Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения уравнений в частных производных. Учебное пособие
.pdf
11
u = u(x1, x2) уравнения (1.11), проходящей через заданную начальную
кривую (1.10).
Еще один вид условий, накладываемых на решение, – это краевые
условия (их также называют граничными условиями). Если начальные
условия (с физической точки зрения) задают поведение решения
в начальный момент времени, то краевые условия задают его поведение
на границе рассматриваемой области (например, это может быть граничная поверхность трехмерного тела, концы стержня и т. д.).
Для уравнений в частных производных первого порядка
вида (1.7) может быть проведена классификация. Введем следующие
обозначения:
n
n
x
u
p
x
u
p
x
u
p
=
=
= ...,,
2
2
1
1
и будем считать, что функция F(x, u, p) дифференцируема по переменным p1, p2,…, pn на некотором открытом множестве G пространства переменных x, u, p, причем на этом множестве выполняется
.0
2
1
=ni
i
p
F
Вообще говоря, уравнение (1.7) является нелинейным. При некоторых условиях возможны следующие частные случаи:
1) Функция F(x, u, p) является линейной относительно переменных
p1, p2,…, pn. Тогда уравнение называется квазилинейным и имеет вид
2) Если в предыдущем уравнении коэффициенты ai не зависят
от u, т. е.
ai = ai(x),
то уравнение называется полулинейным и имеет вид
12
3) Если в предыдущем уравнении функция b(x, u) является линей-
ной функцией относительно u, то уравнение называется линейным
и имеет вид
1 . 2 . П р о с т е й ш и е у р а в н е н и я в ч а с т н ы х
п р о и з в о д н ы х
В простейшем случае решение уравнения в частных производных
может быть получено последовательным интегрированием его правой
части. Рассмотрим несколько примеров, предполагая, что неизвестная
функция зависит от двух переменных:
).,( yxuu =
Пример 1.3. Решить уравнение первого порядка:
.
2
x
x
u
=
Решение. Решение дается однократным интегрированием с учетом
появления неизвестной произвольной функции, зависящей от y:
).(
3
3
y
x
u +=
Аналогичным образом можно решить и подобные уравнения высших порядков.
Пример 1.4. Решить уравнение
.
3
3
x
x
u
=
Решение. Трижды проинтегрируем правую часть уравнения, не забывая о произвольных функциях, которые при этом возникнут:
13
),(
2
2
2
2
y
x
x
u
+=
),()(
6
3
yyx
x
x
u
++=
).()()(
224
24
yyxy
xx
u +++=
Исходное уравнение имело третий порядок, и его общее решение содержит, соответственно, три произвольные функции.
Пример 1.5. Решить уравнение второго порядка
(1.13)
Решение. Введем обозначение
Тогда левая часть уравнения (1.13) будет записана в виде
Решением уравнения
как мы уже знаем, является произвольная функция, зависящая от y:
v = f(y).
Вернемся к функции u и получим уравнение
14
Проинтегрировав его, получим общее решение уравнения (1.13) в следующем виде:
Поскольку интеграл от произвольной функции является произвольной
функцией, последнее равенство можно переписать так:
),()(),( xyyxu +=
где
.)()( dyyfy
Пример 1.6. Решить уравнение четвертого порядка
.
22
4
xy
yx
u
=
Решение. Проведем интегрирование по переменной x. Получим
следующие равенства:
),(
2
2
2
3
y
yx
yx
u
+=
).()(
6
3
2
2
yyx
yx
y
u
++=
На этом этапе мы получили две произвольных функции, зависящие
от y. Проведем теперь интегрирование по переменной y:
),()()(
12
23
xdyydyyx
yx
y
u
+++=
).()()()(
36
33
xxydydyydydyyx
yx
u ++++=
Последнее равенство и будет общим решением исходного уравнения. Поскольку интеграл от произвольной функции представляет собой также
произвольную функцию, решение можно окончательно записать в виде
15
),()()()(
36
11
33
xxyyyx
yx
u ++++=
где через 1 и 1 обозначены соответствующие интегралы.
1 . 3 . У р а в н е н и я п е р в о г о п о р я д к а , л и н е й н ы е
о т н о с и т е л ь н о ч а с т н ы х п р о и з в о д н ы х
В качестве еще одного примера рассмотрим дифференциальные
уравнения первого порядка, линейные относительно частных производных. Такие уравнения имеют вид
, (1.14)
где X, Y и U являются в общем случае функциями, зависящими от пере-
менных x, y, u.
Для решения уравнений такого вида вначале строится система
обыкновенных дифференциальных уравнений
(1.15)
Эта запись эквивалентна следующей:
Пусть следующие равенства определяют решения данной системы:
.),,(
,),,(
22
11
Cuyx
Cuyx
=
=
Тогда решение уравнения (1.14), называемое его общим интегралом,
запишется в виде
,0),(
21
=
где
),(21
– произвольная непрерывно дифференцируемая функция.
