Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения уравнений в частных производных. Учебное пособие
.pdf
51
=
c
k
a
и называется коэффициентом температуропроводности.
Функция g(x, t) характеризует влияние тепловых источников
внутри стержня, т. е. ситуацию, когда в некоторых его участках может
возникать или поглощаться тепло. Она выражается формулой
),,(
1
),( txF
Sc
txg
=
где F(x, t) – плотность тепловых источников; c – удельная теплоемкость; ρ – плотность; S – площадь поперечного сечения стержня.
Если g(x, t) = 0, то уравнение (3.1) соответствует задаче линейной
теплопроводности без учета тепловых источников:
(3.2)
Начальное условие для уравнения теплопроводности задает температуру во всех точках стержня в начальный момент времени:
).(
0
xfu
t
=
=
(3.3)
Краевые условия должны выполняться там, где стержень может
иметь теплообмен с окружающей средой, т. е. на торцевых сечениях.
В простейшем случае концы стержня поддерживаются при постоянной
температуре:
(3.4)
где и
– заданные числа.
Более общим является случай, когда на торцевых сечениях происходит теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона–Рихмана.
Согласно этому закону, поток тепла через единицу поверхности в единицу времени пропорционален разности температур тела и окружающей среды:
),
~
( uuh −
где u – температура конца стержня;
u
~
– температура окружающей
среды; h – коэффициент теплообмена (коэффициент внешней
52
теплопроводности), зависящий от физических свойств стержня
и среды (будем считать, что h = const).
Соответствующие краевые условия имеют вид
(3.5)
Краевые условия (3.4) являются частным случаем краевых условий (3.5)
при очень больших значениях коэффициентов теплообмена, т. е. в си-
туации, когда h → .
Стоит отметить, что задача диффузии в тонкой трубке с непроницаемой стенкой сводится к уравнению, совпадающему по форме с уравнением (3.2):
,
где функция c характеризует концентрацию диффундирующего вещества, а D > 0 – коэффициент диффузии.
Начальное условие для данной задачи имеет вид
),(
0
xfc
t
=
=
а краевые условия – вид
или
Каждое из них может действовать как на одном, так и на обоих концах
трубки.
Напомним, что диффузия – это неравновесный процесс перемеще-
ния вещества из области с высокой концентрацией в область с низкой
концентрацией, приводящий к самопроизвольному выравниванию концентраций по всему занимаемому объему. Этот процесс имеет сходство
с процессом распространения тепла, поэтому соответствующие уравнения совпадают по форме.
Таким образом, линейная задача диффузии может быть решена
при помощи методов, используемых для решения задачи линейной теплопроводности, только функцию u следует заменить на c, а коэффици-
ент a – на
.
3 . 2 . М е т о д ы р е ш е н и я з а д а ч и л и н е й н о й
)(|
0
xfu
t==
).(|
0tux==
−
+
+−
=
−−−
+−−−
t
tax
taxtax
dte
ta
deef
ta
txu
0
2/3))(4/(
0
)4/()()4/()(
.)()(
2
1
))((
2
1
),(
22
2222
(3.8)
т е п л о п р о в о д н о с т и
Рассмотрим формулы, позволяющие получить решение задачи
Коши для уравнения теплопроводности. Пусть уравнение дано без
учета тепловых источников:
(3.6)
Рассмотрим задачу Коши для трех случаев.
1) Неограниченный стержень. Имеется только начальное условие
При данном условии решение уравнения (3.11) дается выражением
(3.7)
Формула (3.7) называется интегралом Пуассона.
2) Стержень ограничен с одной стороны. Имеется начальное
условие
и одно краевое условие
Решение задачи дается формулой
53
54
3) Стержень ограничен с обоих концов. Имеется начальное условие
)(|
0
xfu
t
=
=
и краевые условия двух возможных видов:
(3.9)
или
(3.10)
Решение уравнения (3.6) для краевых условий (3.9) записывается в виде
ряда
,sin),(
1
)/(
2
=
−
=
k
tlak
k
l
xk
ebtxu
где коэффициент bk имеет вид
.sin)(
2
0
=
l
k
dx
l
xk
xf
l
b
Решение уравнения (3.6) для краевых условий (3.10) записывается
в виде ряда
,cos),(
1
0
)/(
2
=
−
+
=
k
tlak
k
a
l
xk
eatxu
в котором соответствующие коэффициенты имеют вид
,cos)(
2
0
=
l
k
dx
l
xk
xf
l
a
.)(
1
,cos)(
2
1
0
0
=
=
l
l
k
dxxf
l
a
dx
l
xk
xf
l
a
55
В ряде случаев решение задачи для бесконечного и полубесконечного стержня могут быть выражены через функцию Лапласа (также ее
называют интегралом вероятностей и функцией ошибок):
(3.11)
Иногда используется также другая форма этой функции:
(3.12)
Интеграл (3.12) называется нормированной функцией Лапласа. Между
равенствами (3.11) и (3.12) существует связь:
.
2
2
1
)(
=
x
x
Пример 3.1. Решить уравнение (3.6) для следующего начального
распределения температуры в стержне:
при
прии
Решение. Характер наложенных на функцию u условий позволяет
сделать вывод о виде стержня и выбрать соответствующий метод решения. В данном случае стержень является бесконечным, и решение поставленной задачи выполняется по формуле (3.7). Функция f (x) равна постоянной температуре u0 в интервале [x1, x2], а за пределами его f (x) = 0.
С учетом этого решение запишется в виде
Выразим его через функцию Лапласа. Для этого выполним замены:
,
2
=
−
ta
x
56
Тогда
.),(
2
0
0
2
0
0
2
2
0
2
2
1
2
2
1
2
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−=
ta
xx
ta
xx
ta
xx
ta
xx
de
u
de
u
de
u
txu
Это выражение приводит нас к окончательному результату в виде
.
