической физике / М. М. Бу-
дак, А. А. Самарский, А.Н. Тихонов. – Москва: Наука, 1979. – 685 с.
6. Владимиров, B. C. Уравнения математической физики: учебник
для вузов / B. C. Владимиров, В. В. Жаринов. – Москва: Физматлит,
2004. – 400 с.
7. Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике /
М. Я. Выгодский. – Москва: ACT, 2019. – 704 с.
8. Годунов, С. К. Уравнения математической физики / С. К. Году-
нов. – Москва: Наука, 1979. – 392 с.
9. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах:
учебное пособие для студ. втузов: в 2 ч. Ч. 2 / П. Е. Данко, А. Г. Попов,
Т. Я. Кожевников. – Mосква: Высш. шк., 2003. – 416 с.
10. Егоров, Д. Л. Дифференциальные уравнения: учебное посо-
бие / Д. Л. Егоров. – Казань: Изд-во КНИТУ, 2020. – 108 с.
11. Егоров, Д. Л. Уравнения математической физики: учебное по-
собие / Д. Л. Егоров. – Казань: Изд-во КНИТУ, 2021. – 112 с.
12. Зайцев, В. Ф. Метод разделения переменных в математической
физике / В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. – Санкт-Петербург: Книжный
Дом, 2009. – 92 с.
13. Зоммерфельд, А. Дифференциальные уравнения в частных
производных физики / А. Зоммерфельд. – Москва: Иностр. лит-ра,
1950. – 460 с.
14. Камке, Э. Справочник по дифференциальным уравнениям
в частных производных первого порядка / Э. Камке. – Москва: Наука,
1966. – 260 с.
84
15. Кошляков, Н. С. Уравнения в частных производных математи-
ческой физики / Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. –
Москва: Высш. шк., 1970. –710 с.
16. Курош, А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. – Москва:
Наука, 1968. – 431 с.
17. Сборник задач по высшей математике. 2 курс / К. Н. Лунгу,
В. П. Норин, Д. Т. Письменный, Ю. А. Шевченко. – Москва: Айриспресс, 2004. – 592 с.
18. Михайлов, В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных / В. П. Михайлов. – Москва: Наука, 1976. – 391 с.
19. Мышкис, А. Д. Лекции по высшей математике / А. Д. Мышкис. – Санкт-Петербург: Лань, 2007. – 688 с.
20. Полянин, А. Д. Лекции по нелинейным уравнениям математической физики / А. Д. Полянин. – Москва: ИПМех РАН, 2023. – 256 с.
21. Сабитов, К. Б. Уравнения математической физики: учебник /
К. Б. Сабитов. – Москва: Физматлит, 2013. – 352 с.
22. Салехова, И. Г. Методическое пособие для проведения практи-
И. Г. Салехова, С. Г. Аблаева. – Казань: Изд-во КФУ, 2010. – 149 с.
23. Сахарова, Л. В. Уравнения математической физики: учебное
пособие / Л. В. Сахарова, М. Б. Стрюков. – Ростов-на-Дону: Изд-во
РГЭУ (РИНХ), 2018. – 104 с.
24. Смирнов, М. М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка / М. М. Смирнов. – Москва: Наука, 1964. –
104 с.
25. Смирнов, М. М. Задачи по уравнениям математической фи-
зики / М. М. Смирнов. – Москва: Наука, 1975. – 127 с.
26. Соболев, С. Л. Уравнения математической физики / С. Л. Со-
болев. – Москва: Рипол Классик, 2013. – 450 с.
27. Тихонов, А. Н. Дифференциальные уравнения / А. Н. Тихонов,
А. Б. Васильева, А. Г. Свешников. – 4-е изд. – Москва: Физматлит,
2005. – 256 с.
28. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Ти-
хонов, А. А. Самарский. – Москва: Наука, 1988. – 512 с.
85
29. Филиппенко, В. И. Уравнения математической физики /
В. И. Филиппенко, И. Д. Михайлова. – Шахты: Южно-Российский гос.
ун-т экономики и сервиса, 2002. – 45 с.
30. Шерстнев, А. Н. Конспект лекций по математическому анализу / А. Н. Шерстнев. – Казань: Казанское математическое общество,
2009. – 374 с.
31. Эльсгольц, Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариацион-
ное исчисление / Л. Э. Эльсгольц. – Москва: Наука, 1969. – 424 с.
86
УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ
Даниил Леонидович Егоров
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ
Редактор Е. И. Шевченко
Компьютерная верстка и макет – А. К. Рахманкулова
87
Подписано в печать 28.05.2024
Формат 6084 1/16
Бумага офсетная
Печать цифровая
5,11 усл. печ. л.
5,5 уч.-изд. л.
Тираж 400 экз.
Заказ 21/24
Издательство Казанского национального исследовательского
технологического университета
Отпечатано в офсетной лаборатории Казанского национального
исследовательского технологического университета
420015, Казань, К. Маркса, 68
88
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]