Общий интеграл может быть записан также в форме
16
),(
21
=
где – вновь некоторая произвольная функция.
Пример 1.7. Пусть дано уравнение
(1.16)
Требуется найти поверхность, удовлетворяющую этому уравнению
и проходящую через окружность
x
2
+ y2 = 16, u = 3. (1.17)
Решение. Построим для уравнения (1.16) систему (1.17):
,
2xy
du
xu
dy
yu
dx
−==
откуда получим два уравнения
.2, uduxdxydyxdx −==
Решая их, находим
Тогда общий интеграл уравнения (1.10) запишется в виде равенства
,0
2
,
2
222
=
+−
u
xyx
или, что эквивалентно, в виде
(1.18)
Теперь, удовлетворяя условиям задачи, нам необходимо выделить
из семейства поверхностей, определяемых уравнением (1.18), конкретную поверхность, проходящую через окружность (1.17). Так мы опре-
делим вид функции .
17
В соответствии с условиями (1.17) подставим в (1.18) равенства
Тогда получим
( )
.216
2
9
16
22
yy −=+−
Сделаем замену переменных
2
216 yt −=
и выразим y2:
.
2
8
2
t
y −=
Это приведет нас к равенству
.
2
25
)(+=tt
Мы получили формальное выражение функции , справедливое для
любого значения переменной t. Выберем теперь
22
yxt −=
и получим выражение функции (x2 – y2), входящей в общий интеграл
(1.18):
.
2
25
)(
22
22
+−
=−
yx
yx
Подставляя его в (1.18), получим
,
2
25
2
222
2
+−
=+
yxu
x
откуда окончательно находим
.25
222
=++ uyx
18
Таким образом, поверхность, удовлетворяющая уравнению (1.16)
и проходящая через окружность (1.17), представляет собой сферу.
Пример 1.8. Пусть дано уравнение
.4
11
=
+
y
u
yx
u
x
Нужно определить поверхность, которая удовлетворяет ему и, кроме
того, проходит через параболу
.0,
2
== xuy
Решение. Построим систему (1.14):
.
4
1
duydxxdx ==
Ее решения имеют вид
Таким образом, общий интеграл рассматриваемого уравнения можно
записать в виде
).(2
222
yxxu −+=
Подставим теперь в это равенство значения y2 = u, x = 0:
.)(),(0 uuuu =−−+=
Выберем интересующее нас значение аргумента для функции :
.
22
yxu −=−
Тогда функция выразится следующим образом:
,)(
2222
xyyx −=−
и из общего интеграла
.2
22222
yxxyxu +=−+=
Таким образом, искомой поверхностью является параболоид вращения.
19
1 . 4 . К л а с с и ф и к а ц и я у р а в н е н и й в ч а с т н ы х
п р о и з в о д н ы х в т о р о г о п о р я д к а
Множество физических задач приводит к уравнениям в частных
производных второго порядка. Например, задача о колебаниях, задача
теплопроводности и др. Поэтому данный класс уравнений имеет принципиальную важность.
В зависимости от свойств коэффициентов при производных
можно провести классификацию подобных уравнений. Пусть дано
уравнение следующего вида:
(1.19)
где a, b, c – некоторые функции, зависящие от x и y.
По знаку выражения b2 – ac уравнение (1.19) относят к одному из
трех типов:
1) Если
b2 – ac > 0,
то уравнение (1.19) принадлежит к гиперболическому типу. Каноническое уравнение подобного типа имеет вид
(1.20)
2) Если
b2 – ac = 0,
то уравнение (1.19) принадлежит к параболическому типу. Каноническое уравнение данного типа имеет вид
(1.21)
3) Если
b2 – ac < 0,
то уравнение (1.19) принадлежит к эллиптическому типу. Каноническое
уравнение подобного типа имеет вид
20
(1.22)
Таким образом, для определения типа уравнения в частных производных вида (1.19) необходимо вычислить разность b2 – ac.
Для того чтобы привести заданное уравнение к каноническому
виду, нужно вначале составить и решить соответствующее ему уравне-
ние характеристик
(1.23)
Далее, используя общие интегралы уравнения (1.23), следует осуществить в уравнении (1.19) замену переменных. Для гиперболического
типа уравнение (1.23) имеет два общих интеграла
.),(
,),(
2
1
Cyx
Cyx
=
=
Замена переменных имеет вид
).,(
),,(
yx
yx
=
=
Для параболического типа уравнение (1.23) имеет только один общий интеграл
.),( Cyx =
Замена переменных имеет вид
),,(
),,(
yx
yx
=
=
где (x, y) – произвольная функция, удовлетворяющая условию
.0
−
xyyx
Для эллиптического типа уравнение (1.23) имеет два комплексных
общих интеграла
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]