22
2
),(
21
0
−
−
−
=
ta
xx
ta
xx
u
txu
Таким образом, решение уравнения было выражено через известную
функцию – функцию Лапласа.
Пример 3.2. Решить уравнение
при начальном условии
и краевом условии
Решение. Согласно характеру условия задачи, в данном примере
речь идет о полубесконечном стержне, т. е. стержне, ограниченном с одной стороны. Это соответствует второму из рассмотренных выше случаев. Решение может быть получено по формуле (3.8) с учетом того, что
,0)(,1 == ta
откуда следует, что второй интеграл в формуле (3.8) будет равен нулю:
(3.13)
57
Как и в предыдущем примере, выразим данное решение через
функцию Лапласа. Введем замену:
,
2
=
−
t
x
.2 −= dtd
Тогда с учетом Гауссова интеграла, имеющего вид
,
2
=
+
−
−
dxe
x
первый интеграл преобразуется к виду
.
2
1
2
22
0
)2/(
0
0
)4/()(
0
22
+=
=
−
−
−−
t
x
u
de
u
de
t
u
tx
tx
Аналогичным образом преобразуем второй интеграл, введя замену:
Будем иметь
.
2
1
2
2
0
)2/(
0
0
)4/()(
0
22
−=
=
+
−
+−
t
x
u
de
u
de
t
u
tx
tx
После подстановки полученных результатов в формулу (3.13) окончательное решение задачи запишется в виде
.
22
1
2
2
1
2
),(
0
00
=
−−
+=
t
x
u
t
x
u
t
x
u
txu
Пример 3.3. Требуется решить уравнение (3.6) при начальных
условиях, заданных функцией
58
при
при
и краевых условиях
Решение. Согласно условиям задачи, мы имеем дело со стержнем,
который закреплен с обоих концов, что соответствует третьему случаю,
причем краевые условия для него имеют вид (3.9). Соответственно, мы
должны вычислить bk:
100
sin
5
1
100
2
sin)(
2
25
00
+
=
=
dx
xk
xdx
l
xk
xf
l
b
l
k
.
100
sin
15
100
100
2
100
sin
5
1
100
2
sin)(
2
100
25
25
00
−
+
=
dx
xkx
dx
xk
xdx
l
xk
xf
l
l
Входящие в данное выражение интегралы берутся с помощью формулы
интегрирования по частям. Для первого интеграла:
,
100
cos
100
,
100
sin,,
xk
k
vdx
xk
dvdxduxu
−=
===
100
cos
100
100
cos
100
100
sin
25
0
25
0
25
0
=
+
−=
dx
xk
k
xk
x
k
dx
xk
x
100
sin
100
100
25
cos
2500
100
cos
100
100
cos
100
25
0
2
25
0
25
0
=
+
−=
=
+
−=
xk
k
k
k
dx
xk
k
xk
x
k
dx
xk
.
4
sin
100
4
cos
2500
100
sin
100
100
25
cos
2500
100
cos
100
100
cos
100
2
25
0
2
25
0
25
0
+
−=
=
+
=
+
−=
k
k
k
k
xk
k
k
k
dx
xk
k
xk
x
k
dx
Для второго интеграла будем иметь
,
100
cos
100
,
100
sin,,100
xk
k
vdx
xk
dvdxduxu
−=
=−=−=
.
4
sin
100
4
cos
7500
4
sin
100
sin
100
4
cos
7500
100
cos
100
100
cos
)100(100
100
sin
15
100
222
100
25
100
25
100
25
+
=
+
−
=
=
−
−
−=
−
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
dx
xk
k
xk
k
x
dx
xkx
Тогда коэффициент bk запишется в виде
4
sin
100
4
cos
2500
250
1
2
+
+
−=
k
k
k
k
b
k
,
4
sin
3
160
4
sin
100
4
cos
7500
750
1
4
sin
100
4
cos
2500
250
1
22
2
2
=
+
+
+
+
−=
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
b
k
.
100
sin
4
sin
1
3
160
),(
1
100
22
2
=
−
=
k
t
ak
xk
e
k
k
txu
а решение задачи будет представлено в виде ряда
59
4 . З А Д А Ч А Д И Р И Х Л Е
.2
,2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
y
u
y
r
r
u
y
u
yy
r
r
u
y
r
r
u
y
u
x
u
x
r
r
u
x
u
xx
r
r
u
x
r
r
u
x
u
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
4 . 1 . О п е р а т о р Л а п л а с а
Оператор Лапласа (обозначается как Δ) – это важный дифференциальный оператор, выражения которого в разных системах координат
понадобятся нам в дальнейшем. Результат применения данного оператора к функции u = u(x, y, z) в декартовых координатах дается формулой
,
(4.1)
которая представляет собой трехмерный оператор Лапласа. Соответственно, выражение
(4.2)
представляет собой формулу для двумерного оператора Лапласа, примененного к функции двух переменных u = u(x, y).
Рассмотрим двумерный оператор Лапласа в полярных координатах. Полярные координаты связаны с декартовыми выражениями
x = r cosϕ, y = r sinϕ. (4.3)
Подставив в u(x, y) выражения (4.3), получим новую функцию
u(r cos , r sin ), зависящую от переменных r и . Теперь нам нужно
выразить вторые производные от u по x и по y через новые переменные
r и . Для этого воспользуемся формулой (1.23):
(4.4)
Таким образом, вначале нам нужно выразить r и через перемен-
ные x и y, а также вычислить их соответствующие производные.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]